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有限要素法へのガイド


1 有 限 要 素 法 と は 何 か よ う に な り , 学 校 や 研 究 所 で も 大 型 コ ン ヒ な ー タ を 持 っ と こ ろ が 多 く な っ て き た . そ の 頃 か ら , 有 限 要 素 法 の 応 用 分 野 は 急 に 広 が り , 多 種 多 様 な 方 面 で 利 用 さ れ る よ う に な っ た . 有 限 要 素 法 を 使 え ば , 自 由 に 思 い ど お り の モ デ ル を 作 れ る 複 合 材 料 の 解 析 が で き る 弾 性 限 界 を 越 え た 状 態 の 解 析 が で き る 3 次 元 連 続 体 と し て の 解 析 が で き る 形 状 が 複 雑 で も よ い な ど の 利 点 が あ る の で , 特 に , 材 料 力 学 , 破 壊 力 学 の 問 題 に は 広 く 応 用 さ れ , 成 果 を あ げ て い る . 非 金 属 材 料 を ( ま が り な り に も ) 解 析 で き る こ と は , 有 限 要 素 法 の 強 み で , ー ト , 合 板 , そ の 他 , 各 種 の も の に 応 用 さ れ て ゴ ム , プ ラ ス チ ッ ク , コ ン ク リ い る . Kobayashi は , 動 脈 壁 ( 1966 年 ) , 眼 球 ( 1969 年 ) な ど の 応 用 解 析 に 有 限 要 素 法 を 応 用 し た が [ 7 ] , こ れ も 材 料 力 学 的 研 究 の 系 統 を 見 る こ と が で き る . 近 年 は , 骨 や 歯 の 解 析 に も 利 用 さ れ て い る . 非 構 造 分 野 へ の 応 用 有 限 要 素 法 は 主 と し て 構 造 解 析 の 手 法 と し て 使 わ れ て き た . そ れ は , 構 造 解 析 の 問 題 が , 一 般 に 微 分 方 程 式 の 問 題 と し て は 扱 い に く い し か し 有 限 要 素 法 な ら ば 簡 単 と い う 性 格 を も っ て い る か ら で あ る . そ れ に 対 し , は ( 問 題 に も よ る が , 概 し て ) 微 分 方 程 式 の 問 題 と し て 扱 い 易 い 有 限 要 素 法 だ と 少 し 困 難 が あ る 流 体 力 学 や 電 磁 気 学 の 問 題 と い う 性 格 が あ る . そ の た め , こ れ ら の 分 野 に お け る 有 限 要 素 法 の 利 用 は , 遅 れ て い た . し か し , 近 年 , こ の 方 面 へ の 関 心 が 高 ま り , 産 業 界 で も 積 極 的 に 利 用 し よ う と い う 傾 向 に な っ て き て い る . 基 礎 理 論 有 限 要 素 法 は , 最 初 , 物 体 を 直 接 に モ デ ル 化 し て 解 く , と い う 発

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1 ・ 2 有 限 要 素 法 の 特 長 領 域 ( 物 体 ) の 形 が 単 純 で な い と 適 用 し に く い 粗 い 近 似 解 は す ぐ 得 ら れ る が 高 精 度 化 が 困 難 た め , 3 と い う 悩 み が あ っ た . こ の 難 点 を 解 決 す る た め , 有 限 要 素 法 で は 区 分 多 項 式 を 用 い て い る こ れ が , 定 義 の 文 章 の 後 半 で あ る . 1 ・ 2 有 限 要 素 法 の 特 長 前 節 の は 数 学 的 立 場 か ら の 説 明 で あ っ た . 今 日 の 有 限 要 素 法 の 応 用 範 囲 は き わ め て 広 く , 言 葉 の 意 味 と し て も 多 様 化 し て い る . そ の 本 質 が ど こ に あ る か を 考 え , な る べ く 全 体 を カ ノ く 一 す る よ う な 定 義 を 書 こ う と す る と , ど う し て も 数 学 的 な 表 現 に な ら ざ る を え な い . し か し 実 務 で 有 限 要 素 法 を 使 っ て い る 人 た ち の 多 く は , 「 Ritz-Galerkin 法 の 一 種 で 区 分 多 項 式 を 使 う も の 」 な ど と い う 意 識 で 有 限 要 素 法 を 使 っ て い る わ け で は な く て , も っ と 現 実 的 ( 工 学 的 ) イ メ ー ジ を も っ て 有 限 要 素 法 を 使 用 し て い る . そ う い う 人 た ち に 「 要 す る に 有 限 要 素 法 っ て 何 な の さ 」 と い う 質 問 を し た ら , き っ と 次 の よ う な 答 が 返 っ て く る で あ ろ う . 