84 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) (10) Ⅱ編 立 体 図 学 Q 0 B d ′ b ・ 図 7.47 練習問題 A, B 2 平面間の角を求めよ ( 図 7.58 参照 ). 図 7.57 に示す 2 平面間の角を求めよ ( 図 7.57 参照 ). 平面 ABC と直線 PQ が直交するものはどれか ( 図 7.56 参照 ). 2 平面の交わりを求めよ ( 図 7.54 , 7.55 参照 ). 平面 ABC と LM 直線の交点を求めよ ( 図 7.53 参照 ). 直線 NM と平面 ABC との間の角を求めよ ( 図 7.52 参照 ). ( 図 7.51 参照 ). この四角形上の点 P を求め , MP 十 NP を最短距離にせよ 四角形 ABCD と 2 点 MN が与えられた . 点 P より AB, CD 平面に垂線を引いて交点を求めよ ( 図 7.50 参照 ). CD 直線を含んで AB 直線に平行な平面を求めよ ( 図 7 ・ 49 参照 ). 平面 ABC 上にある直線 PQ, MN の 1 つの投影を与えて他の投影を求めよ ( 図 7.48 参照 ).

82 Ⅱ編 実長 立 体 図学 図 7.43 図 7.44 AB 、 B 基線とする副投影 (al'bl' の副投影は点 ) を求めると角が求める平面間の角となる・ 2 ) ab に平行なる X'Y' 副基線を引き実長 al ′ bl ' を求め , a 】′ b ドに垂直な XI 当を副 方針 1 ) 2 平面の交線を点に見る副基線を求める . 作図題 15 ABC, ABD 2 平面間の角を求めよ ( 図 7.45 参照 ). 面の端形を作る図である . れる図では , 平面が端形になって見えるから , 2 平面の交線 AB の端形区を示す図がおのおの平 て現われる図は図 7-44 (b) のように 2 面角の実角を示す . 平面内の 1 直線が 1 点になって現わ 両方に垂直な 1 平面と両平面との交線間の角である ( 図 7.44 参 ). 与平面のおのおのが端になっ

80 Ⅱ編立 体 図 学 図 7.39 方針 ( 直接法 ) p 点から三角形 ABC へ適当な長さの垂線を下し , この垂線と三角形 ABC と 作図題 11 点 p から三角形 ABC へ下した垂線の点。を求めよ ( 図 7.40 参照 ). 求め方には , 直接法と副投影法とがある。 が H 平面に垂直なときは H 平面上の AB と交わってない線分 EC , CD も直線 AB に垂直であるという . の交点を求めればよい . 三角形の 2 つの実長 線に垂直になるよう PQ を引く . ) 1 ) b ′から XY に平行線 b'd' を引き , d' より d を求め , p より bd に垂線 pq を 下す ()q は適当な長さにとる ) ・ 2 ) a から XY に平行線 ae を引き , e よ り e' を求めると , AE は三角形 ABC 上にあり , VP に平行な直線になるから , p' より a'e' に垂線 p ′ q' を下すと , PQ は p から三角形 ABC にドした垂線となる。 3 ) abc の端形図 a. b. c 及び PI を画き PI より Clr. 垂直線を下し , 01 を求め , P d ・ b ′ f ・ 図 7.40 4 ) pq と三角形 ABC との交点。が求める点となる ( 図 7.35 参照 ). 方針 ( 副投影法 ) 1 ) bd に垂直な XI 当を引き , 副投影および a 山襾を求める . 2 ) 店から a 山襾に下した垂線の点が求める点 0 の副投影になるから , から pq ()o 〃 XIYI) 上に 0 詩さらに 0 ′を求める ( 0 。 0 ′ = 。。襾 ) 作図題 12 2 直線 AB, CD の間に共通垂線を求めよ ( 図 7.41 参照 ). 方針 CD 直線を含み , AB 直線に平行な平面を考え , 平面の副投影が直線となる副基線を求 める . 1 ) d-d ′より ab-a'b' に平行線 de-d'e ′を引く ( 平面 CDE は CD を含みに平行な平 面 ). 2 ) d ′上の f ′より XY に平行線 f'g' を引き , 実長 fg を求め fg に垂直なる副基線 X ′ Y' を引く . 3 ) Cl'd1' と al'bi' は平行となり , AB, CD 直線間の距離を示す .

