検索 - みる会図書館

検索対象: 論理学をつくる

論理学をつくるから 428件ヒットしました。

論理学をつくる


第 Ⅳ 部 論 理 学 は こ こ か ら 先 か 面 白 い ! 進 ん だ 話 題 の ロ ー ド マ ッ プ イ ド に な っ て い る . て い こ う . い わ ば 第 Ⅳ 部 は , 進 ん だ 論 理 学 の 学 習 の た め の 道 案 内 と ブ ッ ク ガ け で , 最 後 の 第 Ⅳ 部 で は , こ の あ と に 学 ぶ べ き 内 容 の 大 筋 だ け を ざ っ と 示 し と は 言 え , 何 の 筋 道 も 示 さ ず に 読 者 を 放 り 出 す の も 気 が 引 け る . と い う わ の は , こ か ら 先 な の だ か ら . 心 に 応 じ て 論 理 学 の 勉 強 を 進 め て い っ て ほ し い . 論 理 学 が 本 当 に 面 白 く な る こ か ら 先 は そ れ ぞ れ の 人 が 自 分 の 関 く て は な ら な い 基 本 中 の 基 本 だ っ た . の た め に 論 理 学 を 学 ぶ に せ よ , す べ て の 人 が 共 通 に き っ ち り 押 さ え て お か な て よ い . こ こ ま で の 内 容 は , 数 学 , 哲 学 , 計 算 機 科 学 , 言 語 学 , 法 学 ・ ・ ・ ・ ・ ・ 何 初 歩 の 論 理 学 か ら 中 級 の 入 り 口 ぐ ら い ま で の と こ ろ を マ ス タ ー で き た と 言 っ こ ま で つ き あ っ て く れ た 読 者 は , 第 Ⅲ 部 ま で で 論 理 学 の 入 門 は 終 わ り .

論理学をつくる


第 Ⅱ 部 論 理 学 を ひ ろ げ る 第 I 部 で , 論 理 学 の 基 本 的 な 進 め 方 が 分 か っ て も ら え た も の と 思 う 。 第 Ⅱ 部 で は 第 I 部 で つ く っ た 人 工 言 語 L で は 扱 え な い よ う な 論 証 も 扱 え る よ う に 論 理 言 語 を 3 段 階 に わ た っ て 徐 々 に 拡 張 す る 。 と は い え , 論 理 学 を つ く っ て い く や り 方 そ の も の は 第 I 部 と ま っ た く 変 わ ら な い か ら 心 配 に は 及 ば な