有 限 要 素 法 は 工 学 的 近 似 解 法 で あ る . 近 似 の ノ く ラ ン ス が よ い . 理 論 と 実 際 の 中 間 的 存 在 で あ る . 実 際 的 問 題 を 扱 え る の が 強 み . 応 用 範 囲 が き わ め て 広 い . ー タ と 密 着 し た 計 算 法 で あ る . コ ン ヒ ュ デ ー タ を 入 れ れ ば 即 座 に 答 が 出 る 便 利 な 道 具 で あ る . 以 下 で , こ れ を も う 少 し 詳 し く 説 明 し よ う . 工 学 的 近 似 工 学 的 な 問 題 を 数 学 的 手 法 に よ っ て 解 析 す る 場 合 , 「 工 学 的 な 近 似 」 を 行 な う の が 常 で あ る . た と え ば , 鉄 筋 コ ン ク リ ー ト は , 細 か く 見 れ ば , 鉄 筋 と コ ン ク リ ま ず 最 初 に ト を 結 合

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1 有 限 要 素 法 と は 何 か さ ん の 重 要 事 項 を 無 理 な く 一 つ ず っ 学 習 す る た め で あ る か ら , 十 分 に 時 間 を か け て 勉 強 し て い た だ き た い . 1. 3 有 限 要 素 法 小 史 誕 生 今 か ら 約 20 年 前 ( 1956 年 ) , ポ ー イ ン グ 社 の 技 術 者 と そ の 共 同 研 究 者 た ち は , 航 空 機 の 翼 の 強 度 計 算 に 際 し , 連 続 な 板 を , 小 さ な 三 角 形 の 板 の 集 ま り と み な す 各 三 角 形 板 の 特 性 を 簡 単 な 数 式 で 近 似 す る そ れ を 総 合 し て 全 体 的 な 方 程 式 を 作 り コ ン ビ ュ ー タ で 解 く と い う 方 法 を 考 案 し た [ 1 ]. こ れ が 工 学 に お け る 有 限 要 素 法 の 始 ま り と い わ れ て い る ( [ 1 ] は 章 末 の 文 献 番 号 ) . ー タ の 誕 生 は 1945 年 , 実 用 的 に 広 く 使 わ れ る よ う に な っ た の は コ ン ヒ ュ 1955 年 ご ろ か ら で あ る . 当 時 , 航 空 機 は プ ロ ペ ラ か ら ジ = ッ ト へ , 亜 音 速 か ら 超 音 速 へ と 移 行 す る 技 術 革 新 の さ な か に あ り , ま た 政 治 的 に は 米 ソ 間 の 冷 戦 の 時 代 で , 軍 用 機 の 性 能 向 上 が 急 務 と さ れ て い た か ら , ー タ は た だ ち コ ン ビ コ . 個 々 の 板 を さ ら に 小 さ な 三 角 形 の 板 ( 原 論 文 で は sub-element と 呼 ん で い る ) に 分 割 し て 計 算 し た 航 空 機 の 翼 を 桁 構 造 物 と し て 解 析 し た 図 1.6 工 学 に お け る 有 限 要 素 法 の 最 初 の 論 文

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5 使 用 法 と 計 算 例 5. 1 要 素 分 割 有 限 要 素 法 で 問 題 を 解 析 す る 場 合 , 次 の よ う な 手 順 が 必 要 で あ る . 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 6 ) 7 ) 物 理 的 な 簡 単 化 要 素 分 割 入 力 デ ー タ の 作 成 カ ー ド 穿 孔 コ ン ヒ 。 ー タ 処 理 結 果 を 読 む 解 釈 し 検 討 す る 各 段 階 に つ い て , も う 少 し 詳 し く 説 明 し よ う . 