8. 立体および曲面 る多面体である . 底面が任意の多角形 であって , 角柱の側面が長方形で底面 に垂直のとき直角柱 (Right prism) とい い , それ以外のときは斜角柱 (Oblique prism) という . 角柱の高さは , 2 底面 間の垂直距離で表わす . 切頭角柱 (Truncated prism) は , 底 面に平行でない切断平面により , 角柱 の一端を切断してできた立体であ ( 図 8 ・ 2 参照 ). これ以外にアルキメデ ス立体ともいわれる . 2 種類以上の正多角形から構成される多面体がある ( 図 8.2 参照 ). 作図題 1 水平面上の正三角形 ABC を一平面とする正四面体を求めよ . 方針図 8.3 で ABC の重心を O とすると , 0 から ABC に立てた垂直上に残りの頂点 D が ある . 図 ( b ) で 1 ) △ abc の頂点を d とし , d と b' c とを結べば平面図が求まる . 2 ) d から cd に垂線 de を立て ce=ca になるように e をとると , △ cde は△ COD の実形となる . 3 ) d から GL に下した垂線上に。′卍 = de なる点卍を求め , a" b ′ , c' を結ぶとよい・ 作図題 2 正八面体の軸を鉛直にし , 水平な 1 辺が水平面に垂直になるようにおく場合について の正八面体を作図せよ . ただし , 1 辺の長さを I とせよ ( 図 8.4 参照 ). 方針 1 ) 与えられた 1 辺の長さ (l) による正方形を 1 辺亠 GL になるように作図し , その中心とで正八面体の平面ができる . ーレ / し文 c b ・ 図 8.3 ③ ② 0 手 VI' ② Vo / 図 8.5 図 8.4

78 Ⅱ編立休図学 3 ) ′ b ドに平行な副基線 X 洋 1 を引き , 求める副投影 a 山襾は実形となる . 2 ) cd に垂直に副基線 X'Y' を引くと三角形の副投影は a な′ bl ′なる直線となる . 7.6.5 平面と直線の交わり 直線が平面内にあるか , また平面に平行でなければ , その直線は平面に交わる . 点を求める方法に補助平面法と副投影法がある . 作図題 9 三角形 ABC と直線 PQ との交点 0 を求めよ ( 図 7.35 参照 ). b ′ 直線と平面の交 図 7.35 図 7.36 方針 ( 補助平面法 ) 図 7.36 で , 直線 PQ を含む平面 T を補助平面として利用し , T と三角形 ABC との交線を DE とすると , PQ と DE との交点が 0 になる . 補助平面は作図が求 めやすいように選ぶが , 図 7.35 では HP に垂直な平面 T を用いている . 図 7.35 にお 1 ) pq と ac, bc との交点 d, e から a ′ c ′ , b ′ c' 上に d'e ′を求める ( T 平面と辺 AC と の交点が D, BC との交点が E で DE は平面 T と三角形 ABC との交線となる ) ・ 2 ) p'q' と d'e' との交点。′ , これより pq 上に 0 を求める . 方針 ( 副投影法 ) 図 7.37 (a) で , BD は三角形 ABC と B 点を含む TH 面との交線で , 水 平である . ゆえに , bd に垂直にふを引くと , この副投影面 BD とは直角に交わり , この副投影面への三角形 ABC の投影 alblCl は線投影になる . 図 ( し ) で , 方針 1 ) lm と ca, cb との交点 1 , 2 とする . 1 , 2 の立面図 1 ′ , 2 ′を求める . 平面と直線の交点を求め , 直線の見えない部分は破線で示せ ( 図 7.38 (a) 参照 ) ・ 3 ) と PI との交点より pq 上に 0 , さらに p ′ q' 上に。′を求める . 2 ) bd に垂直に & を引き副投影を求めると , alblCl は線投影になる . 1 ) b' を通って XY に平行線 th ′曜を引き , a'c' との交点卍より ac 上に d を求める・ 作図題 10

