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やさしく学べる微分方程式


や さ し く 学 べ る 微 分 方 ま 石 村 園 子 [ 著 ] 共 立 出 版 株 式 会 社

やさしく学べる微分方程式


い 微 分 方 程 式 と 解 3 常 微 分 方 程 式 と 偏 微 分 方 程 式 を ま と め て 微 分 方 程 式 と い う 。 本 書 で は 常 微 分 方 程 式 の み 取 り 扱 う が , 以 下 単 に 微 分 方 程 式 と い う こ と に す る 。 微 分 方 程 式 が 何 ら か の 現 象 や 状 態 を 表 わ し た 式 の 場 合 , も し こ の 式 を み た す 関 数 = / は ) が 具 体 的 に 見 つ け ら れ , そ の 関 数 が 実 際 の 現 象 と よ く 合 っ て い れ ば , モ デ ル 化 の 理 論 が 正 し い こ と に な り , そ の 現 象 が 解 明 さ れ た こ と に な る 。 微 分 方 程 式 に お い て , こ れ か ら 求 め よ う と す る 関 数 を 未 知 関 数 と い う 。 ま た , 微 分 方 程 式 を み た す 関 数 = / は ) ま た は / は , の = 0 を , そ の 方 程 式 の 解 ま た は 解 曲 線 と い い , 解 の 関 数 を 求 め る こ と を 、 、 微 分 方 程 式 を 解 く " と し 、 フ 。 微 分 方 程 式 の 中 で , 未 知 関 数 ク の 最 も 階 数 ( 次 数 ) の 高 い 導 関 数 が い の と き , こ の 微 分 方 程 式 を れ 階 微 分 方 程 式 と い う 。 た と え ば は 1 階 微 分 方 程 式 工 の 十 〃 = ex い 十 ェ 24 十 4 = sin ェ は 2 階 微 分 方 程 式 は 3 階 微 分 方 程 式 = log 工 2 ′ ″ な ど で あ る 。 ■ = / は ) 1 変 数 関 数 微 分 : の , 癶 ェ ) , dx ' ■ z = / は , の 2 変 数 関 数 ェ , の , に 関 す る 偏 微 分 : ん は , の , ク に 関 す る 偏 微 分 : ろ た っ は あ 分 号 00 「 0 00 「 0 00 ( 0 「 0 「 0

例解 物理数学演習 物理入門コース/演習5


常 微 分 方 程 式 未 知 関 数 と そ の 導 関 数 を 含 む 方 程 式 を 微 分 方 程 式 と い う . 大 ま か に い う と , 「 微 分 方 程 式 を 作 り , そ れ を 解 く 」 の が , 現 代 科 学 の 基 本 方 針 で あ る . 応 用 分 野 は 多 様 で あ っ て も , 決 ま っ た 同 じ 形 の 方 程 式 が 登 場 す る こ と が 多 い . そ れ ら を 何 回 も 解 い て い る う ち に 微 分 方 程 式 を 見 た だ け で 解 の 様 子 が 頭 に 浮 か ん で く る よ う に な る . そ う な る と , 微 分 方 程 式 は 本 当 に 楽 し い .

やさしく学べる微分方程式


1 . 1 微 分 方 程 式 と は 在 で は 生 命 現 象 や 社 会 現 象 , さ ら に は 経 済 活 動 の 解 析 に ま で 幅 広 く 取 り 入 れ ら 程 式 が あ る 。 微 分 方 程 式 は 物 理 , 化 学 な ど の 自 然 現 象 の 解 析 だ け で は な く , 現 現 象 を モ デ ル 化 し た 式 に は い ろ い ろ な 種 類 が あ る が , そ の 中 の 1 つ に 微 分 方 場 合 , 現 象 を モ デ ル 化 し て 数 式 で 表 わ し , 解 析 す る 場 合 が 多 い 。 観 察 し , 次 に ど の よ う な メ カ ニ ズ ム で そ の 現 象 が 生 し る の か を 考 察 す る 。 こ の さ ま ざ ま な 現 象 を 解 明 し よ う と す る 際 , ま す 実 際 に 起 こ っ て い る 現 象 を よ く 2 = 0 第 1 章 微 分 方 程 式 目 1 微 分 方 程 式 と 解 れ て い る 。 4 を ェ の 1 変 数 関 数 と す る 。 つ ま り 4 は = / は ) ま た は / は , の の 形 で 書 け る 関 数 と す る 。 こ の と き , 工 と 4 お よ び , そ の 微 分 で あ る の , 4 " , 4 " , ・ ・ を 含 ん だ 方 程 式 を 常 微 分 方 程 式 と い う 。 た と え ば の = 2 工 工 の 十 ク = ex 4 " 十 工 2 の 十 ク の よ う な 方 程 式 で あ る 。 こ れ に 対 し て , 名 が = smx 2 = / は , の ま た は / ( ェ , ク , の = 0 の 形 で 書 け る 2 変 数 関 数 の 場 合 , , ク , 2 お よ び , , 2 ェ ェ , ぃ い ・ な ど の え の 偏 導 関 数 を 含 ん だ 方 程 式 を 偏 微 分 方 程 式 と い う 。 た と え ば = 3 工 十 石 ェ 十 zyy の よ う な 方 程 式 で あ る 。