論理学をつくる


8 で , 第 I 部 論 理 学 を は じ め る こ の 問 い は 真 剣 に 考 え 始 め る と か な り 難 し い 哲 学 的 問 題 に 発 展 し ち ゃ う の で 本 当 は 触 れ た く な い の だ 。 で も , と り あ え ず の 答 え を し て お こ う 。 1970 年 代 に , ウ ェ イ ソ ン (Wason) と ジ ョ ド (Johnson-Laird) と い う 2 人 の 心 理 学 者 が 次 の よ う な 研 究 を 行 っ た 。 ン ソ ン = レ ア ー フ ォ ッ ク ス が 信 用 で き る 男 な ら UFO は 実 在 す る フ ォ ッ ク ス は 信 用 で き る 男 で あ る UFO は 実 在 す る フ ォ ッ ク ス が 信 用 で き る 男 な ら UFO は 実 在 す る UFO は 実 在 し な い フ ォ ッ ク ス は 信 用 で き る 男 で は な い こ の 2 つ の 論 証 は ど ち ら も 正 し い 。 し か し , 彼 ら の 実 験 結 果 に よ る と , 我 々 は ( 2 ) の よ う な 論 証 の 正 し さ の 判 定 は ( 1 ) の よ う な 論 証 の 正 し さ の 判 定 に 比 べ る と 格 段 に 下 手 な の だ そ う だ 。 つ ま り , ( 2 ) の よ う な 論 証 が 正 し い か ど う か を 判 定 す る と き に は , ( 1 ) よ り も ず っ と 間 違 え や す く , 時 間 も か か る 。 こ う し た こ と が 心 理 学 の 研 究 対 象 だ 。 つ ま り , 人 間 が ど の よ う な 論 証 や 論 理 的 推 論 な ら 間 違 え ず に 遂 行 で き , ど の よ う な 論 証 を 間 違 え や す い か と い う こ と で あ る 。 そ し て , こ う し た 実 験 結 果 は , 我 々 が 実 際 に ど の よ う な メ カ ニ ズ ム に よ っ て ( 我 々 の 頭 脳 を コ ン ピ ュ ー タ の 一 種 と 考 え る な ら , 我 々 が ど ん な プ ロ グ ラ ム に し た が っ て ) , ( 1 ) や ( 2 ) の よ う な 推 論 を 行 っ て い る の か を 調 べ る 際 の デ ー タ に な る だ ろ う 。 つ ま り ( 1 ) も ( 2 ) も 正 し い 論 証 な の に , な ぜ か 人 間 は ( 2 ) の 正 し さ を 認 識 す る の が 苦 手 だ 。 こ の こ と は , 論 証 の 正 し さ を 認 識 す る 心 の 仕 組 み が ど う な っ て い る の か を 知 る た め の ヒ ン ト を 与 え て く れ る 。 こ れ に 対 し , 論 理 学 の 関 心 の 的 は こ う し た 実 験 の そ も そ も の 前 提 に な っ て い る こ と が ら , つ ま り ( 1 ) も ( 2 ) も 正 し い 論 証 で あ る と い う こ と は ど う い う こ と か , ど う し て ど ち ら も 正 し い 論 証 な の か , お よ そ 正 し い 論 証 と は ど の よ う な 論 証 な の か , と い う こ と に あ る 。 心 理 学 者 が 「 人 間 は 実 際 ど の よ う に 論 理 的 論 証 を し て い る か 」 と い う 問 題 を 解 明 し よ う と し て い る の に 対 し , 論 理 学 者 が 解 明 し よ う と し て い る の は , 「 我 々 は 何 を 『 正 し い 』 論 証 と す れ ば よ い か 」 と い う 問 題 だ 。 だ か ら , 論 理 学 は 心 理 学 よ り は 数 学 に 似 て い る 。 あ る 日 , 地 球 に 怪 彗 星 が 近 づ い て き て , そ こ か ら 出 る 未 知 の 放 射 線 の せ い で , す べ て の 人 間 が 12 十 13 = 25 と い う 計 算 だ け で き な く な っ て し ま っ た と し よ う 。 す べ て の 人 類 が , 12 十 13 を 計 算 し よ う と す る と 89 と い う 答 え を 出 す よ う に な っ て し ま っ た の で あ る 。 だ か ら と い っ て , そ の 日 か ら 12 十 13 は 89 に な り ま し た , と い う の は ヘ ン だ ろ う ? 12 十 13 = 25 と い う の が 相 変 わ ら ず 正 し い の だ が , そ の 正 し さ に だ れ も 到 達 で き な く な っ う し た 意 味 で の 「 数 学 的 正 し さ 」 に 対 応 す る 「 論 理 的 て し ま っ た , と い う こ と だ 。 論 理 学 も , こ 正 し さ 」 に 関 心 を も つ 。

