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検索対象: やさしく学べる微分方程式

やさしく学べる微分方程式から 188件ヒットしました。

やさしく学べる微分方程式


著 者 略 歴 石 村 園 子 ( い し む ら そ の こ ) 1973 年 1975 年 現 在 著 書 東 京 理 科 大 学 理 学 部 数 学 科 卒 業 津 田 塾 大 学 大 学 院 理 学 研 究 科 修 十 課 程 修 了 千 葉 工 業 大 学 教 授 「 や さ し く 学 べ る 微 分 積 分 』 ( 共 立 出 版 ) 「 や さ し く 学 べ る 線 形 代 数 』 ( 共 立 出 版 ) 「 や さ し く 学 べ る 基 礎 数 学 ー 一 線 形 代 数 ・ 徹 分 積 分 - ー 』 ( 共 立 出 版 ) 「 大 学 新 入 生 の た め の 数 学 入 門 ( 増 補 版 ) 』 ( 共 立 出 版 ) 『 大 学 新 入 生 の た め の 微 分 積 分 入 門 』 ( 共 立 出 版 ) 『 や さ し く 学 べ る 統 計 学 』 ( 共 立 出 版 ) 「 や さ し く 学 べ る 離 散 数 学 』 ( 共 立 出 版 ) ほ か や さ し く 学 べ る 微 分 方 程 式 検 印 廃 止 NDC 413.6 ISBN 4 ー 320 ー 01750 ー 1 2003 年 11 月 15 日 初 版 1 刷 発 行 2007 年 10 月 30 日 初 版 15 刷 発 行 著 者 発 行 所 印 刷 所 製 本 所 ☆ 石 村 園 子 ◎ 2003 共 立 出 版 株 式 会 社 / 南 條 光 章 東 京 都 文 京 区 小 日 向 4 丁 目 6 番 19 号 電 話 東 京 ( 03 ) 3947 ー 2511 番 ( 代 表 ) 郵 便 番 号 112-8700 振 替 口 座 00110 ー 2 ー 57035 番 URL http://www.kyoritsu-pub.co.jp/ 中 央 印 刷 株 式 会 社 協 栄 製 本 社 団 法 人 ☆ 自 然 科 学 書 協 会 会 員 Printed in Japan 副 < 株 日 本 著 作 出 版 権 管 理 シ ス テ ム 委 託 出 版 物 > 本 書 の 無 断 複 写 は 著 作 権 法 上 で の 例 外 を 除 き 禁 じ ら れ て い ま す . 複 写 さ れ る 場 合 は , そ の つ ど 事 前 に 株 日 本 著 作 出 版 権 管 理 シ ス テ ム ( 電 話 03 ー 3817 ー 5670 , FAX03 ー 3815 ー 8199 ) の 許 諾 を 得 て く だ さ い .

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767 練 習 問 題 5 (). 11 ) ¯xtan¯lx = ェ tan -- 1 ェ 十 2 工 tan¯l 工 左 辺 = ェ tan-lx 十 微 分 方 程 式 の 左 辺 に 代 入 す る と 1 十 ェ 2 =tan-lx 十 1 十 ェ 2 = 1 ・ tan- 1 ェ 十 ェ ・ 1 = 工 ・ tan ー 1 工 十 ェ ( tan ー 1 ェ ) ・ の = ( 工 tan ー 1 工 ) ' ( 1 ) の を 求 め る と 2 ( 2 ) の を 求 め る と ゆ え に 示 せ た 。 = 右 辺 1 十 ェ 2 1 十 ワ ス レ テ タ ア ー ク タ ン ジ ェ ン ト ゆ え に 示 せ た = 右 辺 = Sin 工 十 工 COS 工 ー Sin 工 = 工 COS 工 —(xsinx) 左 辺 = ( sin ェ 十 工 cos 工 ) ー 1 微 分 方 程 式 の 左 辺 へ 代 入 し て 1 ・ S in 工 十 工 COS 工 = S in 工 十 気 COS 工 の = ( 工 sin 工 ) ・ = 工 ・ sin 工 十 工 ( s ⅲ 工 ) ' 解 答 の 章 練 習 問 題 6 (). 12 ) ー エ 2 と お く と = に 合 成 関 数 の 微 分 公 式 よ り ー 2 { ェ ' い 工 ' + ェ ( の 工 2 ) ' } ー 2 ( ェ の つ ' ー 2 ェ e 一 dx / ェ の の 結 果 を 使 っ て ー 2 の 工 ' ( 1 ー 2 ェ 2 ) ( 2 ) 微 分 方 程 式 の 左 辺 へ 代 入 す る と 左 辺 = ー 2 の 工 2 ( 1 ー 2 ェ 2 ) 十 2 ェ ( ー 2 ェ い 工 2 ) 十 2 工 = { ー 2 ( 1 ー 2 ェ 2 ) + 2 ェ ( ー 2 ェ ) + 2 ー エ = ( ー 2 十 4 ェ 2 - 4 ェ 2 十 2 ル ー エ ゆ え に 示 せ た = 0 = 右 辺 覚 え て お く と 便 利 よ 。

