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3 構 造 解 析 有 限 要 素 法 は 構 造 解 析 に 適 し て お り , そ の た め 構 造 解 析 の 分 野 で 最 も 多 く 使 わ れ て い る . そ こ で 本 章 で は , 構 造 解 析 ( そ の 中 で も 基 本 と な る 徴 ′ 」 、 変 形 , 弾 性 限 界 内 の 静 的 問 題 ) へ の 応 用 に つ い て 説 明 す る . 有 限 要 素 法 に よ る 構 造 解 析 を 理 解 す る に は , い く つ か の 重 要 な ポ イ ン ト が あ る と 思 う . す な わ ち 変 位 法 方 程 式 の 作 成 を 自 動 化 す る マ ト リ ッ ク ス に よ る 定 式 化 エ ネ ル ギ ー 法 補 間 関 数 な ど が 基 本 的 で あ り , こ れ ら を き ち ん と 理 解 す る こ と が 大 切 で あ る . は 上 記 の 項 目 を 中 心 に 説 明 す る . 3. 1 弾 性 体 の 特 性 本 章 で 本 論 に 入 る 前 に , 基 本 的 な 用 語 の 意 味 を 説 明 し て お く . 変 位 と い う の は , 物 体 の 変 形 等 に よ っ て , ど の 点 が , ど の 向 き に 動 い た か を 表 す 量 で , ( 変 位 ) = ( 変 形 後 の 位 置 ) ー ( 変 形 前 の 位 置 ) と 定 義 す る . ど れ だ け 変 位 は , 向 き と 大 き さ を も っ か ら べ ク ト ル 量 で あ り , 座 標 成 分 に 分 け て 表 す こ と が で き る . 本 書 で は 変 位 を { 4 } で 表 し t , そ の 座 標 成 分 を の 囮 で 表 す こ と に す る . 60 ペ ェ 成 分 が リ 成 分 が 名 成 分 が ー ジ 参 照 . ( 2 ) す 記 号 { } は 列 べ ク ト ル を 表 す .

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1.2 有 限 要 素 法 の 特 長 7 そ れ に く ら べ る と 有 限 要 素 法 は は る か に タ フ で , も っ と 複 雑 な 問 題 ま で 容 易 に 解 け る ( た と え ば 159 ペ ー ジ に 計 算 例 が あ る ). そ れ も 「 理 屈 の 上 で は 解 け る 」 と い う の で な し に , 既 に か な り 広 い 分 野 に わ た っ て 手 法 が 確 立 さ れ て お り , 数 多 く の 計 算 実 績 が あ り , ー タ の プ ロ グ ラ ム も 用 意 さ れ て い て , 計 算 セ コ ン ヒ 。 ュ ン タ ー に 持 ち 込 め ば た だ ち に 計 算 し て も ら え る 状 態 に な っ て い る の で あ る . 分 野 に よ っ て は , ま だ 研 究 が 始 ま っ た ば か り で , 初 等 的 な 問 題 し か 解 か れ て い な い と こ ろ も あ る が , 各 方 面 で 研 究 は 精 力 的 に 進 め ら れ て お り , 近 い 将 来 に は 実 際 的 問 題 が 解 け る よ う に な る と 期 待 で き る . も っ と も , 計 算 の 欲 望 に は 際 限 が な い か ら , や が て い っ か は 有 限 要 素 法 の 限 界 に 達 し , さ ら に 高 度 の 解 法 を 望 む こ と に な る で あ ろ う が , 現 時 点 で は , こ れ ほ ど 強 力 か つ 一 般 的 な 解 法 は ほ か に な く , 少 な く と も 構 造 解 析 に 関 す る 限 り で は 十 分 に 実 際 的 な 解 法 で あ る と い っ て よ い で あ ろ う . 応 用 範 囲 が 広 い 有 限 要 素 法 の 応 用 範 囲 は き わ め て 広 い . 最 も 多 く 使 わ れ て い る 構 造 力 学 の 分 野 に つ い て い え ば , 各 種 断 面 の 棒 , 板 ( 曲 面 板 や 厚 板 も 含 む ) , 塊 ( 3 次 元 連 続 体 ) お よ び そ れ ら を 3 次 元 的 に 組 立 て た 構 造 物 ( た と え ば 箱 桁 の よ う な も の ) の 静 的 な ら び に 動 的 な 計 算 を 行 な う こ と が で き る . 