論理学をつくる


第 Ⅳ 部 論 理 学 は こ こ か ら 先 が 面 白 い ! 292 11.3.1 直 観 主 義 論 理 学 の 成 立 11.3 直 観 主 義 論 理 進 ん だ 話 題 の ロ ー ド マ ッ プ 数 学 に 対 し て ャ ン 君 の よ う な 構 成 主 義 的 立 場 を と っ た と き も , 排 中 律 に 対 す る 疑 念 が 生 じ て く る 。 オ ラ ン ダ の 数 学 者 , プ ラ ウ ワ ー (Luitzen Egbertus Jan Brouwer) は , 数 学 を も っ と 人 間 の 精 神 活 動 に 結 び つ い た も の と す べ き だ と 考 え , 直 観 主 義 数 学 (intuitionistic mathematics) と い う 排 中 律 や 背 理 法 の 無 制 限 の 使 用 を 排 除 し た 数 学 を 始 め た 。 彼 は , 数 学 の 本 質 は 心 の 構 成 的 働 き に あ る か ら , こ う し た 心 の 働 き に 基 づ い て 数 学 を や り な お す べ き だ ( こ れ が 直 観 主 義 と い う 名 前 の 由 来 ) と 考 え た 。 例 え ば の 小 数 展 開 を す べ て や り と げ る こ と は で き な い 。 し た が っ て 直 観 主 義 数 学 で は , 実 数 の よ う な 数 学 的 対 象 は 完 結 し た 対 象 で は な く 生 成 さ れ つ つ あ る も の と し て 考 え ら れ る 。 の 小 数 展 開 の 中 に 7 が 100 個 続 く 箇 所 は い ま の と こ ろ ま だ 見 つ か っ て い な い が , 事 実 と し て あ ら わ れ る か あ ら わ れ な い か の ど ち ら か に 決 ま っ て い る は ず だ , だ か ら P な の か •P な の か は 分 か ら な く て も 我 々 は P v -•P は 主 張 し て よ い , と い う 具 合 に 排 中 律 を 無 制 限 に 適 用 す る こ と は , プ ラ ウ ワ ー に 言 わ せ れ ば 論 理 の 濫 用 な の で あ る 。 プ ラ ウ ワ ー は そ も そ も 論 理 学 全 般 に 対 す る 敵 意 を 持 っ て い た の だ が , 直 観 主 義 数 学 で だ っ て 証 明 が 行 わ れ る の だ か ら , 普 通 の 数 学 の 論 理 が 古 典 論 理 で あ る の と 同 じ よ う な 意 味 で , 直 観 主 義 数 学 に も そ れ な り の 論 理 が あ る は ず だ 。 そ の 論 理 を 取 り 出 し て 見 せ た の が プ ラ ウ ワ ー の 弟 子 の ハ イ テ ィ ン ク (Heyting) だ っ た 。 こ の よ う に し て 始 ま っ た 論 理 学 が 直 観 主 義 論 理 (intuitionistic logic) と 呼 ば れ る 。 11.3.2 直 観 主 義 論 理 の た め の 自 然 演 繹 ど の 規 則 を 修 正 し た ら 排 中 律 を 捨 て ら れ る か 直 観 主 義 論 理 は 排 中 律 が theorem と し て 出 て こ な い よ う に す る と い う 方 向 で 排 中 律 の 排 除 を 目 指 し た も の だ と 考 え る と わ か り や す い 。 で は , そ れ を ど の よ う に 行 っ た ら よ い の だ ろ う 。 そ れ が 最 も 見 や す い の が 自 然 演 繹 だ 。 古 典 論 理 の た め の 自 然 演 繹 ND ( た だ し 矛 盾 記 号 を 使 う や っ ) は 次 の 推 論 規 則 を も っ て い た 。 ( 1 ) → △ い → に 対 す る 導 入 規 則 と 除 去 規 則 ¯lintro* と ¯lelim* ( 3 ) 2 重 否 定 除 去 則 (DN) 次 に , 自 然 演 繹 で の 排 中 律 の proof を 思 い 出 そ う 。 ポ イ ン ト は 最 後 に DN を 使 っ て 2 重 否 定 を と る と こ ろ に あ る 。 こ れ が な い と 排 中 律 は で て こ な い 。 そ こ で , DN と い う 推 論 規 則 を 捨 て る こ と に し て は ど う か 。 そ の 方 向 で 基 本 的 に は よ い の だ が , 1 つ 困 っ た こ と に な る 。 な ぜ な ら , DN を 捨 て て し ま う と 否 定 に 関 し て は •intro* と •elim* の 2 つ の 規 則 だ け が 残 る こ と に な る

