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エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉


工 ン ジ ニ ア リ ン グ サ イ エ ン ス の た め の 有 限 要 素 法 理 論 編 水 本 久 夫 / 原 平 八 郎 森 北 出 版 株 式 会 社 共 著

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11 え が き ( ガ ラ ー キ ン 法 ) を 導 入 し て , ガ ラ ー キ ン 法 に 基 づ く 有 限 要 素 法 の 定 式 化 を 述 べ , 一 般 の 線 型 常 微 分 方 程 式 や , 放 物 型 や 双 曲 型 偏 徴 分 方 程 式 の 取 り 扱 い を 可 能 に す る . 第 6 章 で は , 種 々 の 有 限 要 素 モ デ ル を 示 す . 第 7 章 で は , 水 理 学 の 分 野 へ の 実 用 的 な 応 用 を 述 べ る . 第 8 章 で は , ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 型 常 徴 分 方 程 式 を 例 に と っ て , 有 限 要 素 法 の 誤 差 評 価 に つ い て , で き る だ け 初 歩 的 に , し か し , 可 能 な 範 囲 で , で き る だ け 厳 密 に 論 じ る ・ ・ フ 。 ロ グ ラ ム 編 ' で は , 。 理 論 編 ' で 解 説 し た 各 具 体 的 な 応 用 例 に つ い て , 電 子 計 算 機 を 利 用 し て 数 値 解 を 得 る た め の , 実 用 的 な プ ロ グ ラ ム を 作 成 す る 方 法 を 述 べ , 数 値 計 算 結 果 を 考 察 し , 有 限 要 素 法 の 実 用 的 な プ ロ グ ラ ミ ン グ の 修 得 を は か っ て い る . な お , 本 書 で 引 用 さ れ て い る プ ロ グ ラ ム 番 号 ( プ ロ グ ラ ム 1 , な ど ) は , 。 プ ロ グ ラ ム 編 ' の も の を 表 わ す . 1982 年 10 月 20 日 著 者

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ま え が き 有 限 要 素 法 は , 最 近 , 理 工 学 の 分 野 で 顕 著 な 発 展 を と げ , 徴 分 方 程 式 の 最 も 有 力 な 数 値 解 法 の 手 段 と し て 認 識 さ れ つ つ あ る 学 問 で あ る . 本 書 は , 同 時 に 刊 行 さ れ る 。 プ ロ グ ラ ム 編 ' と と も に , 大 学 の 教 養 課 程 の 徴 分 積 分 学 を 修 得 し た 理 工 系 の 学 生 を 対 象 と し て , 有 限 要 素 法 の 基 礎 と 応 用 に つ い て , と く に 電 子 計 算 機 を 利 用 す る 実 用 的 な 方 法 に 力 を 入 れ て , で き る だ け 平 易 に 解 説 し た も の で あ る ・ 徴 分 方 程 式 の 数 値 解 法 と し て は , 従 来 か ら 差 分 法 ( 差 分 近 似 解 法 ) が よ く 知 ら れ て お り , 理 論 と 応 用 の 両 面 で , 高 度 に 発 展 を と げ て き て い る . し か し , 差 分 法 で は , 領 域 を 規 則 正 し い メ ッ シ ュ ( 網 目 ) に 分 割 し て 徴 分 を 差 分 で お き か え て 計 算 す る た め , 複 雑 な 形 状 の 境 界 上 で の 取 り 扱 い が 煩 雑 で あ り , 汎 用 的 な 電 子 計 算 機 用 フ 。 ロ グ ラ ム の 作 成 は 困 難 で あ っ た . こ れ に 対 し て , 最 近 発 展 し て き た 有 限 要 素 法 で は , 微 分 方 程 式 の 境 界 値 問 題 を , 変 分 問 題 に 変 換 し , ノ イ マ ン 型 の 境 界 条 件 な ど は , 自 然 境 界 条 件 と し て , 自 動 的 に 満 足 さ れ る よ う に し た の ち に , 領 域 を 任 意 な 形 状 の メ ッ シ ュ に 分 割 し て 計 算 す る た め , 境 界 条 件 の 取 り 扱 い が 非 常 に 容 易 で あ り , 汎 用 的 な プ ロ グ ラ ム が 容 易 に で き る た め , 電 子 計 算 機 の 発 達 と と も に , 急 速 に 差 分 法 に と っ て か わ り つ つ あ る . さ て , 有 限 要 素 法 の 解 説 書 は , 最 近 , 多 く 見 う け ら れ る が , そ の 大 半 は 構 造 技 術 者 の た め の も の で , 固 体 内 の 応 力 ・ ひ す み ・ 変 形 な ど の 用 語 で 記 述 さ れ て い る た め , 他 の 理 工 系 の 分 野 の 者 に は 理 解 し に く い . ま た , 有 限 要 素 法 の 数 学 理 論 に 関 す る 本 も い く っ か あ る が , 内 容 が 高 度 で あ り , 初 心 者 向 き で は な い . 