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い 線 形 微 分 方 程 式 の 解 63 ( 3 ) ク = 2e 工 = 2 一 2C2 工 e 工 が ① を み た せ ば よ い 。 の = ( 2 工 こ れ ら を ① の 左 辺 に 代 入 す る と 2 工 ′ 2 工 ィ 左 辺 = ( 2 に 一 4e2 工 ) ー 3 ( 2 に ー 4e2 工 ー 2e2 つ 十 2 ( 2 ゆ え に = 2e 工 - 4e2 工 ー 6e 工 十 6e2 工 十 4e 工 ー 2e2 工 ー 6e 工 十 4 に ) 十 ( ー 4e2 工 十 6e2 工 = ( 2 に = 2 一 e2 工 も ① の 解 で あ る 。 = 0 十 0 = 0 = 右 辺 60 20 0 ー 20 ー 60 2 工 2 2 工 ( 解 終 ) 2 = 召 リ 1 = e 2 つ の 関 数 ex と 召 2 工 が 基 本 解 と な れ る の ね 。 で も ど う や っ て 見 つ け る の ? 練 習 問 題 19 = 2 解 答 は p. 183 微 分 方 程 式 十 〃 = 0 ・ ・ ・ ② と 関 数 = sin ェ , 2 = cos ェ に つ い て ( 1 ) , 2 は ② の 解 で あ る こ と を 示 し な さ い 。 し な さ い 。 ( 3 ) と 42 の 線 形 結 合 の 関 数 4 = 3sin ェ 十 2cos ェ も ② の 解 で あ る こ と を 示 て 示 し な さ い 。 ( 2 ) ク 1 と ク 2 は 任 意 の 区 間 / で 線 形 独 立 で あ る こ と を ロ ン ス キ ー 行 列 式 を 使 っ

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解 答 の 章 780 練 習 問 題 18 ( p. 47 ) ( 1 ) 方 程 式 は / な の で / は ) = , 0 は ) = ェ 2 ん は ) を 先 に 求 め て お く 。 工 ( ー 1 庫 ー e ー み 当 ん は ) = e 。 ッ iogl 工 「 ー 幻 ェ ー ( 2 ) 方 程 式 を 変 形 し て / は ) , 0 は ) を 求 め る 。 3 ェ よ っ て , ん は ) を 先 に 求 め る と f 2 直 ー e 畍 当 力 は ) = e 工 卩 幻 0 工 ー 公 式 に 代 入 し て 工 2 工 3 工 て 十 C 部 分 積 分 を 使 っ て 3 ェ 公 式 に 代 入 し て dx 十 CI ー 鬯 工 ・ エ 2dx 十 C 1 工 士 dx 十 CI 市 十 CI ( 複 号 同 順 ) ・ 下 市 + c } ( 士 G=C) e3 工 r 十 C ー e3 工 十 C 1 っ 0 、 1 9 」 3 工 3 工 ¯xe ゆ え に 一 般 解 は 次 に 初 期 条 件 ェ = 1 , ク 0 を 代 入 す る - 召 3 ・ 1 十 C ェ エ 十 C = ー エ 2 十 C 1 一 9 = 3 工 3 工 ゆ え に 一 般 解 は 〃 = ェ ー エ 2 十 C ¯xe 初 期 条 件 = 1 , ク = 0 を 代 入 。 ・ 1 十 C よ り C = ゆ え に 求 め る 特 殊 解 は 一 1 っ 0 11 11 11 一 つ 0 ・ 1 ー e3 十 C ゆ え に 求 め る 特 殊 解 は 3 工