論理学をつくる


C. ブ ッ ク ガ イ ド 直 観 主 義 論 理 に つ い て , 野 矢 茂 樹 [ 1994 ] を 読 ん で ま だ も の た り な か っ た ら 次 に 読 も う 。 ・ 小 野 寛 晰 [ 1994 ] 『 情 報 科 学 に お け る 論 理 』 日 本 評 論 社 423 直 観 主 義 論 理 , 様 相 論 理 に つ い て , も う す こ し 数 学 的 , 理 論 的 に 整 理 し て お き た い と い う 人 は こ の 本 を 読 も う 。 叙 述 は や や そ っ け な い が , コ ン パ ク ト な 本 で あ る に も か か わ ら ず , 情 報 満 載 で 役 に 立 つ 。 ・ 金 子 洋 之 〔 1994 ] 『 記 号 論 理 入 門 』 産 業 図 書 本 書 を 読 ん で 自 然 演 繹 法 に 興 味 を 持 ち , も っ と 証 明 技 術 を 磨 き た い と 思 っ た 人 に は 最 適 の 一 冊 。 じ め か ら 矛 盾 記 号 を 使 っ た や り 方 で 展 開 さ れ て い る 。 ・ 神 野 慧 一 郎 / 内 井 惣 七 [ 1976 ] 『 論 理 学 一 一 - モ デ ル 理 論 と 歴 史 的 背 景 』 ミ ネ ル ヴ ァ 書 房 は 可 能 世 界 意 味 論 に も と づ く 様 相 論 理 を さ ら に 先 ま で 勉 強 し た い 人 に 格 好 の テ キ ス ト 。 様 相 述 語 論 理 や 様 相 論 理 の 応 用 の 1 つ で あ る 条 件 法 の 論 理 も 扱 わ れ て い る 。 ま た , 現 代 論 理 学 が ど の よ う に ス タ ー ト し た の か に つ い て の 歴 史 的 記 述 も 収 め ら れ て い て 盛 り だ く さ ん 。 ・ 坂 本 百 大 / 坂 井 秀 寿 [ 1971 ] 『 現 代 論 理 学 』 東 海 大 学 出 版 会 ち ょ っ と 古 い 感 じ の 教 科 書 だ が , 現 代 記 号 論 理 学 の 立 場 か ら 伝 統 的 論 理 学 を か な り く わ し く 扱 っ て い る 。 伝 統 的 論 理 学 に つ い て も っ と 知 り た い 人 に お 勧 め 。 [ 1995 ] 『 形 式 論 理 学 一 一 そ の 展 望 と 限 界 』 産 業 図 書 ・ ジ ェ フ リ 同 一 性 を 含 む 述 語 論 理 , 関 数 記 号 を 含 む 述 語 論 理 に つ い て の タ ブ ロ ー の 方 法 の 信 頼 性 の 証 明 , 本 書 で は 扱 え な か っ た , 命 題 論 理 の 決 定 不 可 能 性 の 証 明 に つ い て は こ の 本 が 最 短 距 離 。 ・ 清 水 義 夫 [ 1984 ] 『 記 号 論 理 学 』 東 京 大 学 出 版 会 ま た 本 書 で は 省 略 し た ヘ ン キ ン の 方 法 に よ る 述 語 論 理 の 公 理 系 に 対 す る 完 全 性 証 明 の 細 部 を 知 り た い 人 は こ の 本 が よ い 。 ・ 白 井 賢 一 郎 [ 1985 ] 『 形 式 意 味 論 入 門 』 産 業 図 書 ・ 白 井 賢 一 郎 [ 1991 ] 『 自 然 言 語 の 意 味 論 』 産 業 図 書 論 理 学 が 日 常 言 語 の 研 究 に ど の よ う な 仕 方 で 関 わ っ て く る か , も っ と 精 密 に 日 常 言 語 を 論 理 的 に 扱 う に は ど う す れ ば 良 い か , ま た そ の 際 に ど の よ う な 問 題 点 が あ る か , に つ い て 知 り た い 向 き に お 勧 め 。 ・ 菅 原 道 明 [ 1987 ] 『 論 理 学 一 一 -- タ ブ ロ ー の 方 法 』 理 想 社 タ ブ ロ ー の 方 法 は 様 相 論 理 に も 使 え る 。 そ れ を 知 り た い な ら こ の 本 の 第 3 章 を 読 も う 。 ・ 丹 治 信 春 [ 1999 ] 『 タ ブ ロ ー の 方 法 に よ る 論 理 学 入 門 』 朝 倉 書 店 本 書 の 原 稿 を 書 き 上 げ た と き に こ の 本 が 出 た 。 初 心 者 向 け の 本 で ヒ ン テ ィ ッ カ 集 合 を 使 っ て タ ブ ロ ー の 信 頼 性 を 証 明 す る の は エ レ ガ ン ト で よ い わ い と 思 っ て い た ら , 丹 治 さ ん も そ の 方 針 だ っ た の で ち ょ っ と シ ョ ッ ク を 受 け た 。 教 育 的 配 慮 に 富 ん で い る 。 ・ 野 本 和 幸 [ 1988 ] 『 現 代 の 論 理 的 意 味 論 』 岩 波 書 店 様 相 論 理 と 可 能 世 界 意 味 論 が 言 語 に つ い て の 哲 学 的 考 察 に ど の よ う な 問 題 を 投 げ か け , ど の よ う な イ ン パ ク ト を 与 え た か に つ い て 知 り た い 人 は 是 非 読 も う 。 か な り マ ニ ア ッ ク な 本 格 的 書 物 。 ・ 野 矢 茂 樹 [ 1994 ] 『 論 理 学 』 東 京 大 学 出 版 会 本 書 を 書 き な が ら , 最 も 気 に な っ て い た 本 。 と い う の も , こ の 本 は か な り 丁 寧 な 解 説 が 含 ま れ , ト ピ ッ ク も 豊 富 で , し か も 遊 び に も 富 ん で い る の に , な ぜ か 薄 い の だ 。 ど ん ど ん ふ く れ あ が っ て い く