本 書 の 特 色 は , 有 限 要 素 法 を 徴 分 方 程 式 の 数 値 解 法 の 一 つ と し て と ら え , 基 礎 理 論 と 応 用 を , 具 体 的 な 応 用 例 を つ け て , で き る だ け 平 易 に 解 説 し た こ と で あ る . 本 書 の 構 成 : 第 1 章 で は , 第 2 章 以 降 で 必 要 と な る 徴 分 方 程 式 の 基 本 的 な 性 質 を 述 べ る . 第 2 章 で は , 変 分 法 の 考 え 方 を 概 説 す る . こ れ を 受 け て , 第 3 章 , 第 4 章 で は , 変 分 法 に 基 づ く 有 限 要 素 法 ( リ ツ ツ 法 ) の 定 式 化 を 述 べ る . と く に , 第 4 章 で は , 徴 分 方 程 式 の 固 有 値 問 題 の リ ツ ツ 法 に よ る 定 式 化 を 述 べ る . 楕 円 型 偏 微 分 方 程 式 ( 常 徴 分 方 程 式 の 場 合 は ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 型 の 方 程 式 ) は , 変 分 法 に よ っ て 取 り 扱 え る が , 放 物 型 や 双 曲 型 偏 徴 分 方 程 式 の 場 合 に は 取 り 扱 え な い . こ の た め , 第 5 章 で は , 重 み つ き 残 差 法

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参 考 書 [ 11 ] R. H. GaIIagher: Finite Element Analysis—Fundamentals, Prentice—Hall, 1975. ( 邦 訳 ) 川 井 忠 彦 監 訳 : 有 限 要 素 法 の 基 礎 , 丸 善 , 1976. [ 12 ] 日 本 鋼 構 造 協 会 編 : コ ン ビ ュ ー タ に よ る 構 造 工 学 講 座 , 培 風 館 , 1970. な ど が あ る . 有 限 要 素 法 の 最 新 の 動 向 を 知 る に は , 論 文 集 ( 月 刊 ) と し て , ー 97 I n ternational Journal for N umerical [ 13 ] 0. C. Zienkiewicz and R. H. Gallagher (Eds. ) : Methods in Engineering, John Wiley & Sons. を 読 む と よ い . ま た , 我 が 国 で は , 二 年 に 一 度 の 論 文 集 : [ 14 ] 日 本 鋼 構 造 協 会 編 : マ ト リ ッ ク ス 解 析 法 研 究 発 表 論 文 集 . お よ び , 1979 年 よ り 毎 年 開 か れ て い る シ ン ポ ジ ウ ム の 報 告 集 : [ 15 ] 日 本 科 学 技 術 連 盟 編 : 流 れ の 有 限 要 素 法 解 析 シ ン ポ ジ ウ ム 報 告 集 . が あ る . 微 分 方 程 式 , 変 分 法 , 差 分 法 , 数 値 計 算 , ヒ ル ベ ル ト 空 間 , ル べ ー グ 積 分 , な ど の 分 野 で , 本 書 で 引 用 ま た は 参 考 に し た 書 物 を 挙 げ れ ば , [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] R. Courant and D. Hilbert: Methods of Mathematical Physics, V01. 1 , lnterscience Pub. , 1953. 寺 沢 寛 一 編 : 自 然 科 学 者 の た め の 数 学 概 論 ( 応 用 編 ) , 岩 波 書 店 , 1960. 小 松 勇 作 : 変 分 学 , 森 北 出 版 , 1975. 小 松 ・ 及 川 ・ 水 本 : 精 解 演 習 応 用 数 学 I , Ⅱ , 広 川 書 店 , 水 本 久 夫 : 工 業 数 学 I ( 物 理 数 学 ) , 森 北 出 版 , 1976. 水 本 久 夫 : 工 業 数 学 Ⅱ ( 数 値 計 算 法 ) , 森 北 出 版 , 1977. 小 松 勇 作 : ル べ ー グ 積 分 , 第 2 版 , 共 立 出 版 , 1980. 南 雲 道 夫 : 近 代 的 偏 徴 分 方 程 式 論 , 共 立 出 版 , 1957. 山 内 ・ 森 ロ ・ 一 松 編 : 電 子 計 算 機 の た め の 数 値 計 算 法 I, 培 風 館 , 一 松 信 : 数 値 計 算 , 至 文 堂 , 1963. 水 本 久 夫 : 多 様 体 上 の 差 分 法 , 教 育 出 版 , 1973. 森 ロ 繁 一 : JIS FORTRAN 入 門 〔 上 〕 , 東 京 大 学 出 版 会 , 1964 ー 65. 1968. 1965.