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解 答 の 章 769 総 合 練 習 1 (). 20 ) ( 1 ) ″ = 1 ー エ 2 と お く と 練 習 問 題 10 (). 16 ) = 10g は 十 十 C ゆ え に 求 め る 関 数 は = 10g は 十 十 C (sinx)' = cos ェ な の で (sinx)' COS 工 S 工 smx =loglsinxl 十 C ゆ え に 求 め る 関 数 は = 10g ト in 十 C 1. = V7t = な 2- 面 1 エ ー ″ ェ ー 2 1 ー エ 2 こ れ を 左 辺 へ 代 入 し て 示 す 。 ( 2 ) の = e2 工 ( 2sin3 ェ 十 3COS3 ェ ) = e2 工 ( ー 5sin3 ェ 十 12COS3 ェ ) こ れ ら を 左 辺 へ 代 入 し て 示 す 。 = 2 ェ ー 3 十 6 ェ こ れ ら を 左 辺 へ 代 入 し て 示 す 。 = 3 工 2 10g 工 十 工 2 十 = 6 工 10g 工 十 5 ェ r2 れ ら を 左 辺 へ 代 入 す れ ば 示 せ る 。 ー 2 ェ 1 4 練 習 問 題 11 ( p. 17 ) ( 1 ) 順 に 2 回 積 分 す る と 2 エ = 2 ェ 十 CI / ( 2 , 十 C 、 ) 市 = 十 C , , 十 0 ゆ え に 求 め る 関 数 は 4 = 工 2 十 CI 工 十 C2 ( 2 ) 順 に 積 分 し て 鬯 工 dx = ー e3 工 十 CI こ レ 小 1 1 1 2 ェ ー 1 ェ 十 1 2 1 ワ 3 11 C•-O —{log は 一 1 ト 1 。 g は + 1 け + C ー e3 工 十 CI エ ー e3 工 十 CI ェ 十 C2 1 9 dx = log は 十 十 C 1 9

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解 答 の 章 7 66 練 習 問 題 3 ( p. 9 ) - ー ( 5 に + 2 の 3 つ dx dx = ( 5e 工 + 2 一 3 つ ' 5 に ェ ェ dx 5 に 十 18 い 3 ( 2 ) 微 分 方 程 式 の 左 辺 へ 代 入 す る と 左 辺 = ( 5 に 十 18e ー 3 つ 十 2 ( 5 に ー 3 ( 5 に 十 2 3 つ = ( 5e 工 十 10 ど ー 15 ) 十 ( 18 の 3 工 ー 12e 3 工 = 0 = 左 辺 ゆ え に 示 せ た 。 練 習 問 題 1 ( p. 7 ) = ェ 2 十 ェ ー 2 と か け る の で ( 1 ) = は 2 + ェ ー 2 ) ' 2 ェ ー 2 ェ 2 = ( 2 ェ ー 2 ェ ー ツ 2 十 2 ェ ー 3 2 十 6 ェ 4 ー 3 工 6 ( 2 ) 微 分 方 程 式 の 左 辺 に 代 入 し て = ェ 2 2 十 一 肓 十 ェ 2 ェ 左 辺 = 2 ェ 2 十 一 十 2 ェ 2 = 0 = 右 辺 ゆ え に 示 せ た 。 練 習 問 題 2 ( p. 8 ) 、 、 ( 1 ) 順 に 微 分 す る と の = ( s ⅲ 3 工 ー cosx)' = ( 3 cos3 ェ 十 sinx)' ー 9sin3 ェ 十 cos ェ = ( ー 9sin3 ェ 十 cos 工 ) ' ー 27COS3 ェ ー sin ェ = ( ー 27COS3 ェ ー sin 工 ア 81S ⅲ 3 ェ ー cosx ( 2 ) 微 分 方 程 式 の 左 辺 に 代 入 し て 左 辺 = ( 81S ⅲ 3 工 ー cos 工 ) 十 10 ( ー 9s ⅲ 3 ェ 十 cos ) 十 9 ( sin3 工 ー cos 工 ) = ( 81S ⅲ 3 ー 90sin3 ェ 十 9sin3 ェ ) 十 ( ー cos 工 十 10COS 工 ー 9cos ) ゆ え に 示 せ た 。 = 0 = 左 辺 ゆ え に 示 せ た 。 ー 3 工 ′ 4 ー 3 工 ー 3 工 4 2 ー 4 ェ 2 2 2 練 習 問 題 4 (). 10 ) エ ー イ エ ( ェ ー 10g ェ ) 3COS3 工 十 sin 工 ェ 2 = 0 ー ( ー 1 ) ェ ー 2 1 ( 2 ) 微 分 方 程 式 の 左 辺 へ 代 入 す る と 左 辺 = 工 2 ・ - 十 ェ 1 ー ( ェ ー 1 。 g ェ ) = 1 十 ェ ー 1 ー エ 十 10g 工 = 10g ェ = 右 辺 ( 4 ) ク 2