1 ) 物 理 的 な 簡 単 化 実 際 の 問 題 を , 適 当 に 理 想 化 , 簡 単 化 し て , 有 限 要 素 法 で 扱 う こ と の で き る 程 度 の 問 題 に な お す . す な わ ち , 個 々 の 問 題 に 許 さ れ る 範 囲 内 で 細 部 構 造 の 省 略 影 響 の 少 な い 要 因 の 省 略 特 性 の 線 型 化 2 次 元 化 , 1 次 元 化 対 称 性 の 利 用 局 所 化 な ど を 行 な う . こ う い う 処 理 は , 有 限 要 素 法 に 限 ら ず , ど の よ う な 方 法 で 解 析 す る 場 合 も や る わ け で あ る が , 有 限 要 素 法 の 場 合 に は , 必 要 に 応 じ て , 従 来 の 方 法 よ り も は る か に 詳 し い 解 析 が で き る の で あ る か ら , 簡 単 化 し す ぎ な い よ う に , し か も 計 算 費 用 を む だ に し な い よ う に , そ の 間 の , ヾ ラ ン ス を 考 え て , 詳 し さ の 程 度 を 適 切 に 決 め る こ と が 大 切 で あ る . 既 に 発 表 さ れ た 計 算 例 な ど を 参 考

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FEM 十 BEM= 1 有 限 要 素 法 へ の ガ イ ド 戸 川 隼 人 著 サ イ エ ン ス 社

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著 者 略 歴 尸 と 川 隼 が わ は や 人 と 1935 年 1958 年 現 在 東 京 に 生 ま れ る 日 本 大 学 理 工 学 部 教 授 理 学 博 士 京 都 産 業 大 学 を 経 て , 科 学 技 術 庁 航 空 宇 宙 技 術 研 究 所 , 早 稲 田 大 学 第 一 理 工 学 部 数 学 科 卒 業 主 要 著 書 数 値 計 算 入 門 数 値 計 算 技 法 マ ト リ ク ス の 数 値 計 算 微 分 方 程 式 の 数 値 計 算 計 算 機 の た め の 誤 差 解 析 の 基 礎 有 限 要 素 法 に よ る 振 動 解 析 有 限 要 素 法 入 門 数 値 解 析 と シ ミ ュ レ ー ー シ ョ ン 共 役 勾 配 法 FEM 十 BEM= 1 有 限 要 素 法 へ の ガ イ ド 昭 和 54 年 10 月 20 日 ◎ 昭 和 60 年 10 月 10 日 著 者 戸 川 隼 人 初 版 発 行 初 版 第 9 刷 発 行 印 刷 者 恒 川 定 弘 発 行 者 森 平 勇 三 製 本 者 関 川 弘 株 式 会 社 サ イ エ ン ス 社 発 行 所 〒 101 東 京 都 千 代 田 区 神 田 須 田 町 2 下 目 4 番 地 安 部 徳 ビ ル 〔 営 業 〕 置 ( 03 ) 2 ー 1091 ( 代 ) 振 替 東 京 7 - 2387 〔 編 集 〕 ( 03 ) 256 ー 1093 ( 代 ) 印 刷 特 殊 組 版 製 本 関 川 製 本 《 検 印 省 略 》 本 書 の 内 容 を 無 断 で 複 写 複 製 す る こ と は , 著 作 者 お よ ひ 出 版 社 の 権 利 を 侵 害 す る こ と か あ り ま す の で , そ の 場 合 に は あ ら か し め 小 社 あ て 許 諾 を お 求 め 下 さ い . ISBN4 ー 7819 ー 0307 ー X

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14 1 関 数 と し て 区 分 多 項 式 を 用 い た も の に 相 当 す る , と い う こ と が わ か っ た . こ れ を 最 初 に 指 摘 し た の は MeloshC2] だ と い わ れ て い る . う , や は り 土 木 工 学 の 教 授 が い た . こ の 人 は , 差 分 法 の 大 家 Southwell の 弟 子 ゼ ン ケ ヴ ィ ッ ツ と 読 む が , 訳 書 で は ツ ィ エ ン キ ー ヴ ィ ッ ツ と な っ て い る ) と い 偏 微 分 方 程 式 の 近 似 解 法 と し て の 応 用 一 方 , 英 国 に , Zienkiewics ( 正 し く ろ が き わ め て 大 き い . 