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1 有 限 要 素 法 と は 何 か よ う に な り , 学 校 や 研 究 所 で も 大 型 コ ン ヒ な ー タ を 持 っ と こ ろ が 多 く な っ て き た . そ の 頃 か ら , 有 限 要 素 法 の 応 用 分 野 は 急 に 広 が り , 多 種 多 様 な 方 面 で 利 用 さ れ る よ う に な っ た . 有 限 要 素 法 を 使 え ば , 自 由 に 思 い ど お り の モ デ ル を 作 れ る 複 合 材 料 の 解 析 が で き る 弾 性 限 界 を 越 え た 状 態 の 解 析 が で き る 3 次 元 連 続 体 と し て の 解 析 が で き る 形 状 が 複 雑 で も よ い な ど の 利 点 が あ る の で , 特 に , 材 料 力 学 , 破 壊 力 学 の 問 題 に は 広 く 応 用 さ れ , 成 果 を あ げ て い る . 非 金 属 材 料 を ( ま が り な り に も ) 解 析 で き る こ と は , 有 限 要 素 法 の 強 み で , ー ト , 合 板 , そ の 他 , 各 種 の も の に 応 用 さ れ て ゴ ム , プ ラ ス チ ッ ク , コ ン ク リ い る . Kobayashi は , 動 脈 壁 ( 1966 年 ) , 眼 球 ( 1969 年 ) な ど の 応 用 解 析 に 有 限 要 素 法 を 応 用 し た が [ 7 ] , こ れ も 材 料 力 学 的 研 究 の 系 統 を 見 る こ と が で き る . 近 年 は , 骨 や 歯 の 解 析 に も 利 用 さ れ て い る . 非 構 造 分 野 へ の 応 用 有 限 要 素 法 は 主 と し て 構 造 解 析 の 手 法 と し て 使 わ れ て き た . そ れ は , 構 造 解 析 の 問 題 が , 一 般 に 微 分 方 程 式 の 問 題 と し て は 扱 い に く い し か し 有 限 要 素 法 な ら ば 簡 単 と い う 性 格 を も っ て い る か ら で あ る . そ れ に 対 し , は ( 問 題 に も よ る が , 概 し て ) 微 分 方 程 式 の 問 題 と し て 扱 い 易 い 有 限 要 素 法 だ と 少 し 困 難 が あ る 流 体 力 学 や 電 磁 気 学 の 問 題 と い う 性 格 が あ る . そ の た め , こ れ ら の 分 野 に お け る 有 限 要 素 法 の 利 用 は , 遅 れ て い た . し か し , 近 年 , こ の 方 面 へ の 関 心 が 高 ま り , 産 業 界 で も 積 極 的 に 利 用 し よ う と い う 傾 向 に な っ て き て い る . 基 礎 理 論 有 限 要 素 法 は , 最 初 , 物 体 を 直 接 に モ デ ル 化 し て 解 く , と い う 発

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1 ・ 2 有 限 要 素 法 の 特 長 領 域 ( 物 体 ) の 形 が 単 純 で な い と 適 用 し に く い 粗 い 近 似 解 は す ぐ 得 ら れ る が 高 精 度 化 が 困 難 た め , 3 と い う 悩 み が あ っ た . こ の 難 点 を 解 決 す る た め , 有 限 要 素 法 で は 区 分 多 項 式 を 用 い て い る こ れ が , 定 義 の 文 章 の 後 半 で あ る . 1 ・ 2 有 限 要 素 法 の 特 長 前 節 の は 数 学 的 立 場 か ら の 説 明 で あ っ た . 