材 料 と し て は 等 方 性 , 異 方 性 ど ち ら で も 扱 う こ と が で き , 温 度 の 影 響 や , 弾 性 限 界 を 越 え た 場 合 の 特 性 の 変 化 な ど も 計 算 に 入 れ る こ と が で き る . 金 属 材 料 の み な ら ず , ー ト , 地 盤 , ゴ ム , 積 層 板 な ど の 解 析 に も 広 く 応 用 さ れ て い る . ま た コ ン ク リ 温 度 分 布 の 計 算 ( 定 常 , 非 定 常 ) 電 場 , 磁 場 の 計 算 音 場 の 計 算 流 体 の 計 算 ( 各 種 ) な ど も 可 能 で , こ れ ら と 組 合 わ せ た 応 力 解 析 を 行 な う こ と が で き る . 化 学 反 応 の 2 次 元 , 3 次 元 的 シ ミ = レ ー シ ョ ン は , 本 書 の 執 筆 時 点 で は ま だ 応 用 実 績 が あ ま り 多 く な い が , 可 能 性 は 有 望 で , 将 来 は も っ と 広 く 使 わ れ る よ う に な る と 思 う . な お , 応 用 に 関 す る も っ と 詳 し い 説 明 は 14 ペ ー ジ 以 下 を 参 照 さ れ た い . コ ン ピ ュ ー タ に 密 着 し た 解 法 有 限 要 素 法 は 非 常 に 多 く の 演 算 量 を 必 要 と す

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構 造 物 を 設 計 し た と き , そ れ が 予 想 さ れ る 荷 重 に 耐 え ら れ る か ど う か , ま た こ う い う や り か た を し ( 式 ( 3 ) ) , そ れ か ら さ ら に 応 力 を 求 め る ( 式 ( 5 ) ( 6 ) ). 構 造 物 が ど の よ う に 変 形 す る か を ま ず 計 算 し , 得 ら れ た 変 位 を 用 い て 歪 を 計 算 普 通 は , 少 し ま わ り 道 の よ う で あ る が , 変 位 を 未 知 数 ( 未 知 関 数 ) に と り , 難 点 が あ る の で , あ ま り 使 わ れ な い . よ さ そ う で あ る . そ う い う や り か た も 不 可 能 で は な い . し か し 実 用 上 は 種 々 の だ か ら , 計 算 の 際 に は , 応 力 を 未 知 数 ( 未 知 関 数 ) と し て 方 程 式 を 作 っ た ら え て い る 部 分 が あ れ ば 設 計 を 変 更 し な け れ ば な ら な い . の 各 部 分 の 応 力 を 計 算 し , そ の 値 を 材 料 の 許 容 応 力 限 界 値 と 比 較 し , 限 界 を 越 そ の 場 合 , 設 計 者 に と っ て 最 も 関 心 が あ る の は , 応 力 分 布 で あ ろ う . 構 造 物 な 目 的 で あ る . 弱 い と す れ ば ど こ が 弱 い か , と い う よ う な こ と を 検 討 す る の が , 構 造 解 析 の 主 / く ネ ② が 縮 も う と す る 力 は 昼 ( 43 ー 42 ) く ネ ① が 縮 も う と す る 力 は ん 1 2 ー ) く ネ ② の 伸 び は ー く ネ ① の 伸 び は 42 ー 点 1 , 2 , 3 の 変 位 を ″ い 2 , 43 と す る . [ 例 ] 図 3.4 の よ う な 問 題 の 場 合 , 次 の よ う に し て 解 く . 変 位 法 と い う t. 52 3. 2 変 位 法 (k 1 の 反 カ ) = ( 42 一 ) 2 ー ) = ん 2 ( 〃 3 一 42 ) 3. 構 造 解 析 占 1 に お け る 力 の つ り あ い を 式 で 書 く と 点 2 に お け る 力 の つ り あ い を 式 で 書 く と 占 3 に お け る 力 の つ り あ い を 式 で 書 く と ん 2 ( な 3 ー 42 ) = / t 上 記 が 普 通 の ( 初 心 者 用 の ) 説 明 で あ る が , 有 限 要 素 法 の 関 係 者 は , の よ う な 意 味 で 変 位 法 と い う 言 葉 を 用 い て い る 場 合 が 多 い よ う で あ る . 変 位 が 連 続 に な る よ う に 接 続 す る の が 変 位 法 . 要 素 の 境 で 応 力 が 連 続 に な る よ う に 接 続 す る の が 応 力 法 . む し ろ 次