論理学をつくる


ニ ッ ク 的 な と こ ろ は で き る か ぎ り 学 生 諸 君 の 自 習 に ま か せ て , 授 業 で は そ の よ う な テ ク ニ ッ ク を 用 い る こ と の 意 味 と か , 論 理 学 特 有 の 方 法 の お も し ろ さ に つ い て 触 れ る こ と に し た ら ど う か , と 考 え る よ う に な っ た 。 こ れ が , こ の 本 を 書 き た い と 思 っ た そ も そ も の 理 由 だ 。 く 教 員 の 皆 さ ん に > ・ ・ と い う わ け で , こ の 本 を 授 業 の テ キ ス ト と し て 使 っ て い た だ く 場 合 , な る べ く 基 礎 的 ・ 技 術 的 な こ と は 自 習 に 任 せ て , 講 義 で は こ こ に 盛 り 込 む こ と の で き な か っ た 話 題 を 扱 っ て , 論 理 学 の お も し ろ さ を 伝 え て い た だ け れ ば と 思 う 。 例 え ば , 20 世 紀 は じ め の 「 数 学 の 危 機 」 と 数 理 論 理 学 の 始 ま り の 関 連 と か , 論 理 回 路 と コ ン ピ ュ ー タ の 基 礎 の 話 と か , 思 考 は 計 算 に 他 な ら な い と い う 計 算 主 義 と AI の 話 と か , 可 能 世 界 意 味 論 を 用 い た 虚 構 の 分 析 と か , 対 象 と な る 学 生 の 関 心 に 応 じ て お も し ろ い 話 は い く ら で も あ る 。 く 学 生 の 皆 さ ん に 〉 英 語 圏 の 初 心 者 向 け の す ぐ れ た 教 科 書 に は 分 厚 い も の が 多 い 。 サ ミ ュ エ ル ソ ン の 『 経 済 学 』 し か り , ワ ト ソ ン の 『 遺 伝 子 の 分 子 生 物 学 』 し か り 。 と は い え , 次 の 推 論 は 正 し く な い 。 「 す ぐ れ た 教 科 書 は す べ て 分 厚 い 。 そ し て , こ の 教 科 書 は 分 厚 い 。 し た が っ て , こ の 教 科 書 は す ぐ れ て い な ぜ 正 し く な い の だ ろ う 。 そ も そ も 推 論 が 正 し い と か 正 し く な い と い う こ と は ど う い う こ と だ ろ う 。 そ し て そ れ を 確 か め る に は ど の よ う な 方 法 を 用 い れ ば よ い だ ろ う 。 そ し て そ の 方 法 は い つ で も , ど ん な 推 論 に 対 し て も 有 効 だ ろ う か 。 か り に 有 効 だ と し た ら , そ の こ と を ど の よ う に 確 認 し た ら よ い だ ろ う 。 ・ ・ と い っ た こ と が こ の 本 の テ ー マ だ 。 関 心 を も っ た 人 は 論 理 学 の 勉 強 を 始 め よ う 。 論 理 学 は 簡 単 に 学 べ て す ぐ に 役 立 っ と い っ た も の で は な い け れ ど , 少 な く と も 学 ぶ に 値 す る お も し ろ さ に 満 ち て い る 。 こ の 本 を つ く る に 当 た っ て は 多 く の 方 々 に お 世 話 に な っ た 。 松 原 洋 さ ん に は , 論 理 学 の 授 業 で 本 書 に 収 め ら れ た 練 習 問 題 を 実 際 に 使 っ て み て い た だ い た 。 杉 原 桂 太 く ん は , 初 学 者 の 立 場 で 草 稿 を 読 み 質 問 や コ メ ン ト を び っ し り 電 子 メ ー ル で 送 っ て く れ た 。 金 子 洋 之 さ ん か ら も 貴 重 な 助 言 を い た だ い た 。 名 古 屋 大 学 出 版 会 の 長 畑 節 子 さ ん に は , ズ ボ ラ な 筆 者 は 校 正 の 段 階 で そ の 丁 寧 な 仕 事 ぶ り に た い へ ん 助 け ら れ た 。 そ し て , 本 書 執 筆 の 機 会 を 与 え て く だ さ っ た 名 古 屋 大 学 出 版 会 編 集 部 の 橘 宗 吾 さ ん に は 感 謝 の 言 葉 も な い 。 ふ だ ん か ら 橘 さ ん の 編 集 者 と し て の 姿 勢 と 能 力 を 尊 敬 し て い る 私 は , こ の 本 が 彼 の 手 が け た 数 多 く の 優 れ た 書 物 た ち に 仲 間 入 り で き る こ と を と て も 誇 り に 思 っ て い る 。 2000 年 7 月 20 日 戸 田 山 和 久