今 日 の 有 限 要 素 法 の 応 用 範 囲 は き わ め て 広 く , 言 葉 の 意 味 と し て も 多 様 化 し て い る . そ の 本 質 が ど こ に あ る か を 考 え , な る べ く 全 体 を カ ノ く 一 す る よ う な 定 義 を 書 こ う と す る と , ど う し て も 数 学 的 な 表 現 に な ら ざ る を え な い . し か し 実 務 で 有 限 要 素 法 を 使 っ て い る 人 た ち の 多 く は , 「 Ritz-Galerkin 法 の 一 種 で 区 分 多 項 式 を 使 う も の 」 な ど と い う 意 識 で 有 限 要 素 法 を 使 っ て い る わ け で は な く て , も っ と 現 実 的 ( 工 学 的 ) イ メ ー ジ を も っ て 有 限 要 素 法 を 使 用 し て い る . そ う い う 人 た ち に 「 要 す る に 有 限 要 素 法 っ て 何 な の さ 」 と い う 質 問 を し た ら , き っ と 次 の よ う な 答 が 返 っ て く る で あ ろ う . 有 限 要 素 法 は 工 学 的 近 似 解 法 で あ る . 近 似 の ノ く ラ ン ス が よ い . 理 論 と 実 際 の 中 間 的 存 在 で あ る . 実 際 的 問 題 を 扱 え る の が 強 み . 応 用 範 囲 が き わ め て 広 い . ー タ と 密 着 し た 計 算 法 で あ る . コ ン ヒ ュ デ ー タ を 入 れ れ ば 即 座 に 答 が 出 る 便 利 な 道 具 で あ る . 以 下 で , こ れ を も う 少 し 詳 し く 説 明 し よ う . 工 学 的 近 似 工 学 的 な 問 題 を 数 学 的 手 法 に よ っ て 解 析 す る 場 合 , 「 工 学 的 な 近 似 」 を 行 な う の が 常 で あ る . た と え ば , 鉄 筋 コ ン ク リ ー ト は , 細 か く 見 れ ば , 鉄 筋 と コ ン ク リ ま ず 最 初 に ト を 結 合

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序 章 有 限 要 素 法 と は 何 か 有 限 要 素 法 は , 数 学 者 で は な く , 工 学 者 に よ っ て 開 発 さ れ た 数 値 解 法 で あ る . 1950 年 代 の 初 頭 は , 米 国 の 航 空 機 産 業 に お い て , 大 き な 転 換 期 で あ っ た . 航 空 機 の 速 度 が 音 速 を 突 破 し た 時 代 で , 従 来 の 翼 か ら 後 退 翼 へ , さ ら に 三 角 形 翼 へ と 構 造 が 大 き く 変 化 す る に と も な い , 複 雑 な 航 空 機 の 構 造 計 算 を , 今 ま で に な い 高 精 度 で 行 わ な く て は な ら な く な っ た . こ の 技 術 上 の 要 求 と , 大 型 電 子 計 算 機 の 発 達 に 対 応 し て 開 発 さ れ た 方 法 が , マ ト リ ッ ク ス 構 造 解 析 法 で あ る . こ の 方 法 は , M. J. Turner ( ポ ー イ ン グ 社 ) , R.W. Clough ( カ リ フ ォ ル ニ ア 大 学 / く 一 ク レ ー 校 ) , H. C. Martin ( ワ シ ン ト ン 大 学 ) お よ び L. J. Topp ( ポ ー イ ン グ 社 ) の グ ル ー プ に よ っ て 考 案 さ れ た も の で , こ の と き に は , 技 術 者 の 直 観 的 な 定 式 化 で あ っ た . こ の マ ト リ ッ ク ス 構 造 解 析 法 は , や が て , 変 分 原 理 を 用 い て , 理 論 的 に 導 び か れ る こ と が わ か り , 有 限 要 素 法 と い う 名 の も と に 構 造 力 学 の 全 分 野 ( 航 空 機 , 舶 船 , 橋 , 建 築 物 , 機 械 , な ど ) に 拡 が っ て い き , 差 分 法 に 完 全 に と っ て か わ っ た 感 が あ る . ま た , NASTRAN (NASA 開 発 ), ICES ( マ サ チ ュ ー セ ッ ツ 工 科 大 学 開 発 ) な ど の , 汎 用 の 構 造 力 学 用 の プ ロ グ ラ ム も 市 販 さ れ る よ う に な り , 構 造 技 術 者 に と っ て , 有 限 要 素 法 は 設 計 上 不 可 欠 の 日 常 道 具 と な っ た . 