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50 3. 構 造 解 析 応 力 弾 性 体 に 歪 が あ る と , 歪 の な い 状 態 に も ど ろ う と し て , 内 部 的 な 力 を こ の 力 を 応 力 と い う . 数 量 的 に 表 す に は , 物 体 内 部 の 微 小 断 面 を 考 え 生 ず る . ( 微 小 断 面 を 介 し て 伝 わ る カ ) / ( 徴 小 断 面 の 面 積 ) に よ っ て 表 す . 歪 と 同 様 に 6 個 の 成 分 を も っ . ェ 軸 方 向 の 伸 縮 に 抵 抗 す る カ 軸 方 向 の 伸 縮 に 抵 抗 す る カ 直 応 力 2 軸 方 向 の 伸 縮 に 抵 抗 す る カ ェ ー y 平 面 内 の 剪 断 変 形 に 抵 抗 す る カ ぃ 2 平 面 内 の 剪 断 変 形 に 抵 抗 す る カ 剪 断 応 力 い ェ 平 面 内 の 剪 断 変 形 に 抵 抗 す る カ 応 力 は , 普 通 の 「 カ 」 と 少 し 違 う . 特 に 次 の 点 に 注 意 す る こ と . [ 注 意 ] べ ク ト ル 量 ( 向 き と 大 き さ を も っ 量 ) で は な い . 向 き や 符 号 の 意 味 が 異 な り , 成 分 の 個 数 も 違 う . 座 標 変 換 の 公 式 が 異 な る . 単 位 面 積 あ た り の 値 で あ る こ と . 応 力 と 歪 の 関 係 歪 が あ ま り 大 き く な ら な け れ ば , 応 力 と 歪 は 比 例 す る , と い う こ と が 知 ら れ て い る . こ の 比 例 関 係 の 基 本 に な る の は , 図 3.3 の よ う に 一 方 向 だ け の 一 様 な 応 力 状 態 を 与 え た 場 合 で あ る . そ の 場 合 , そ の 方 向 の 直 応 力 と 直 歪 の 関 係 を び = E 6 剪 断 応 力 と 剪 断 歪 の 関 係 を て = G r 図 3.3

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148 5. 使 用 法 と 計 算 例 こ と が 望 ま し い ( 図 5.1 参 照 ). プ ロ グ ラ ム に よ て は , こ の よ う に す る 必 要 の な い も の や , こ の よ う に し て も 効 果 の な い も の も あ る が , こ の よ う に 番 号 を 付 け る こ と は べ つ に 困 難 で は な い か ら , な る べ く そ う い う 習 慣 を つ け る と よ い ・ ① の 理 由 は , 要 す る に , く ン ド 幅 を せ ま く す る た め で , こ れ を 実 現 す る に は , 端 か ら 順 に ( い い か え れ ば , 距 離 的 に 近 い 点 が 番 号 も 近 く な る よ う に ) 番 号 を つ け れ ば よ い . ② は 計 算 誤 差 の 累 積 防 止 に 役 立 っ ( 戸 川 隼 人 「 誤 差 解 析 の 基 礎 」 , サ イ . ェ ン ス 社 , p. 46 参 照 ) . 座 標 の 読 み と り 従 来 の 解 析 法 で は , 図 面 に 座 標 を 人 れ る , な ど と い う こ と は 必 要 で な か 。 た . し か し , 任 意 形 状 を 扱 う た め に は , や は り 座 標 を 使 う の が 便 利 で あ る . 座 標 軸 を ど こ に と る か は 自 由 で あ る か ら , な る べ く 節 点 の 座 標 の 読 み 取 り に 便 利 な よ う に 決 め る と よ い . 座 標 軸 が 決 ま た ら , 各 節 点 の 座 標 を 読 み 取 て , 一 覧 表 を 作 る . こ の 作 業 は 単 純 で あ る が , 座 標 を 読 み 取 る 際 に , ま た 記 入 の 際 に ミ ス を す る こ と が 多 い の で , 十 分 に 慎 重 に 行 な い , さ ら に 念 入 り に チ = ッ ク を す る 必 要 が あ る . 