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高校数学でわかるフーリエ変換 : フーリエ級数からラプラス変換まで

す。微積分がないので、この方程式は四則の演算だけで簡 単に解けます。 F (s) が求まったら、ラブラス逆変換で f(t) を求めます。 * * ラブラス変換を使った微積分方程式の解き方 * * ( 1 ) 関数 / ( t) を含む微積分方程式をラブラス変換 し、微積分がない F(s) の方程式を得る。 ( 2 ) この方程式を F (s) について解く。微積分がな いので四則演算だけで解ける。 ( 3 ) 求まった F (s) をラブラス逆変換して、 / ( の を求める。 このとき ( 2 ) のところで、四則 ( 十一 x + ) だけの簡 単な演算で解の裏関数 F (s) を求められることが、ラブ ラス変換のメリットです。元の方程式には、微分記号や積 分記号が付いていても、それに煩わされすにすむのです。 一方、ラブラス変換とラブラス逆変換の作業が加わるこ とは、多少手間を増やします。しかし、その面倒さを考慮 に入れても、この方法の方が全体としては簡単に微積分方 程式が解けるのです。これが、ラブラス変換を、様々な分 野でたいへん重要にしている理由です。 ・微分はラブラス変換でどのように変形されるか み ( の ( 三 / ( 1 第 ) とも書く ) がラブラス変 まず、微分 換によってどのように変形されるか見てみましよう。 780

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第 6 章ラブラス変換 「ラブラスはどんな問題もその真の意義を把握することが 決してできす、あらゆる事柄に極めて細かいことを探し求 め、 ・ ( 中略 ) 要約すれば、無限小の精神を行政に持ち 込んだ」 ( 『数学者列伝 I 』、 I ・ジェイムズ著、蟹江幸博 訳、シュプリンガー・ジャパン ) とのことです。数学者や物理学者には、細部の厳密性を極 端に重視する人から、全体構造を重視する人まで多様です が、ラブラスは細部の厳密性にこだわるタイプだったので しよう。ナポレオンの言を信じるならば、政治については 「木を見て森を見す」というタイプだったようです。 ラブラスは、ナポレオン時代に元老院議員となり、また 伯爵にもなりました。ナポレオン失脚後は、すばやくプル ボン家を支持して侯爵となり、政治的遊泳は上手でした。 1827 年に 77 歳で没しています。 ■ラブラス変換の利点ーーー微積分方程式が簡単になる ラブラス変換を使うと、微積分方程式を簡単に解けると いう話を本章の冒頭で述べました。どうして、簡単に解け るかというと、これから述べる「微分や積分をラブラス変 換すると、微分や積分が消えてしまう」というおもしろい 性質があるからです。 例えば、ある関数 / ⑦を含む微積分方程式があったと します。この微積分方程式をラブラス変換します。する と、微分や積分が消えてしまった F ( s ) を含む方程式が 得られます。次に この方程式を解いて F (s) を求めま 1 / 9

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くはわからない」という状況でした。このヘビサイドの演 算子法の数学的な理解は、プロムウィッチやワグナーらの 数学者によって、 1910 年代に進みました。演算子法の数学 的な基礎は、ラブラスの 1780 年の論文に現れていたので、 今日では「ラブラス変換」と呼ばれている数学の体系の中 に、ヘビサイドの演算子法は位置しています。 独学の天才ヘビサイドは、 1891 年にイギリスの王立協会 のフェローになり、 1905 年にドイツのゲッチンゲン大学か ら名誉博士号を授与されました。 ヘビサイドは聴力が必すしもよくはありませんでした が、音楽の演奏を楽しみ、またサイクリングを趣味として いたようです。 1922 年にイギリスの電気工学会が新しく設 立したファラデーメダルの第 1 回の受賞者になりました。 そして、その 3 年後の 1925 年に 74 歳で生涯を終えました。 ・ラブラス変換を用いた演算子法 本章では、本書のしめくくりとして、そのヘビサイドが 発展させた演算子法を見ていきましよう。演算子法では、 次のような手順で回路の方程式の解を求めます。 ( 1 ) ます、回路の方程式をたてます。この方程式は係 数が定数なので、定係数微積分方程式と呼ばれます。 ( 2 ) 次に、定係数微積分方程式にラブラス変換を施し ます。 ( 3 ) 先ほど見たように、ラブラス変換後の方程式は、 微積分がなくなってしまうので ( これがラブラス 788