0. C. Zienkiewicz ( 英 国 ウ ェ ー ル ズ 大 学 ス ウ オ ン ジ ー 校 ) や B. A. Finlayson ( ワ シ ン ト ン 大 学 ( シ ア ト ル ) ) ら は , 有 限 要 素 法 の 定 式 化 と し て , 変 分 原 理 の ほ か に , 重 み つ き 残 差 法 の 考 え 方 を 導 入 し , 構 造 力 学 に 限 ら ず , 熱 伝 導 , 流 体 力 学 , 電 磁 気 学 , さ ら に は 土 質 力 学 な ど , 理 工 学 の 非 常 に 広 い 分 野 に も , 有 限 要 素 法 が 適 用 で き る こ と を 示 し た . と く に , Zienkiewicz は , 有 限 要 素 法 を , 単 に , 工 学 者 の た め の 数 値 解 法 と し て で は な く , 徴 分 方 程 式 の 数 値 解 法 の 一 つ と し て と ら え , 今 ま で 差 分 法 で 解 か れ て い た 理 工 学 の 諸 問 題 を , よ り 高 精 度 に , よ り 効 率 よ く 解 け る こ と を 実 証 し て い る . こ の よ う な 経 過 を た ど っ て , 最 近 で は , 有 限 要 素 法 は , 工 学 者 だ け の も の で は な く な っ て き て お り , 応 用 数 学 者 の 関 心 を も 引 き つ け る よ う に な り , G. Strang ( マ サ チ ー セ ッ ツ 工 科 大 学 ) と G. J. Fix ( メ リ ー ラ ン ド 大 学 ) の 著 書 [ 1 ] に 代 表 さ れ る よ う な , 有 限 要 素 法 の 収 東 性 , 誤 差 評 価 な ど に つ い て の 数 学 理 論 が 展 開 さ れ て い る . さ て , つ ぎ に 差 分 法 と 有 限 要 素 法 の 差 異 を 指 摘 す る こ と に よ り , 有 限 要 素 法 の 特 色 を 明 ら か に し よ う .

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196 参 考 書 有 限 要 素 法 の 解 説 書 は , 大 き く 分 類 す る と , ( i ) 応 用 数 学 の 立 場 で 書 か れ た も の ; (ii) 流 体 力 学 へ の 応 用 の 立 場 で 書 か れ た も の ; ( ⅲ ) 構 造 力 学 へ の 応 用 の 立 場 で 書 か れ た も の ; に 分 け ら れ る . 現 在 , 数 多 く の 本 が 出 さ れ て い る が , そ の 大 半 は , (iii) に 属 す る も の で , 最 近 , 急 速 に 発 展 し つ つ あ る (i) と ( ⅱ ) に 属 す る も の は 数 少 な い . ( i ) の 応 用 数 学 の 立 場 で 書 か れ た も の と し て , [ 1 ] G. Strang and G. J. Fix: An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall, 1973. ( 邦 訳 ) 三 好 ・ 藤 井 共 訳 : 有 限 要 素 法 の 理 論 , 培 風 館 , 1976. [ 2 ] A. R. Mitchell and R. Wait: The Finite Element Meth0d in Partial Differential Equa- tions, John Wiley & Sons, 1977. ( 邦 訳 ) 森 正 武 訳 : 偏 徴 分 方 程 式 の 有 限 要 素 法 , 科 学 技 術 出 版 社 , 1978. が 挙 げ ら れ る . ( ⅱ ) , ( ⅲ ) の 両 方 の 立 場 に ま た が っ て 書 か れ た も の と し て , [ 3 ] O. C. Zienkiewicz: The Finite Element Method, Third Edition, McGraw-Hill, 1977. が 著 名 で あ る . こ れ に は , 構 造 力 学 , 流 体 力 学 , 電 磁 気 学 , 土 質 力 学 な ど , 非 常 に 広 い 分 野 へ の 応 用 例 が 豊 富 に 示 さ れ て お り , 有 限 要 素 法 の 最 近 の 動 向 が よ く わ か る . ( ⅱ ) の 流 体 力 学 へ の 応 用 の 立 場 で 書 か れ た も の と し て , [ 4 ] R. H. Gallagher, J. T. Oden, C. Taylor and O. C. Zienkiewicz (Eds. ): Finite Elements 1978 ( V01. 3 ) , 1982 (VoI. 4 ). in Fluids, John Wiley & Sons, 1975 ( V01. 1 , 2 ) , [ 5 ] B. A. Finlayson: The Method of Weighted Residuals and Variationai Principles, Aca- demic Press, 1972. ( 邦 訳 ) 鷲 津 ・ 山 本 ・ 川 井 共 訳 : 重 み つ き 残 差 法 と 変 分 原 理 , 培 風 館 , 1974. [ 6 ] J. J. Connor and C. A. Brebbia: Finite Element Techniques for Fluid Flow, Newnes- Butterworths, 1976. [ 7 ] 土 木 学 会 編 : 土 木 工 学 に お け る 数 値 解 析 / 流 体 解 析 編 , サ イ エ ン ス 社 , 1974. な ど が あ る . (iii) の 構 造 力 学 へ の 応 用 の 立 場 で 書 か れ た も の は , 非 常 に 多 く , 代 表 的 な も の に 限 定 し て 挙 げ れ ば , [ 8 ] [ 9 ] [10] I. HoIand and K. BelI (Eds. ) : Finite Element Methods in Stress AnaIysis, TAPIR (Norway) , 1969. ( 邦 訳 ) 川 井 忠 彦 監 訳 : 有 限 要 素 法 一 応 力 解 析 へ の 応 用 , 朝 倉 書 店 , 1972. J. S. Przemieniecki: Theory of Matrix Structural AnaIysis, McGraw-HiII, 1968. ( 邦 訳 ) 川 井 ・ 山 田 共 訳 : マ ト リ ッ ク ス 構 造 解 析 の 基 礎 理 論 , 培 風 館 , 1971. J. T. Oden: Finite Elements of NonIinear Continua, McGraw—Hill, 1972.

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理 論 編 目 17. 18. 19. 第 6 章 20. 21. 22. 第 7 章 23. 24. 25. 26. 27. 二 次 元 拡 散 方 程 式 ・ ・ 1. 拡 散 方 程 式 に 対 す る ガ ラ ー キ ン 法 ・ 一 階 常 微 分 方 程 式 へ の 帰 着 ・ ・ ・ 月 5 2. 二 次 元 波 動 方 程 式 ・ ・ 1. 波 動 方 程 式 に 対 す る ガ ラ ー キ ン 法 ・ 二 階 常 微 分 方 程 式 へ の 帰 着 ・ ・ ・ 〃 7 2. 連 立 常 徴 分 方 程 式 の 差 分 近 似 解 法 ・ 1. 連 立 常 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 ・ ・ Ⅲ 8 ・ ・ 122 2. 3. 」 一 = が / 3C2 ・ ・ ・ 120 有 限 要 素 モ デ ル 線 要 素 ・ 1. 線 要 素 の 分 類 ・ ・ ・ 126 3. 二 節 点 を も つ 一 次 線 要 素 ・ 4. 