実 務 に お い て , こ の 作 業 量 が あ ま り に も 負 担 に な る と き は , こ の 作 業 だ け を 外 注 し た り , 座 標 読 取 装 置 ( デ ィ ジ タ イ ザ ー ) を 使 用 し た り , 人 力 デ ー タ 自 動 作 成 プ ロ グ ラ ム ( イ ン ブ ッ ト ・ ジ = ネ レ ー タ ー ) を 用 い た り す る . 要 素 番 号 を つ け る こ れ に は 特 別 の 注 意 は 必 要 な く , 1 番 か ら 始 ま る 一 連 番 号 を つ け れ ば よ い . た だ し , 番 号 を つ け 忘 れ た 要 素 が あ る と , そ こ は 穴 が あ い て い る も の と し て 計 算 さ れ て し ま う か ら , ヌ ケ が な い よ う に , ま た , 番 号 の 重 複 が な い よ う に , 十 分 注 意 さ れ た い . 要 素 番 号 と 節 点 番 号 の 対 応 表 の 作 成 何 番 の 要 素 が , 何 番 と 何 番 と 何 番 の 節 点 を も て い る か , と い う 対 応 表 で あ る . こ の 際 , 「 節 点 番 号 は 反 時 計 ま わ り に 記 入 す る 」 と い う 仕 様 に な っ て い る フ 。 ロ グ ラ ム が 多 い の で , な る べ く そ う い う 習 慣 を つ け て お く と よ い ( 図 5.2 ). 要 素 の 材 質 の 一 覧 表 の 作 成 構 造 解 析 の 場 合 な ら ば , young 率 , poisson 比 , 密 度 な ど , ま た , 熱 伝 導 の 計 算 の 場 合 な ら ば , 熱 伝 導 率 や 比 熱 な ど を 入 れ る . 単 位 を ま ち が え る と , お か し な 結 果 に な る の で , よ く 注 意 す る こ と . 固 定 条 件 の 一 覧 表 の 作 成 構 造 解 析 の 場 合 な ら ば , ど の 点 と ど の 点 を , 「 動

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1 有 限 要 素 法 と は 何 か よ う に な り , 学 校 や 研 究 所 で も 大 型 コ ン ヒ な ー タ を 持 っ と こ ろ が 多 く な っ て き た . そ の 頃 か ら , 有 限 要 素 法 の 応 用 分 野 は 急 に 広 が り , 多 種 多 様 な 方 面 で 利 用 さ れ る よ う に な っ た . 有 限 要 素 法 を 使 え ば , 自 由 に 思 い ど お り の モ デ ル を 作 れ る 複 合 材 料 の 解 析 が で き る 弾 性 限 界 を 越 え た 状 態 の 解 析 が で き る 3 次 元 連 続 体 と し て の 解 析 が で き る 形 状 が 複 雑 で も よ い な ど の 利 点 が あ る の で , 特 に , 材 料 力 学 , 破 壊 力 学 の 問 題 に は 広 く 応 用 さ れ , 成 果 を あ げ て い る . 非 金 属 材 料 を ( ま が り な り に も ) 解 析 で き る こ と は , 有 限 要 素 法 の 強 み で , ー ト , 合 板 , そ の 他 , 各 種 の も の に 応 用 さ れ て ゴ ム , プ ラ ス チ ッ ク , コ ン ク リ い る . Kobayashi は , 動 脈 壁 ( 1966 年 ) , 眼 球 ( 1969 年 ) な ど の 応 用 解 析 に 有 限 要 素 法 を 応 用 し た が [ 7 ] , こ れ も 材 料 力 学 的 研 究 の 系 統 を 見 る こ と が で き る . 近 年 は , 骨 や 歯 の 解 析 に も 利 用 さ れ て い る . 