論理学をつくる


第 11 章 め く る め く 非 古 典 論 理 の 世 界 に よ う こ そ ! と い う こ と で あ る 。 い く ら 直 観 主 義 論 理 だ と い っ て も そ の 程 度 の 理 想 化 は 含 ん で い る ) な の で あ る 。 し か し な が ら , 証 明 解 釈 に は 限 界 が あ る 。 例 え ば A → A が 直 観 主 義 論 理 で 許 さ れ る 理 由 を 証 明 解 釈 に よ り き ち ん と 説 明 す る こ と が で き る だ ろ う か ? よ う す る に , 古 典 論 理 の 真 理 表 や 集 合 論 的 モ デ ル に 比 べ る と , 証 明 解 釈 は ず っ と 非 形 式 的 で 曖 昧 な の だ 。 特 に , そ こ に 出 て く る 「 証 明 の 方 法 」 と い う の が は っ き り し な い 。 だ が , 古 典 論 理 の セ マ ン テ ィ ク ス と お な じ く ら い 形 式 的 に も 厳 密 な セ マ ン テ ィ ク ス が な い と と て も 困 る 。 何 に 困 る か と い う と , ま ず 第 一 に 完 全 性 証 明 を す る の に 困 る の だ 。 そ こ で 次 に , 直 観 主 義 論 理 の 完 全 性 を 証 明 す る た め に ソ ー ル ・ ク リ プ キ (Saul Kripke) が 何 と 弱 冠 23 歳 で つ く り あ げ た ク リ プ キ ・ セ マ ン テ ィ ク ス を 紹 介 し よ う 。 ク リ プ キ ・ セ マ ン テ ィ ク ス の 基 本 的 ア イ デ ィ ア ( 1 ) ク リ プ キ の 基 本 的 ア イ デ ィ ア は , 神 様 の 論 理 学 か ら 人 間 の 認 識 に 結 び つ い た 論 理 学 へ と い う 直 観 主 義 論 理 の 初 心 に 返 る こ と に あ る 。 そ こ で , 数 学 や 論 理 を 或 る 程 度 理 想 化 し て と ら え た 人 間 の 心 の な か で 行 わ れ る 活 動 と し て 考 え よ う 。 い ま , こ の 人 を 住 さ ん と す る 。 ( 2 ) 住 の 認 識 活 動 は 時 間 に 沿 っ て 生 じ る 。 各 時 点 で は 何 ら か の 事 実 を 証 明 し た り 検 証 し た り し て 知 っ て ゆ く 。 た だ し , は 完 璧 な 記 憶 力 を 持 っ て お り , 或 る 時 点 で 知 っ た こ と は そ の あ と も ず っ と 忘 れ な い も の と す る に れ も 理 想 化 ね ) 。 時 間 は 自 然 数 の よ う に と び と び に な っ て い る も の と し よ う 。 つ ま り 時 点 0 , 時 点 1 , 時 点 2 , ・ ・ と い う 具 合 に 流 れ る も の と す る 。 ( 3 ) は 各 時 点 で つ ね に , 知 識 を 増 や し て い く 可 能 性 を い く っ か 持 っ て い る と 考 え る 。 つ ま り の 知 識 の 増 加 の 筋 道 は 次 の 図 の よ う に 枝 分 か れ 状 に な っ て い る 。 量 化 子 を も っ た 直 観 主 義 述 語 論 理 を 考 え る と き は , 住 は 各 時 点 で 知 識 を 増 や し て い く だ け で は な く , 例 え ば , 次 の 素 数 を つ く っ た り , 数 列 の 次 の 項 を 計 算 し た り し て , い ろ い ろ な 対 象 を 構 成 し て い く 。 だ か ら , 直 観 主 義 述 語 論 理 の モ デ ル で は 論 議 領 域 も 各 時 点 に 相 対 的 に 与 え な く て は な ら な く な る 。 299 時 間 t こ の 図 の 各 ノ ー ド び は , 住 の 可 能 な 知 識 状 態 (possible state of knowledge) を 表 し て い る 。 れ を 段 階 (stage) と も 呼 ぶ 。 段 階 が よ り 時 間 的 に よ り 前 で あ る こ と を , 坙 で あ ら わ す こ と に し よ う 。 す る と , す べ て の 段 階 の 集 合 S は こ の ミ に 関 し て 一 方 向 に だ け 枝 分 か れ を し た ツ リ ー 状 の 構 造 に な る 。 こ う し た 構 造 を も っ た 集 合 を 数 学 で は 部 分 順 序 集 合 と 言 っ た り す る 。 ( 4 ) 各 段 階 に お い て に 知 ら れ て い る 原 子 式 を そ の ノ ー ド に 沿 え て 書 き 込 む こ と に す る 。 例 え ば ,