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・ラブラス変換が活躍している分野 理工系大学生がほば必修として習う数学に、フーリエ変 換によく似たラブラス変換があります。「どうしてラブラ ス変換が必修なのか ? 」と、理工系学生の多くが疑問に思 うことでしよう。ラブラス変換の活躍の場はフーリエ変換 より集中していて、主に電子・電気工学や制御工学の分野 です。 電気回路を扱うときには、微積分方程式を解く必要があ り、また制御工学でも微積分方程式を解く必要がありま す。先ほどの疑問に答えると、ラブラス変換は「これらの 微積分方程式をスラスラ解くのに役立っ」のです。現代の 工学において、電子・電気工学や制御工学は極めて重要な ので、ラブラス変換の習得も同しく重要であるということ になります。このため、通常大学の理工系学部では、フー リエ変換と同じ講義で必修科目として教えています。本章 と次章では、このラブラス変換に取り組みましよう。 ・ラブラス変換とは ラブラス変換は、フーリエ変換に形がよく似ています。 ある関数 / ( ののラブラス変換 F (s) は、次のような式で 表します。 F ( s ) 三望 [ / ( 叨 / ン ( の。→切 ( 6 ー 1 ) こで、記号望は数学者ラブラスの頭文字でラブラス変 跖 6

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第 2 章複素形式への拡張 ーわ工 = COS 4 工・ e のように書きます。 lm は imaginary number ( 虚数 ) 、 Re は real number ( 実数 ) を意味します。 + 工という関数を使えば、波を簡単に このように e 表現できます。また、先ほど見たように、微分もサインや コサインより指数関数の方が簡単なのです。このため、波 を表す方法として科学のすべての分野でよく使われていま す。 このように、波を表現するのに虚数を使うわけですが、 量子力学とそれ以外の分野 ( 例えば、電気系 ) では 1 つ大 きな違いがあります。電気系などの分野で虚数を使うのは こで見たよ 数式で波を表現するのに便利だからであり、 うに式の実部か虚部のどちらかで波を表現できます。した がって、虚数を使わなくても波は表現できるのです。 それに対して、量子力学では、その中核であるシュレ ディンガー方程式そのものが虚数を含んでいます。量子力 学によると、電子は波と粒子の 2 つの性質を持っています が、その波はシュレディンガー方程式と呼ばれる数式 ( 波 動方程式 ) で表されます。シュレディンガー方程式での虚 数の存在は便宜的なものではなく、量子力学の本質的な性 質であると考えられています。また、シュレディンガー方 程式を解いて得られた波の関数が実部と虚部を含む場合 は、そのどちらかのみで波が表されるのではなく、両者に 意味があると考えます。

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ー ln 2 となります。自然対数 (natural logarithm) は、高校の 数学では loge と表しますが、大学では ln と書くのが一般 的です。 1 は logarithm を表し、 n は natural を表してい ます。 この式からェを求めると、 となります。よって、 1 . 66 約一一です。 ln 2 4 FWHM はこの 2 倍の 2 ln 2 4 で、 ーガウシアンのフーリエ変換 このガウシアンのフーリエ変換を求めてみましよう。た だし、以下の求め方は少し変則的でクネクネと道が曲がっ 数をんとェからのと一に変えています ) 。 まず、フーリエ変換の式を書いてみます ( ここでは、変 ているので、迷わないように注意して下さい。 G(D= e ー砒 2 召 ( 4 ー 1 ) このフーリエ変換を求めるために、両辺を変数ので微分 します。この微分によって 2 ページほど後ろの ( 4 ー 2 ) 式 が得られるのですが、この ( 4-2 ) 式が G ( の ) に関する微 分方程式になっているので、 ( 4 ー 2 ) 式を解いて G ( の ) を 8

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定積分に / = 0 を代入したので、もはやーの関数ではあり ません。なので、積分の外に出せます。 F(s) / ← 1 ) ( 0 ) F(s) / ← 1 ) ( 0 ) 第 3 項に ( 6 ー 2 ) 式を使うと e 襯 / ← 1 ) ( 0 ) となります。 ます。 このように定積分の場合は初期値がなくなり 微分や積分にラブラス変換を施すと、微分や積分が消え てしまうという性質は、この後で微積分方程式を解くのに 大変役に立ちます。 さて本章では、ラブラス変換とその性質を理解しまし いったいこれらの性質がどのように役に立つのか、次 章でその活躍りを見ることにしましよう。 784