中 央 差 分 法 ・ ・ 113 ・ 116 ・ 118 5. 集 中 質 量 行 列 ・ ・ ・ 124 ク ラ ン ク ・ ニ コ ル ソ ン 法 ・ ・ ・ 月 8 ( 126 ~ 143 ) ・ 126 2. 線 積 分 ・ ・ ・ 728 ・ ・ 126 4. 三 節 点 を も っ 二 次 線 要 素 ・ ・ ・ 128 三 角 形 要 素 ・ 1. 三 角 形 要 素 の 分 類 ・ 3. 三 節 点 を も つ 一 次 三 角 形 要 素 ・ ・ ・ 133 四 面 体 要 素 ・ 1. 体 積 座 標 ・ ・ ・ 138 3. 基 底 関 数 ・ ・ ・ 141 水 理 学 へ の 応 用 ・ ・ ノ 30 2. 面 積 分 ・ 4. 六 節 点 を も っ 二 次 三 角 形 要 素 ・ 2. 体 積 座 標 に 関 す る 積 分 公 式 ・ ・ ・ ノ 40 4. 要 素 行 列 ・ ・ ・ 142 地 震 時 の ダ ム 貯 水 池 内 の 水 の 運 動 ・ 自 由 表 面 を も っ 流 体 内 の 物 体 の 振 動 ・ 2. 波 動 の 方 程 式 ・ ・ ・ 147 1. 自 由 表 面 の 条 件 ・ ・ ・ 145 波 動 の 力 学 ・ 2. リ ツ ツ 法 に よ る 有 限 要 素 法 の 定 式 化 ・ 1. 問 題 設 定 ・ ・ ・ 144 ( 144 ~ 153 ) 1. 問 題 設 定 ・ ・ ・ 148 湖 水 の 自 由 振 動 ・ 1. 問 題 設 定 ・ ・ ・ 149 水 質 汚 濁 の 拡 散 ・ 1. 問 題 設 定 ・ ・ ・ 151 2. リ ツ ツ 法 に よ る 有 限 要 素 法 の 定 式 化 ・ ・ ・ 149 2. 変 分 問 題 ・ 有 限 要 素 法 の 定 式 化 ・ ・ ・ 150 2. ガ ラ ー キ ン 法 に よ る 有 限 要 素 法 の 定 式 化 ・ ・ 130 ・ ・ 134 ・ 138 ・ 144 ・ 145 ・ 148 ・ 149 ・ 151 ・ ・ 152

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1 有 限 要 素 法 と は 何 か さ ん の 重 要 事 項 を 無 理 な く 一 つ ず っ 学 習 す る た め で あ る か ら , 十 分 に 時 間 を か け て 勉 強 し て い た だ き た い . 1. 3 有 限 要 素 法 小 史 誕 生 今 か ら 約 20 年 前 ( 1956 年 ) , ポ ー イ ン グ 社 の 技 術 者 と そ の 共 同 研 究 者 た ち は , 航 空 機 の 翼 の 強 度 計 算 に 際 し , 連 続 な 板 を , 小 さ な 三 角 形 の 板 の 集 ま り と み な す 各 三 角 形 板 の 特 性 を 簡 単 な 数 式 で 近 似 す る そ れ を 総 合 し て 全 体 的 な 方 程 式 を 作 り コ ン ビ ュ ー タ で 解 く と い う 方 法 を 考 案 し た [ 1 ]. こ れ が 工 学 に お け る 有 限 要 素 法 の 始 ま り と い わ れ て い る ( [ 1 ] は 章 末 の 文 献 番 号 ) . ー タ の 誕 生 は 1945 年 , 実 用 的 に 広 く 使 わ れ る よ う に な っ た の は コ ン ヒ ュ 1955 年 ご ろ か ら で あ る . 当 時 , 航 空 機 は プ ロ ペ ラ か ら ジ = ッ ト へ , 亜 音 速 か ら 超 音 速 へ と 移 行 す る 技 術 革 新 の さ な か に あ り , ま た 政 治 的 に は 米 ソ 間 の 冷 戦 の 時 代 で , 軍 用 機 の 性 能 向 上 が 急 務 と さ れ て い た か ら , ー タ は た だ ち コ ン ビ コ . 個 々 の 板 を さ ら に 小 さ な 三 角 形 の 板 ( 原 論 文 で は sub-element と 呼 ん で い る ) に 分 割 し て 計 算 し た 航 空 機 の 翼 を 桁 構 造 物 と し て 解 析 し た 図 1.6 工 学 に お け る 有 限 要 素 法 の 最 初 の 論 文