7. 点 , 直線 , および平面 図 7.34 図 7.33 方針 1 ) XY に平行に c'd' を引き実長 cd を求め 照 ). 作図題 8 三角形 ABC の実形を求めよ ( 図 7.34 参 線 X 洋 1 を引くと , その副投影は実形 a 山襾となる . Cl'bl' なる直線となる . この直線 a な′ b ′に平行な副基 を引けば ct'dl' は点となり , 三角形 ABC の投影は a ′ 図 cd は実長となる . 実長 cd に垂直なる副基線 X'Y ′ は , 図 (b) において c ′ d' を XY に平行に引くと平面 れる ( 図 7.33 ( b ) 参照 ). 平面形に実長が現われるに われた投影に平行な副投影面には三角形の実形が投影さ が点となるには , cd が実長であること ). 三角形が直線で現

76 7.6.3 平面上の点および直線 Ⅱ編 立 体 図 学 平面内の 2 点を結ぶ 1 直線は , その平面内に存在する . 平面が 2 直線により決まるとき , または 2 直線が平面内に設定されるとき , その平面内に新しい線を設定するため 1 直線上の任意の点は他 の直線上の任意の点に結びつけることができる . X d' Y 図 7.30 b' 図 7.30 (a) において AD は平面 ABC 上の直線 , a ′ d' が XY に平行なときは ad は実長と に平行なときは a ′ d' は実長となる . なる . 図 ( b ) の AD は平面 ABC 上の直線 , ad が XY 作図題 7 三角形 ABC 上にある点 P の平面図 p を知っ て , 立面図 p' を求めよ ( 図 7.31 参照 ). 1 ) p を通って適当な方向に ed を引き , ab, ac との交点 d, e より a'b', ′上に d', e ′ を求める . 2 ) p より XY に下した垂線と d'e' との交点 が p' となる・ 方針 d ・ 図 7.31 7.6.4 平面形の実形 任意の平面形の実形は , その平面形に平行な投影面上に示される . 平面形の 1 つの図が基準線に 平行な端形図を示すとき , 隣接図は平面形の実形およびその平面形内の任意の直線間の実角が現わ れる . 端形図が基本線に傾斜するときは , 副基準線をこの図に平行に設け , 平面形の実形は普通の 方法で隣接副図上に求めることができる ( 図 7.32 参照 ). 直線が投影面に垂直なる場合の投影は点となることより , 三角形の頂点より対辺に引かれた線分 (c,d) が点 (c ′ ,d ′ ) に投影される副投影面を選ぶと三角形は直線 a'c'b' となる ( 図れい ) の。′ d ′

758 Ⅱ編立 / F 図 15.2 0 体図学 AE, AD に一致させて図のようにとる . このと き直方体 ABC ・・・・・・は , a 山襾・ ・・・のように投影面 P 上に投影されるが , 投影面に平行な面の投影は 実形となる ( 例 : ABCD → albl%dl). これは投影面 に平行な面が投影面まで斜めに平行移動したと考 えればよい . 斜投影で述べてきたように , 直交 3 軸のうち 2 軸 (OX,OZ) が投影面に平行に , 他の 軸 (OY) が垂直になるように決めるので , OXZ 面およびこれに平行な面の斜投影はすべて実形と なる . 15. 2 比率と傾角 図 15.3 は図 15.2 を正投影で作図したもので , 投影面 P は VP に平行で pp で示してある . R 方 向の平行光線による立体の影が P 面に写ると考える . OY 方向たとえば辺 AE の斜投影は , R の方向 によって 01X1 と alel との間の角öの値および AE ( 実長 ) に対する alel ( 投影の長さ ) の割合が変わっ てくる . zAmeI=(b とすると , mq=AEcot4, alel/AE= ( 投影の長さ ) / ( 実長 ) =cot+ で mel/AE= とおき , この戸を斜投影の比率という . また , を斜投影の傾角という . R の方向によって〃 の値が変わり , 描かれた図形も変わってくるが , 角定規を使用する関係からら″の値は一般につぎ のような値が使用される . の値は , 60 。 , 45 。 , 30 。 , の値は , 1 , 3 / 4 , 1 / 2 , 2 / 3 , である . eh d' f' 図 15.3 作図題 1 = 45 。 , = 2 の場合の直線 AB の斜投影を書け . 解法図 15.4 において , a ′ , b ′より GL と 45 。をなす直線 a ′ A ′を引き , それぞれの線 上に a'A'=2aao, b ′ B ′ =2bb0 なる A', B' を求め , それらを結ぶと直線 A ′ B ′は求め る図である . 作図題 2 図 15.5 に示す直方体 ( 正投影図 ) の斜投影図を求めよ . 解法 (A) ( ö = 60 。 , ″ = 1 ) の場合 , 直方体前面の実形 alb 襾山を書く . albl とö = 60 。の角 をなすように alel を引き , mel=ae= 実長 ( 4 = 1 ) にとる . 以下それぞれの点から平行線