例解 物理数学演習 物理入門コース/演習5


偏 微 分 方 程 式 物 理 学 に お い て は , 随 所 に 偏 微 分 方 程 式 が 登 場 す る . し か し , あ ら た め て 偏 微 分 方 程 式 と い う と , ど う し て も 「 む ず か し い 」 と 思 わ れ て し ま う . こ の 章 で は , 波 動 方 程 式 , 熱 伝 導 方 程 式 , ラ ブ ラ ス 方 程 式 の 解 の 性 質 を 調 べ る . 既 に 習 っ た 物 理 現 象 を , 数 学 的 に 調 べ 直 し て い る と 考 え る と 気 が 楽 に な る で あ ろ う . 手 法 と し て は , フ ー リ エ 級 数 , フ ー リ エ 積 分 , 積 分 定 理 等 が 用 い ら れ る .

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ま え が き 「 戦 争 の な い 世 紀 」 を 目 標 と し て 向 か え た 21 世 紀 で し た が , た ち ま ち テ ロ と の 戦 い に 巻 き 込 ま れ て し ま い ま し た 。 日 本 で も 20 世 紀 型 の 社 会 構 造 か ら 脱 却 し つ つ あ り ま す が , 経 済 不 況 は ま だ ま だ 続 き そ う な 現 状 で す 。 さ ら に , 少 子 化 の 影 響 を う け て い る 大 学 で は , 他 大 学 と の 差 別 化 を は か ろ う と 各 大 学 で さ ま ざ ま な 試 み が な さ れ , 幅 広 い 才 能 を 持 っ た 新 入 生 が 入 学 し て き て い ま す 。 本 書 は , 「 微 分 積 分 」 と 「 線 形 代 数 」 を 一 通 り 勉 強 し 終 え た 人 を 対 象 に 書 か れ た 「 常 微 分 方 程 式 」 の 教 科 書 で , 基 本 的 で し か も 応 用 上 重 要 な 微 分 方 程 式 を 解 く こ と に 主 眼 を 置 い て 書 か れ て い ま す 。 自 然 現 象 や 社 会 現 象 を 科 学 的 に 解 明 し よ う と す る 場 合 , そ の 現 象 を い ろ い ろ な 数 式 を 使 っ て 表 わ し ま す が , そ の 中 の 1 つ が 微 分 方 程 式 で す 。 コ ラ ム に は ど の よ う な と こ ろ に 微 分 方 程 式 が 使 わ れ て い る の か が 書 か れ て い ま す の で , 参 考 に し て く だ さ い 。 「 微 分 方 程 式 」 の 勉 強 は , 基 本 的 な 関 数 の 微 分 と 積 分 が あ る 程 度 不 自 由 な く で き な い と 進 み ま せ ん 。 し か し 「 微 分 積 分 」 を " 一 通 り 勉 強 し 終 え " , そ の 場 で は わ か っ た つ も り に な っ て い て も , い ざ 使 お う と す る と , な か な か 思 い 出 せ な い も の で す 。 そ の よ う な 人 の た め に , 第 1 章 は 微 分 積 分 の 復 習 と 微 分 方 程 式 へ の 導 入 を 兼 ね て 勉 強 で き る よ う に な っ て い ま す 。 微 分 積 分 の 計 算 に 自 信 の あ る 人 は ざ っ と 読 み 流 し , 第 2 章 か ら 勉 強 を 始 め て く だ さ い 。 ま た 第 2 章 以 降 も , そ こ で 使 う 微 分 積 分 の 公 式 な ど を で き る 限 り 書 き 込 ん で あ り ま す の で , 安 心 し て 勉 強 を 進 め る こ と が で き ま す 。 第 2 章 の 1 階 微 分 方 程 式 で は , 従 来 取 り 扱 わ れ て き た 様 々 な 型 の 微 分 方 程 式 は 避 け , 基 本 的 な 方 程 式