木田元の最終講義 : 反哲学としての哲学

力学主義的物理学 物理学の領域で彼の提唱した〈現象学的物理学〉というのは、当時支配的だっ た〈力学主義的物理学〉に対抗するものです。山本義隆さんが「ニュートンのカ 学ーと「ニュートンカ学ーとは区別して考えなければならないと言っていますが、 一七世紀末に成立した「ニュートンの力学」が一八世紀一世紀間かけてハミルト ンやラグランジによって形式的に整備されマニアル化されて、古典力学の体 系としての「ニートンカ学」が成立し、物理学的諸学科のなかで特権的な地位 を占めるにいたります。それによると、力学法則はすべて常微分方程式に書き表 す。ビアノやオルガンを弾くのが好きで、先ほど申しましたようにオペラの作曲 までしたといいますから、多才で実に柔軟な頭脳の持ち主だったようです。その もっとも重要な著作は『カ学の発達、その批判的・歴史的叙述』二、 八三年〕 ( 『カ学史』と略称されます ) と『感覚の分析』〔一 八八六年〕でしよう。それらに うかがわれるマッハの思想をひどく簡単に要約すると、次のようなことになりま す。

月間ラム 1980年10月号

0 を一 ( 郊 マイコンの利用技術の進歩は , 近年特にめざましいものがあります。その結 果 , これまで大型コンピュータでしガ扱えなかった科学技術の各種問題がマイ コンでも比較的容易に扱えるようになりました。 本シリーズでは , この科学技術の諸問題を解くための計算手順 , すなわち計 算アルゴリズムを , 初めての人にも理解できるように解説します。また , この 計算アルゴリス乙をもとにし , 実際に TRS - 80 で走らせた BAS ℃プログラ乙 を掲載いたします。これらのプログラ乙は , 読者の皆さんが BAS ℃ライプラ リとして活用できるように身近ガな問題を取り扱ってあり , 汎用的な計算アル ゴリズ乙はすべてサプルーチン形式で展開しています。 本シリースでは , 以下のような問題について 6 回にわたって紹介する予定で す。 1 . 連立 1 次方程式 ( その 1 ) 4. 非線形方程式 2. 連立 1 次方程式 ( その 2 ) 5. 最小 2 乗法 3 . 数値積分 6. 微分方程式 マトリックス代数 ( いわゆる線形代数 ) は , ある種 の現象を定量的に解析する場合に最もよく応用される 数学の 1 つでしよう。たとえば , マーケッティング・ リサーチや需要予測 , 数理計画法 , 計量経済学などで す。このようなマトリックス代数の中心課題は , 何と いっても連立 1 次方程式を解くことになります。この ことは , 科学技術計算用サプルーチン・ライプラリの 使用回数の約 60 ~ 70 % が線形代数で占められており , しかも連立 1 次方程式の関連ルーチンが上位に顔を出 していることからもわかります。 さて , 本シリーズでは今回と次回を , この連立 1 次 方程式の解法に関して , BASIC を使ってわかりやす 88 0 一「 く説明します。 1 . ガウス消去法 まず , 次の 3 元の連立 1 次方程式を解くことから始 めましよう。 0 ⅱ工十・ 012 工 2 ・十・ 013 工 = = 6 ー 021 第斗・ 022 2 ・十・ 023 3 = 62 ( 3 ) 031 十・ 032 工 2 - 033 す = : 63 一般にガウス消去法では , 各 1 次方程式間に次の基 本演算 , いすれか 2 つの 1 次方程式を入れ換える ⅱ ) 零でない数を 1 次方程式に掛ける

高校数学でわかるフーリエ変換 : フーリエ級数からラプラス変換まで

第 2 章複素形式への拡張 2 十レ = E 2 襯öx このように 2 階の微分方程式です。ここでェは位置の座 標で、襯は電子の質量、レはポテンシャルエネルギーで E は全エネルギーです ( この方程式の導出に興味がある 方は、拙著の『高校数学でわかるシュレディンガー方程 式』をご覧下さい ) 。一般的な量子力学の教科書では、多 くの場合、この方程式を満たす波動関数として = の という形の関数を仮定するという話から始めます。また、 は正規直交系の関数のセットであるという説明も付き ます。 フーリエ級数の知識を持たすに量子力学を学び始める と、こでつまずいてしまう場合が少なくないようです。 そもそも、「ある関数を、正規直交系の関数で展開 する」という概念がっかめません。「正規直交系っていっ たい何だろう ? 」で止まってしまいます。 しかし、こまで本書を読んでいただいた読者の方には おわかりのように、この波動関数にはフーリエ級数も適用 できます。 ( 2 ー 7 ) 式のフーリエ級数も正規直交系であり、 関数をフーリエ展開できます。実際に、大学の学部レ ベルの「時間に依存しないシュレディンガー方程式」の解 は、の数を限定した ( 2 ー 7 ) 式でほとんど間に合います。 87