実 用 的 な 計 算 技 術 を 開 拓 し 整 備 し た . 今 日 の 有 限 要 素 法 は Clough に 負 う と こ に 地 震 に 対 す る 応 答 ) の 計 算 を 手 が け , こ れ ら の 過 程 に お い て , 有 限 要 素 法 の や ア ー チ ダ ム な ど , 各 種 の ダ ム の 解 析 に 有 限 要 素 法 を 応 用 し , さ ら に 振 動 ( 特 あ る ( そ れ 以 前 は 直 接 剛 性 法 と 呼 ば れ て い た ). そ の 後 , Clough は , 重 力 ダ ム method) と い う 名 称 が は じ め て 使 わ れ た , と い う 意 味 で も , 記 念 す べ き 論 文 で 素 法 を 応 用 し た 第 1 号 と い う 意 味 で , ま た , 有 限 要 素 法 (finite element の 電 子 計 算 コ ン フ ァ レ ン ス で 発 表 し た [ 4 ]. こ れ は , 航 空 以 外 の 分 野 に 有 限 要 そ し て 早 速 , ダ ム の 応 力 解 析 へ の 応 用 を 試 み , 1960 年 , ASCE ( 米 国 土 木 学 会 ) Clough は , 有 限 要 素 法 が 土 木 工 学 に も 応 用 で き る の で は な い か , と 考 え た . け , 以 来 , 航 空 関 係 者 と 交 流 し て い た と い う . は MIT 在 学 中 に , 航 空 機 構 造 の 大 先 生 Bisplingh0ff の 講 義 を 聞 い て 感 銘 を 受 木 工 学 科 の 教 授 で あ る . 土 木 の 教 授 が 航 空 機 の 研 究 を す る の は 珍 し い が , じ っ の 技 師 , Martin は 航 空 工 学 科 の 教 授 で あ る が , Clough ( ク ラ ッ フ と 読 む ) は 土 た Turner, Clough, Martin , Topp) の う ち , Turner と TOPP は ポ ー イ ン グ 社 土 木 工 学 へ の 応 用 工 学 に お け る 有 限 要 素 法 の 元 祖 ( す な わ ち [ 1 ] を 発 表 し 実 用 的 解 法 と し て は 注 目 さ れ な か っ た の で あ る . と 主 張 し て い る . た だ , 残 念 な こ と に , 当 時 ま だ コ ン ヒ 。 = ー タ が 無 か っ た の で , 書 い て い る . だ か ら , 数 学 関 係 の 人 達 は , 有 限 要 素 法 の 元 祖 は Courant で あ る ギ ー 法 の 試 験 関 数 と し て 区 分 多 項 式 を 用 い る こ と を 論 じ , 三 角 形 要 素 の こ と も ユ - 、 ネ ノ レ 発 表 さ れ て い る こ と が わ か っ た . そ れ は C 。 urant の 論 文 [ 3 ] で あ る . こ こ で 振 り 返 っ て み る と , じ つ は , 全 く 同 じ ア イ デ ィ ア が , 既 に 1943 年 に い く た め の 基 礎 が で き た こ と に な る . 関 係 が 明 ら か に な り , 数 学 的 な 妥 当 性 も 保 証 さ れ , 他 の 問 題 に も 広 く 応 用 し て 有 限 要 素 法 と は 何 か こ れ で , 他 の 解 法 と の

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1 ・ 3 有 限 要 素 法 小 史 で , 差 分 法 を 非 常 に よ く 知 っ て い た . そ れ が , 有 限 要 素 法 に 注 目 し , そ れ ま で 差 分 法 が 用 い ら れ て い た 分 野 に 有 限 要 素 法 を 応 用 し , 同 時 に , 有 限 要 素 法 に 差 分 法 の 技 術 を 導 入 し , 有 限 要 素 法 の 内 容 を た い へ ん 豊 か な も の に し た . た と え ば 初 期 の 成 果 に は , 場 の 問 題 へ の 応 用 ( 1965 ) 浸 透 流 解 析 へ の 応 用 ( 1966 ) 粘 弾 性 解 析 へ の 応 用 ( 1968 ) ヘ ル ム ホ ル ッ 方 程 式 へ の 応 用 ( 1968 ) 弾 塑 性 解 析 へ の 応 用 ( 1969 ) な ど が あ る . ま た 彼 が 共 同 研 究 者 の lr 。 