論理学をつくる


6 第 I 部 論 理 学 を は じ め る 別 の 例 を 挙 げ よ う 。 ( 1 ) 鯨 は ほ 乳 類 で あ り 知 能 が 高 い ( 2 ) 鯨 は ほ 乳 類 で あ る か な い か の い ず れ か で あ る ( 1 ) も ( 2 ) も と も に 正 し い 。 し か し , ( 1 ) は 動 物 学 の 調 査 研 究 の 結 果 初 め て わ か っ た こ と だ 。 こ れ に 対 し , ( 2 ) の 文 は , 動 物 学 に は 関 係 な い 。 こ の 文 が 正 し い こ と を 知 る た め に は 現 実 の 鯨 を 研 究 す る 必 要 は な い 。 ( 2 ) の 文 が 正 し い の は , 「 『 エ ル ム 街 の 悪 夢 』 の 監 督 は ア イ オ ワ 州 生 ま れ で あ る か な い か の い ず れ か で あ る 」 , 「 マ リ フ ァ ナ は 有 害 で あ る か な い か の い ず れ か で あ る 」 , な ど が 正 し い の と 同 じ 理 由 に よ る 。 つ ま り , 「 ~ は ・ ・ ・ で あ る か な い か の い ず れ か で あ る 」 と い う 形 を し て い る と い う だ け の 理 由 に よ っ て 正 し い わ け だ 。 こ の た め , ( 2 ) の よ う な 真 理 は 形 式 的 真 理 (formal truth) と 呼 ば れ る 。 そ し て , こ の 形 式 的 真 理 と は 何 か , あ る 文 が 形 式 的 真 理 で あ る か な い か を 判 定 す る に は ど の よ う な 方 法 が あ る か と い う こ と を 体 系 的 に 研 究 す る の が 論 理 学 の 第 3 の 目 標 だ 。 こ の 目 標 も 先 の 2 つ の 目 標 と 密 接 に 関 連 し て い そ う だ と い う こ と は 察 し が っ く 。 論 理 学 の 目 標 と 本 書 の 戦 略 以 上 で わ か っ た よ う に , 論 理 学 が 扱 う 重 要 な 概 念 は と り あ え ず 3 種 類 あ り , こ れ ら は 互 い に 関 連 し あ っ て い る 。 こ う し た 関 連 を は っ き り さ せ な が ら , な お か っ そ れ ぞ れ を 明 確 に し て い く の が 論 理 学 の さ し あ た っ て の 目 標 だ コ ヾ 0 論 理 学 が あ っ か う 基 礎 概 念 つ じ つ ま が 合 っ て い な い ど ん な と き も 正 し い 矛 盾 し て い る 絶 対 に 正 し い 筋 が 通 っ て な い 当 た り 前 の こ と 論 理 的 帰 結 矛 盾 形 式 的 真 理 論 証 の 妥 当 性 何 に つ い て 言 わ れ る 概 念 で あ る か 文 の 集 ま り と 1 つ の 文 の 関 係 文 の 集 ま り 1 つ の 文 こ の 3 つ は 見 か け は 違 う け れ ど , あ と で は っ き り す る よ う に 結 局 は 同 じ と こ ろ に 通 じ る 。 だ か ら , ど れ を 出 発 点 に 選 ん で も , 最 終 的 に で き あ が る 論 理 学 は 同 じ に な る 。 本 書 で は , 正 し い 論 証 と は 何 か と い う 第 1 の 問 い を 出 発 点 と し , 論 理 学 を 作 っ て い く 過 程 を 経 験 す る こ と を 通 じ て 論 理 学 に 入 門 し て も ら う こ と に し よ う 。 論 理 的 に 出 て く る 「 〇 〇 か ら >< >< は 言 え る 」 レ 」 的 常 日 論 理 学 的 な 言 い 方 に 直 す と 1.1.3 論 理 学 っ て お も し ろ い ん だ ろ う か ? さ て と 。 こ れ ま で 論 理 学 の 目 標 を 述 べ て き た が , 次 の よ う に 考 え る 人 が い る か も し れ な い 。 「 何 だ か 論 理 学 っ て つ ま ら な そ う 。 だ っ て , し か じ か の こ と か ら , か く か く の こ と が 出 て く る