V ・ 7. 実長 d' 点 , 直線 , および平面 図 7.41 b' 4 ) a ′に平行に副基線ふ当を引き , 副投影 albl, Cldl は AB, CD 直線の実長で ll'm( は垂直距離で lm ー 1 ′ m ′は垂線の両投影である . 7.6.7 2 平面の交わり 平面と平面の交わりを求めるには , 補助平面法すなわち 1 つの平面の各辺が他の平面を貫く点を 求めることによるか , 副投影法により一方の平面を直線に投影す ることによって求められ 作図題 13 平面 ABC と DEFG との交わりを求めよ ( 図 7.42 3 1 参照 ) . 針 I) a と dg, ef 求め , ac と dg, 4 ′を求める . 2 乂ハ、 ef との交点 3 , 4 より立面図 3 ′ , 2 ) 1 ′ 2 ′と a'b', 3 ′ 4 ′と a'c' との交点 p ′ , q' を求め ると , pq ー p ′ q ′は求める両平面の交わりとなる・ 作図題 14 平面 ABC と DEF との交わりを求めよ ( 図 7.43 参照 ) . 方針 1 ) XY に平行に d ′ m ′を引き実長 dm を求める . 2 ) dm に垂直な X'Y' を副基線とする副投影を求め る . 4 4 ・ 2 ・ 図 7.42 3 ) 副投影 a ′ b なと e ドとの交点 gt', hl ′より i および h を得る . ih ー i ′ h ′は求め る交わりとなる . 7.6.8 2 平面間の角 2 つの交わる平面によって生ずる角を 2 面角 (Dihedral angle) という・ この角は交わる 2 平面の

50 Ⅱ編立体図学 投射線が集まってできる面を投射面 (Projecting surface) という . 空間の図形や立体の各…から投影面に引く投射線は 3 種類に分類できる . ( 1 ) 各投射線が 1 点か発散する場合 ( 透視投影 ) ( 2 ) 各投射線が互いに行し , かっ平面と斜交する場合 ( 斜投影 ) ( 3 ) 各投射線が互いに平し , かっ平面と直交する場合 ( 直投影 ) これをさらに分類すとつぎのように系統図に表わされる . となり , 正投影 (Orthogonal projection) 軸測投影 (Axonometric projection) 標高投影 (lndexed pr0Jection) ( 平行投影 ) ・・・複面投影 斜軸測投影 等測投影 (lsometric projection) 透視投影 (Perspective 投影 projection) (Right projection) 平行投影 (ParaIIeI projection) (O lique p ojection) 単面投影 投 影 斜 6. 1 . 1 透視投影 (Perspective projectio ) 図 6.2 において , 対象物体△ ABC と点 E との間 に平面 F ( 投影面 ) をおき , 視線と平面 F の交点がで きる△ AOBOC0 を△ ABC の透視図といい , この投影 を透視投影という . 透視図は物体の現実的な、、が書ける が , それらの角度や距離のひずみができるため , 実用製 図の要求する正確を欠くので使用されず , 概て建築 や商業美術の方面に多く用いられる . CoN 視点 6.1.2 斜投影 (ObIique projection) 投射線が互いに平行で , かっ投影に 90 。以外の角で 図 6 2 傾いて書いた場合の図である . この方法は透視投影ともに単投影図ができ , 投影面に平行な側面 0 図 6.3