ns と と も に 開 発 し た 自 動 メ ッ シ ュ 分 割 ウ ェ ー プ ・ フ ロ ン ト 法 ア イ ソ バ ラ メ ト リ ッ ク 要 素 ( 入 力 デ ー タ 作 成 の 省 力 化 手 法 ) ( 大 次 元 の 方 程 式 の 高 速 解 法 ) ( 高 次 の 近 似 式 を 巧 妙 に 用 い た モ デ ル ) な ど の 技 法 は , 今 日 , 広 く 使 わ れ て い る . 船 舶 工 学 へ の 応 用 航 空 , 土 木 に 続 い て , 有 限 要 素 法 を 大 々 的 に と り 入 れ た の は 造 船 界 で あ る . 船 体 構 造 解 析 へ の 応 用 を 論 じ た の は Pauling [ 5 ] が 最 初 ( 1964 年 ) の よ う で あ る が , 造 船 王 国 ノ ル ウ = ー で も 有 限 要 素 法 に い ち 早 く 注 目 し , 船 体 の 解 析 に 適 し た 計 算 技 術 を 開 発 し , 大 型 船 の 設 計 に 使 用 し た . わ が 国 で も , 造 船 工 業 会 が 中 心 に な っ て , 有 限 要 素 法 に よ る 大 型 船 の 構 造 解 析 プ ロ グ ラ ム PASSAGE の 開 発 に 取 組 み , 完 成 さ せ た [ 6 ]. こ の 種 の 計 算 は , 基 本 的 に は , 要 す る に 板 と 梁 を 3 次 元 的 に 組 合 わ せ た 構 造 で あ っ て , 計 算 の 規 模 が 非 常 に 大 き く ( 要 素 数 が 数 千 , 方 程 式 の 元 数 が 数 万 に な る こ と も 珍 し く な い ) , そ う い う 計 算 を 日 常 的 に 処 理 し な け れ ば な ら な い 点 に , む ず か し さ が あ る . 材 料 力 学 的 応 用 有 限 要 素 法 の 計 算 に は , ど う し て も コ ン ヒ 。 = ー タ が 必 要 で あ る が , 以 前 は コ ン ヒ 。 = ー タ が 非 常 に 高 価 で あ っ た か ら , 航 空 , 土 木 , 造 船 と い う よ う な 花 形 産 業 ( 当 時 は こ れ ら の 産 業 の 景 気 が よ か っ た ) で な い と , 自 由 に 大 量 に は 使 え な い , と い う 事 情 が あ っ た . し か し , コ ン ヒ 。 = ー タ の 技 術 は 急 速 に 進 歩 し , コ ス ト も 低 下 し た の で , 1970 年 代 に 人 る と , ち ょ っ と し た 会 社 な ら ど こ で も 大 型 コ ン ヒ 。 = ー タ を ( 社 内 で , あ る い は 外 注 の 形 で ) 利 用 で き る

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ま ん が き こ の 本 は 有 限 要 素 法 を き わ め て や さ し く 説 明 し た 解 説 書 で あ る . 誰 に も 読 め る , 独 り で 読 め る , 寝 こ ろ ん で 読 め る , そ う い う 本 で あ る . を 理 解 し 利 用 し て い た だ け る よ う に 作 成 し た テ キ ス ト で あ る . 本 書 は , こ の よ う な 時 代 の 要 請 に こ た え て , な る べ く 多 く の 方 々 に 有 限 要 素 法 え 方 さ え 理 解 で き れ ば , か な り 自 由 に 応 用 で き る と い う 便 利 な 時 代 に な っ た . プ ロ グ ラ ミ ン グ ・ テ ク ニ ッ ク な ど を 勉 強 し な い で 済 む よ う に な り , 基 本 的 な 考 素 法 を 使 用 で き る よ う に な っ た . そ の た め , 一 般 の 利 用 者 は , 計 算 法 の 詳 細 や , と と も に , 優 秀 な 汎 用 プ ロ グ ラ ム が 普 及 し プ ラ ッ ク ・ ポ ッ ク ス と し て 有 限 要 き た . 