非 構 造 分 野 へ の 応 用 有 限 要 素 法 は 主 と し て 構 造 解 析 の 手 法 と し て 使 わ れ て き た . そ れ は , 構 造 解 析 の 問 題 が , 一 般 に 微 分 方 程 式 の 問 題 と し て は 扱 い に く い し か し 有 限 要 素 法 な ら ば 簡 単 と い う 性 格 を も っ て い る か ら で あ る . そ れ に 対 し , は ( 問 題 に も よ る が , 概 し て ) 微 分 方 程 式 の 問 題 と し て 扱 い 易 い 有 限 要 素 法 だ と 少 し 困 難 が あ る 流 体 力 学 や 電 磁 気 学 の 問 題 と い う 性 格 が あ る . そ の た め , こ れ ら の 分 野 に お け る 有 限 要 素 法 の 利 用 は , 遅 れ て い た . し か し , 近 年 , こ の 方 面 へ の 関 心 が 高 ま り , 産 業 界 で も 積 極 的 に 利 用 し よ う と い う 傾 向 に な っ て き て い る . 基 礎 理 論 有 限 要 素 法 は , 最 初 , 物 体 を 直 接 に モ デ ル 化 し て 解 く , と い う 発

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5. 1 要 素 分 6 要 素 番 号 割 8 6 3 9 1 3 ー ー 一 節 . 番 1 7 18 号 8 2 149 2 7 9 図 5.2 反 時 計 ま わ り に 記 人 す る 強 制 変 位 ( 変 位 の 値 を 指 定 ) 傾 斜 支 持 ( 特 定 方 向 に だ け は 自 由 に 動 け る ) ヒ 。 ン で と め る ( 位 置 は 動 か な い が 回 転 は で き る ) 弾 性 支 持 い ネ を 介 し て , と め る ) 支 持 ( の せ て あ る だ け ) 固 定 ( が っ ち り と , と め る ) か な い 点 」 に す る か を 指 定 す る . 固 定 条 件 に は 外 か ら 加 わ る も の 荷 重 の 一 覧 表 の 作 成 構 造 解 析 の 場 合 , 荷 重 に は , 大 別 し て 特 別 の く ふ う を 必 要 と す る . 意 を 要 す る . 飛 行 機 や , 、 リ コ プ タ ー の よ う な , 宙 に 浮 い て い る も の の 計 算 に は , と は 起 こ ら な い が , 反 対 に , 条 件 が 少 な す ぎ る と , 解 け な い こ と が あ る の で 注 こ の 種 の 条 件 は , た く さ ん 指 定 し て も 「 条 件 が 多 す ぎ る た め に 解 け な い 」 点 の 温 度 ( ま た は 電 位 な ど ) を 指 定 す る 必 要 が あ る . な ど の 種 類 が あ る . 温 度 分 布 や 電 位 分 布 を 計 算 す る 場 合 な ら ば , 少 な く と も 1 自 重 熱 応 力 な ど が あ る が , て く れ る か ら , こ の 内 , 自 重 と 熱 応 力 は 業 務 用 の フ 。 ロ グ ラ ム で は 内 部 で 計 算 し そ れ 以 外 の 荷 重 の 一 覧 表 を 用 意 す れ ば 十 分 で あ る . 荷 重 に は ,

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1 有 限 要 素 法 と は 何 か 題 は そ れ で 解 け て し ま う . 利 用 者 は 数 学 や 計 算 法 や 計 算 機 の こ と を 意 識 す る 必 要 が な く , も つ ば ら 物 理 的 , 工 学 的 な 面 ( 現 象 の モ デ ル 化 と , 結 果 の 解 釈 ) だ け を 考 え て い れ ば よ い . ま た , 自 分 で は と て も 式 を 作 り プ ロ グ ラ ム を 作 る こ と の で き そ う も な い よ う な 難 問 で も , 汎 用 プ ロ グ ラ ム の お か げ で 計 算 で き る こ と に な る . た と え ば , 3 次 元 的 解 析 が 容 易 で あ る こ と シ ェ ル 構 造 の 応 力 解 析 が で き る こ と 固 有 振 動 数 , 過 渡 応 答 を た だ ち に 計 算 で き る こ と な ど は 特 に 便 利 で , 実 務 家 に 喜 ば れ て い る . 米 国 と 比 較 す る と , わ が 国 で は 有 限 要 素 法 汎 用 プ ロ グ ラ ム の 普 及 は か な り 遅 れ て い る . 