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759 こ の 原 始 関 数 と し て , を 採 用 す る ( 「 微 分 積 分 学 の 基 本 定 理 」 参 照 ) と と な る 。 初 期 条 件 ② を 代 入 し て 任 意 定 数 C を 定 め る 。 ③ へ ェ = 〃 を 代 入 し て = わ 2 近 似 解 微 分 積 分 学 の 基 本 定 理 4 = / ( ェ ) が [ 〃 , わ ] 上 で 連 続 の と き S(x)—Jf(t)dt ( 。 ミ , ミ の は / は ) の 原 始 関 数 の 1 つ で あ る 。 や さ し く 学 べ る 微 分 積 分 p. 106 ゆ え に , ① ② を み た す 解 4 = 〆 ェ ) は を み た し て い る こ と が わ か っ た 。 次 に , ( * * ) の 解 関 数 ク = 4 は ) が ( * ) を み た す こ と を 示 そ う 。 ( * * ) 式 の 両 辺 を ェ で 微 分 す る と こ で , 第 2 項 の { } の 中 身 は / は , ェ ) ) の 原 始 関 数 の 1 つ ( 「 微 分 積 分 学 ま た ( * * ) に お い て ェ = 4 の 基 本 定 理 」 よ り ) な の で ゆ え に ( * * ) を み た す 解 ク = ク は ) は ( * ) の 2 式 を み た す こ と が 示 せ た 。 と お く と 以 上 よ り , 微 分 方 程 式 ( * ) と 積 分 方 程 式 ( * * ) の 解 は 同 し で あ る こ と が 示 せ ( 証 明 終 )

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次 第 1 章 微 分 方 程 式 ・ い 微 分 方 程 式 と 解 ・ ・ 1 . 1 微 分 方 程 式 と は 2 1.2 微 分 方 程 式 の 解 イ 微 分 方 程 式 を 解 く 前 に ・ 2.1 微 分 の 復 習 を 兼 ね て 2 . 2 積 分 の 復 習 を 兼 ね て ノ 3 総 合 練 習 1 20 第 2 章 1 階 微 分 方 程 式 い 変 数 分 離 形 の 微 分 方 程 式 ・ ・ 2 変 数 分 離 形 に 直 せ る 微 分 方 程 式 ・ ・ 総 合 練 習 2 ー 1 38 3 1 階 線 形 微 分 方 程 式 総 合 練 習 2 ー 2 50 ノ 2 イ ッ 2 3

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次 第 1 章 微 分 方 程 式 ・ い 微 分 方 程 式 と 解 ・ ・ 1 . 1 微 分 方 程 式 と は 2 1.2 微 分 方 程 式 の 解 イ 微 分 方 程 式 を 解 く 前 に ・ 2.1 微 分 の 復 習 を 兼 ね て 2 . 2 積 分 の 復 習 を 兼 ね て ノ 3 総 合 練 習 1 20 第 2 章 1 階 微 分 方 程 式 い 変 数 分 離 形 の 微 分 方 程 式 ・ ・ 2 変 数 分 離 形 に 直 せ る 微 分 方 程 式 ・ ・ 総 合 練 習 2 ー 1 38 3 1 階 線 形 微 分 方 程 式 総 合 練 習 2 ー 2 50 ノ 2 イ ッ 2 3

例解 物理数学演習 物理入門コース/演習5


1. 変 数 分 離 形 9 ( の 半 0 と し て , 9 ( の 両 辺 を 積 分 す れ ば , 一 般 解 g(y) を 得 る . 9 朝 0 ) = 0 と な る 定 数 的 が あ れ ば , = 的 は ( 3.1 ) の 解 で あ る . 2. 線 形 微 分 方 程 式 (c は 任 意 定 数 ) 44 = 0 3 常 微 分 方 程 式 に し て 得 ら れ る 解 を 特 解 と い う . ま ず , 1 階 微 分 方 程 式 に つ い て 述 べ る . 般 解 は , 個 の 任 意 定 数 を 含 む 解 で あ る . 一 般 解 に お け る 任 意 定 数 を 特 別 な 値 微 分 方 程 式 の 解 微 分 方 程 式 を み た す 関 数 を 解 と い う . 階 微 分 方 程 式 の 一 し か 含 ま な い も の を 線 形 , そ う で な い も の を 非 線 形 と よ ぶ . を れ 階 微 分 方 程 式 と い う . ま た , 未 知 関 数 お よ び そ の 導 関 数 に つ い て 1 次 の 項 微 分 方 程 式 に 含 ま れ る 導 関 数 の 最 高 階 の も の が 階 導 関 数 で あ る と き , そ れ こ の 章 で は 常 微 分 方 程 式 だ け を 扱 う の で , 単 に 徴 分 方 程 式 と よ ぶ こ と に す る . 方 程 式 で は 独 立 変 数 は 2 つ 以 上 あ り , 方 程 式 に 現 わ れ る 導 関 数 は 偏 徴 分 に な る . 方 程 式 に 分 け ら れ る . 常 微 分 方 程 式 で は 独 立 変 数 は 1 つ で あ る . 一 方 , 偏 微 分 常 微 分 方 程 式 微 分 方 程 式 は 独 立 変 数 の 数 に よ っ て , 常 微 分 方 程 式 と 偏 微 分 3 ー 1 常 微 分 方 程 式 と 1 階 微 分 方 程 式 ( 3.1 ) ( 3.2 ) ( 3.3 ) ( 3.4 ) を ( 3.3 ) の 同 次 ( ま た は 斉 次 ) 方 程 式 と い う . せ い じ こ れ に 対 し て , ( 3.3 ) は 非 同 ( 3.4 )