好 き で も 嫌 い で も , 勉 強 し , 使 わ な け れ ば な ら な い 時 代 に な っ た . そ れ い た . と こ ろ が 近 年 , 有 限 要 素 法 が 普 及 し , 非 常 に 広 く 使 わ れ る よ う に な っ て コ ン ヒ ュ ー タ に も 強 く , 勘 が よ く 器 用 で 研 究 心 旺 盛 な 人 達 が 主 に 使 用 し て 以 前 は 有 限 要 素 法 は 技 術 ェ リ ー ト の 独 占 物 で あ っ た . 数 学 に 強 く , 力 学 に 強 あ る . ま た 図 解 を 多 く し て , 視 覚 的 な 面 か ら も 理 解 を 助 け る よ う に 配 慮 し た . 単 な 例 題 や 実 習 の 積 み 重 ね に よ っ て , 少 し ず っ 有 限 要 素 法 に 慣 れ る よ う に し て こ の よ う な 主 旨 か ら , 数 式 の 説 明 よ り も 「 考 え 方 」 の 説 明 に 重 点 を 置 き , 簡 ト リ ッ ク ス ) の 形 も 理 解 し て お く 方 が よ い だ ろ う と 考 え , 必 要 最 低 限 の 数 式 は ア ル を 読 ん だ り , 関 係 者 と 話 し 合 っ た り す る 際 に , や は り 少 し は 数 学 ( 特 に マ 最 初 は 全 く 数 式 な し で 説 明 す る こ と も 検 討 し た が , 汎 用 プ ロ グ ラ ム の マ ニ = こ の 程 度 の こ と は 勉 強 し て お い て 損 は な い . 入 れ る こ と に し た . ま た 同 様 な 理 由 か ら , プ ロ グ ラ ミ ン グ の こ と も 少 し 書 い た . 本 書 は は じ め て 学 ぶ 人 の た め の 入 門 書 で あ る か ら , 実 務 家 に と っ て は 物 足 り

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1 ・ 2 有 限 要 素 法 の 特 長 し て い る 点 が , 有 限 要 素 法 の 大 き な 特 長 で あ る . FEM 任 意 形 状 の 図 形 の 処 理 技 術 大 量 デ ー タ の 処 理 技 術 ロ 大 次 元 の 方 程 式 の 計 算 技 術 etc. 方 程 式 を 自 動 的 に 組 立 て る 技 術 図 1 ・ 5 ・ 有 限 要 素 法 は , 数 学 プ ラ ス そ れ に 加 え て , 有 限 要 素 法 に は 力 学 が 入 っ て い る . 最 初 か ら , 力 学 的 問 題 を 解 く た め に 開 発 さ れ , 力 学 的 背 景 を も と に 定 式 化 が な さ れ , 力 学 的 応 用 に 適 し た 形 で 汎 用 プ ロ グ ラ ム が 作 ら れ て い る . そ の た め , 応 用 分 野 の 人 に と っ て は , 非 常 に わ か り 易 く , 使 い 易 く , 効 率 の よ い も の に な っ て い る . そ の 点 が 従 来 の 数 学 的 手 法 と ず い ぶ ん 違 う . 有 限 要 素 法 は , そ う い う 意 味 で も 「 数 学 プ ラ ス の で あ り , 総 合 技 術 で あ る と い う こ と が で き る . と こ ろ で , 有 限 要 素 法 を 勉 強 す る 人 に と っ て は , 総 合 技 術 で あ る だ け に な か な か た い へ ん で あ る . 数 学 の こ と , 力 学 の こ と , 計 算 機 の こ と , そ れ も 有 限 要 素 法 に 固 有 な 技 術 を い ろ い ろ 勉 強 し な け れ ば な ら な い . そ れ ら を 全 部 , 一 度 に 勉 強 し よ う と す る と ( 特 に 数 学 や カ 学 の 予 備 知 識 が な い と ) 非 常 に 苦 し い . へ た を す る と , 何 が 何 だ か , さ つ ば り わ か ら な く な っ て し ま う . そ れ で は 困 る か ら , 本 書 で は , 説 明 を い く つ か の 段 階 に 分 け て , 少 し ず つ 新 し い 事 項 を 紹 介 し て い く こ と に し た . た い へ ん ま わ り 道 の よ う に 見 え る か も し れ な い が , た く