本 書 の 執 筆 時 点 で は , 本 格 的 な 汎 用 プ ロ グ ラ ム を も っ て い る の は , ま だ 大 企 業 と 一 部 の 大 学 , 大 型 計 算 セ ン タ ー な ど に 限 ら れ て い る . そ の 一 つ の 理 由 と し て は , 有 限 要 素 法 の 汎 用 プ ロ グ ラ ム が 大 型 計 算 機 用 に 作 ら れ て い る こ と が あ る が , 計 算 機 の コ ス ト ダ ウ ン と 高 性 能 化 ( 特 に 記 憶 装 置 の 大 型 化 ) が 進 行 し て お り , 一 方 で は 小 型 計 算 機 用 の 汎 用 プ ロ グ ラ ム も 開 発 さ れ て い る の で , も う じ き 誰 も が 自 由 に 使 え る よ う に な る で あ ろ う . 有 限 要 素 法 は 総 合 技 術 1.1 節 で は 有 限 要 素 法 の 数 学 的 側 面 を 説 明 し , 1.2 節 で は 実 用 的 側 面 を 説 明 し た . 両 者 は 表 と 裏 の 関 係 に あ る と い っ て よ い . し か し , 「 Ritz-Galerkin 法 の 近 似 式 に 区 分 多 項 式 を 使 う 」 と い う ア イ デ ィ ア だ け か ら , た だ ち に 現 在 の 汎 用 プ ロ グ ラ ム が 作 れ る わ け で は な い . 区 分 多 項 式 を 使 用 す れ ば , ど う し て も 方 程 式 が 大 き く な る か ら , 大 次 元 の 方 程 式 を 能 率 よ く 計 算 す る 技 術 が 必 要 に な る し , 方 程 式 を 組 み 立 て る の に も 計 算 機 を 使 う こ と が 望 ま し く , そ の た め の 技 術 が 必 要 に な る . 扱 う デ ー タ の 量 が 多 い か ら , 大 量 の デ ー タ を 組 織 的 に 処 理 す る 技 術 も 必 要 で あ る . ま た , 区 分 多 項 式 と い う 特 長 を 生 か し て 任 意 形 状 の 領 域 を 扱 お う と す れ ば , あ る 種 の 図 形 処 理 技 術 が 必 要 に な る . 有 限 要 素 法 の た め に 開 発 さ れ た 特 殊 な 計 算 技 術 ( 積 分 公 式 等 ) も 少 な く な い . 今 日 の 有 限 要 素 法 は , そ う い う 数 多 く の 関 連 技 術 の 積 み 上 げ の 結 果 で あ り , 単 な る 数 学 的 手 法 で は な く て , い わ ば 「 数 学 プ ラ ス な 」 で あ り , む し ろ 総 合 技 術 と 呼 ぶ に ふ さ わ し い 性 格 を も っ て い る . こ の 「 プ ラ ス 」 の 技 術 の 充 実

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造 100 ー 100 42 ー 100 十 300 な 2 ー 200 43 ー 200 + 500 〃 3 = 0 ー 300 こ の 連 立 方 程 式 の 未 知 数 は 3. 構 / 4 解 析 ( 12 ) に な る . と で あ る が , / 4 は 他 の 式 に 含 ま れ て い な い か ら , = 0.11 = 0.05 ま ず 上 の 三 つ の 式 に つ い て 解 く = 0.02 こ れ を 最 後 の 式 に 代 入 す る こ と に よ り , 反 カ が 求 ま る . こ れ で 計 算 の 方 針 は 決 ま っ た が , 本 格 的 な 問 題 を 扱 お う と す る と , 変 数 の 個 数 が 非 常 に 多 く , そ れ に つ い て 変 位 歪 ← → 応 力 節 点 カ の よ う に 何 重 も の 代 人 計 算 を し な け れ ば な ら な い の で , も っ と 組 織 的 な 方 法 で 処 理 し な い と 大 変 で あ る . そ の た め に , マ ト リ ッ ク ス が 使 わ れ る . 3. 4 マ ト リ ッ ク ス 代 数 の 要 点 最 近 は 大 学 の 一 般 教 養 の 数 学 の 時 間 に マ ト リ ッ ク ス ( 行 列 ) を 教 え る の が 普 通 に な っ て き た か ら , マ ト リ ッ ク ス を よ く 知 っ て お ら れ る 読 者 も 多 い こ と と 思 う が , 念 の た め に ご く 簡 単 に 要 点 を 説 明 し て お く こ と に し よ う マ ト リ ッ ク ス と い う の は , 要 す る に , た く さ ん の 変 数 の 間 の 比 例 的 関 係 ( 数 学 の 用 語 を 使 え ば , 線 形 の 関 係 ) 工 ー 十 4 工 2 十 ・ 0 幻 工 ー 十 4 22 工 2 十 0m1 工 ー 十 4m2 工 2 十 ・ 十 0 工 れ 十 0 工 れ ・ 十 mn 工 れ