論理学をつくる


1 は じ め に 分 厚 い 論 理 学 の 教 科 書 を 書 い て み た い と ず っ と 思 っ て い た 。 で も 日 本 で は な ぜ か 教 科 書 は コ ン パ ク ト な も の と 決 ま っ て い る の で , 無 理 だ ろ う な と 思 っ て い た ら , 「 出 し ま し よ う ! 」 と 言 っ て く れ る 話 の 分 か る 編 集 者 が 現 れ , う れ し さ の あ ま り 書 い て し ま っ た の が こ の 本 だ 。 は じ め は お お よ そ こ の 倍 の 分 量 の 原 稿 が あ っ た 。 「 そ れ は い く ら な ん で も ・ ・ ・ ・ ・ 」 と い う こ と で , 泣 く 泣 く 削 っ て い っ て も こ れ だ け の 分 量 に な っ た 。 論 理 学 の 教 科 書 と し て は 異 例 の 厚 さ で は な い か と 思 う 。 き っ と 日 本 最 厚 ( ? ) だ 。 な ぜ 厚 く な っ た か と い う と , 次 の 4 点 を 目 指 し た か ら だ 。 ( 1 ) こ れ ま で ま っ た く 論 理 学 と い う も の を 学 ん だ こ と の な い 人 の た め の 教 科 書 を 書 こ う 。 だ か ら , 重 要 な こ と が ら は く ど い く ら い に 説 明 を し た 。 い ろ い ろ な 証 明 も 途 中 を 省 略 せ ず , 最 初 に 見 通 し を 述 べ た 上 で 行 う よ う っ と め た 。 そ う し た ら , 厚 く な っ た 。 ( 2 ) 1 人 で 読 み な が ら 練 習 問 題 を 解 い て い く だ け で , 初 歩 の 論 理 学 が マ ス タ ー で き る 教 科 書 を 書 こ う 。 こ う い う の を self - conta ⅲ ed な 教 科 書 と 言 う 。 だ か ら , 練 習 問 題 を た く さ ん 用 意 し , そ の す べ て に 解 答 を つ け た 。 そ う し た ら , ま す ま す 厚 く な っ た 。 こ ま か な テ ク ニ ッ ク の 習 得 だ け で な く , な ぜ そ の よ う な テ ク ニ ッ ク が 必 要 な の か , そ の テ ク ニ ッ ク の 有 効 性 と 限 界 は ど こ に あ る か , 論 理 学 の ど こ が 面 白 い の か と い う こ と を 分 か っ て も ら え る 教 科 書 を 書 こ う 。 そ の た め , す で に で き あ が っ て い る 論 理 学 を 天 下 り 式 に 解 説 す る と い う や り 方 は や め た 。 ま ず 論 理 学 の 目 的 を は っ き り さ せ た 上 で , そ れ を 果 た す に は ど の よ う な 道 具 だ て を つ く っ て い け ば よ い か を 考 え , 次 に そ の 道 具 だ て は 目 的 を き ち ん と 果 た し て い る か を 調 べ , 限 界 が あ れ ば さ ら に よ い 道 具 に 改 善 し て い く ・ ・ ・ ・ と い っ た 叙 述 の 進 め 方 を 採 用 し た 。 よ う す る に こ の 本 の 中 で 論 理 学 を つ く っ て み よ う , と 考 え た の だ 。 そ う し た ら , ど ん ど ん 厚 く な っ た 。 ( 4 ) 欲 張 っ た 教 科 書 を 書 こ う 。 こ の 本 は タ ブ ロ ー , わ り と ち ゃ ん と し た 述 語 論 理 の セ マ ン テ ィ ク ス , 自 然 演 繹 , 非 古 典 論 理 , 第 2 階 の 論 理 な ど , 初 心 者 向 け と し て は か な り た く さ ん の 内 容 を 含 ん で い る 。 こ う 言 っ て は な ん だ が , 論 理 学 の ご く 初 歩 的 な と こ ろ は , あ ま り 面 白 く な い 。 あ る 程 度 進 ん で パ ッ と 道 が 開 け た と こ ろ に 面 白 い 話 題 が た く さ ん あ る 。 ど う し て も そ こ ま で の 話 題 は 盛 り 込 み た か っ た 。 そ う し た ら , こ ん な に 厚 く な っ た 。 大 学 で 教 え 始 め た 頃 , 論 理 学 の 授 業 は た い て い 2 学 期 間 を か け て 行 わ れ て い た 。 そ の と き に は , 私 は こ の 本 に 盛 り 込 ん だ 内 容 を ざ っ と カ ヴ ァ ー す る こ と が で き た 。 し か し , そ の 後 の カ リ キ ュ ラ ム 「 改 革 」 の 中 で , 1 ~ 2 年 生 向 け の 科 目 は 内 容 や 到 達 目 標 を 考 え も せ ず に ほ と ん ど が 機 械 的 に 半 年 間 で 終 了 す る 授 業 科 目 に な っ た 。 こ う し て , 論 理 学 の 本 当 に 面 白 い と こ ろ に 到 達 す る 前 に 授 業 期 間 が 終 了 , と い う こ と に な っ て し ま っ た 。 そ こ で , 基 本 事 項 の 確 認 と か 論 理 学 の テ ク

論理学をつくる


目 次 9.5 同 一 性 記 号 を 含 む 自 然 演 繹 246 シ ン タ ク ス の 視 点 か ら 論 理 学 の ゴ ー ル に 迫 る 第 10 章 10.1 公 理 系 と い う 発 想 248 10.2 シ ン タ ク ス と セ マ ン テ ィ ク ス 260 10.3 命 題 論 理 の 公 理 系 の 完 全 性 証 明 265 第 Ⅲ 部 の ま と め 第 Ⅳ 部 論 理 学 は こ こ か ら 先 が 面 白 い ! 進 ん だ 話 題 の ロ ー ド マ ッ プ 第 11 章 め く る め く 非 古 典 論 理 の 世 界 に よ う こ そ ! 11.1 11.2 11.3 11.4 古 典 論 理 は 神 の 論 理 で あ る 2 値 原 理 と 排 中 律 の い か が わ し さ 多 値 論 理 284 直 観 主 義 論 理 292 古 典 論 理 の 拡 張 と し て の 様 相 論 理 3 。 4 281 第 12 章 古 典 論 理 に も ま だ 学 ぶ こ と が た く さ ん 残 っ て い る 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 完 全 武 装 し た 述 語 論 理 の 言 語 FOL 319 AFOL の 完 全 性 と そ こ か ら 得 ら れ る い く つ か の 結 果 322 第 2 階 の 論 理 338 モ デ ル 同 士 の 同 型 性 332 第 1 階 の 理 論 329 第 Ⅳ 部 の ま と め C. A. 付 ブ ッ ク ガ イ ド 422 B . 練 習 問 題 解 答 366 A little bit of mathematics 248 ・ 349 ・ 345 ・ 319 280 ・ 277 350