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1 ・ 3 有 限 要 素 法 小 史 に 航 空 機 の 設 計 計 算 に 投 人 さ れ た . 胴 体 の 骨 組 の 強 度 計 算 ( こ れ も , な か な か 大 変 な 計 算 で あ る が ) は , 比 較 的 早 く 実 用 化 さ れ た . そ の 段 階 で , い わ ゆ る 「 マ ト リ ッ ク ス 法 」 と い う 手 法 が 確 立 さ れ , そ こ で 必 要 と な る 大 次 元 方 程 式 の 計 算 も , か な り う ま く 処 理 で き る よ う に な っ た . 骨 組 の 計 算 が な ぜ 簡 単 に 成 功 し た か と い う と , そ れ は 複 雑 だ と い っ て も , 部 材 数 が 多 く 3 次 元 的 な 構 造 を し て い る , と い う だ け の こ と で , 基 本 的 な 計 算 法 は , 既 に ト ラ ス の 解 法 , ラ ー メ ン の 解 法 と し て 完 成 し て い た か ら で , あ と は , そ れ を コ ン ビ = ー タ で い か に う ま く 処 理 す る か , と い う こ と だ け を , く ふ う す れ ば よ か っ た の で あ る . そ れ に 対 し , 航 空 機 の 翼 は , 図 1.6 の よ う な 構 造 を し て い る . こ う い う も の を , ま と も に 解 析 す る 方 法 は , ま だ 確 立 さ れ て い な か っ た . つ な ぎ 易 さ が 鍵 板 1 枚 だ け の 計 算 な ら ば , 古 典 的 方 法 に よ っ て 可 能 で あ る . だ か ら , 理 屈 と し て は , 板 を 1 枚 1 枚 , く ラ , く ラ に し て 計 算 式 を 作 り , そ れ を 全 部 つ な ぎ あ わ せ て 解 析 す れ ば よ い は ず で あ る こ こ ま で は , 誰 で も 考 え っ く . と こ ろ が , 実 際 に や っ て み る と , 古 典 的 な 計 算 式 は , 隣 の 板 の 計 算 式 と 接 続 し よ う と 思 っ て も , な か な か う ま く い か な い こ と が わ か っ た . そ こ で , 新 た に , も っ と 自 由 に 接 続 し 易 い モ デ ル ( 数 学 的 模 型 ) を 作 る こ と に し た . 新 し い モ デ ル は , 簡 単 に 接 続 す る こ と が で き る の で , 板 の 内 部 の 応 力 分 布 が 複 雑 な 場 合 は , 一 枚 の 板 を , 仮 想 的 に い く っ か の 小 部 分 に 分 割 し , そ れ ぞ れ 簡 単 な モ デ ル を 作 っ て つ な い で 解 析 す る こ と が で き た . こ の 「 新 し い モ デ ル 」 が 有 限 要 素 法 に な っ た の で あ る . 一 般 化 最 初 の 論 文 [ 1 ] に は , 補 強 部 材 の 取 扱 い か た と か , 箱 桁 の 解 き か た な ど , 実 用 的 に 袿 力 の あ る 事 項 が い ろ い ろ 書 か れ て い る が , 肝 心 の 「 つ な ぎ 易 い モ デ ル 」 の 導 出 法 に 関 し て は , ご く 簡 単 な 説 明 し か 書 い て な い . 工 学 的 な 勘 と 試 行 錯 誤 の 結 果 と し て 出 て き た も の な の で あ ろ う . 理 詰 め で 読 も う と す る と , か な り 難 解 な 論 文 で あ る . と こ ろ が , そ の 後 , よ く 検 討 し て み る と , こ の モ デ ル は , エ ネ ル ギ ー 原 理 と い う ( 応 用 力 学 の 分 野 で は 昔 か ら な じ み の 深 い ) 法 則 か ら 簡 単 に 導 け る こ と が わ か っ て き た . し か も , 有 限 要 素 法 は , RaYleigh-Ritz 法 の 一 種 で , そ の 試 験