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し て み よ う 。 ク 1 = e 工 に つ い て 解 ( 1 ) 41 = , ク 2 = e ' が と も に 方 程 式 ① を み た す こ と を 示 せ ば よ い 。 62 左 辺 = 妁 〃 ー 341 ・ 十 2 妁 ( 1 ) , 2 は ① の 解 で あ る こ と を 示 し て み よ う 。 微 分 方 程 式 一 3 の 十 = 0 ・ ・ ・ ① と 関 数 = , 42 = e2 工 に つ い て ( 3 ) と ク 2 の 線 形 結 合 の 関 数 ク = 2 用 い て 示 し て み よ う 。 ( 2 ) 妁 と 2 は 任 意 の 区 間 で 線 形 独 立 で あ る こ と を ロ ン ス キ ー 行 列 式 を 第 3 章 線 形 微 分 方 程 式 例 題 19 召 工 も ① の 解 で あ る こ と を 示 41 42 = e2 工 に つ い て e な の で ① の 左 辺 に 代 入 す る と 妁 e ー 3 に 十 2 に = 0 = 右 辺 な の で ① の 左 辺 に 代 入 し て = 2e2 工 42 = 4e2 工 左 辺 = ク 2 " ー 3 十 242 ゆ え に , 既 , 42 と も ① の 解 で あ る 。 = 4e2 工 ー 3 ・ 2C2 工 十 2e2 工 = 0 = 右 辺 ( 2 ) ロ ン ス キ ー 行 列 式 ル 朝 1 , を 計 算 す る と 既 2 ル 朝 1 , 42 ] = 妁 2 = ・ 2e2 工 2 工 e 2e2 工 e2 工 ・ e 工 2 工 2 工 ′ 工 十 2 工 e ex 2 工 十 工 召 ae わ 0 十 わ 3 工 3 工 e 3 工 e ゆ え に , ル 朝 1 , ク 2 ] は 任 意 の 区 間 / で ゼ ロ 関 数 0 ( ェ ) で は な い の で , と ク 2 と は 線 形 独 立 で あ る 。 ル 朝 1 , ク 2 ] キ 0 ル 朝 1 , 42 ] = 0 , ク 2 は 線 形 独 立 妬 2 は 線 形 従 属 2 次 の 行 列 式 = ー bc

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練 習 問 題 19 ( p. 63 ) ( 2 ) ル 朝 1 , を 計 算 す る 。 ゆ え に 2 も ② の 解 で あ る 。 左 辺 = ( ー cos ェ ) 十 cos 工 = 0 = 右 辺 な の で ② に 代 入 す る と ¯smx, 2 = COS 工 に つ い て ゆ え に は ② の 解 で あ る 。 左 辺 =(—sinx) 十 sinx な の で ② に 代 入 す る と COS 工 , 〃 1 = sin 工 に つ い て S 1 n 工 ー COS 工 = 0 = 右 辺 (sinx)' (cosx)' ル 朝 1 , = COS 工 SIIIX 解 答 の 章 練 習 問 題 20 ( p. 75 ) ( 1 ) 特 性 方 程 式 を 求 め て 解 く と 7 83 = 0 ス 2 ー 6 ス 十 5 = 0 こ れ よ り 基 本 解 は い 工 5 ェ な の で 一 般 解 は ( ス ー 1 ) ( ス ー 5 ) = { に , e5 工 } ク = CI に 十 Ce5 工 ( 2 ) 特 性 方 程 式 を 解 く と こ れ よ り 基 本 解 は ス 2 ー 6 ス 十 9 = 0 ( ス ー 3 ) 2 ス = 3 ( 重 解 ) S1nx COS 工 ¯sm 工 COS 工 ー S1n 工 COS 工 に 3 工 , 3 工 } な の で 一 般 解 は ク = Ge3 工 十 C2 ェ e3 工 ( 3 ) 特 性 方 程 式 を 解 く と ー ( sin2 工 十 COS2 工 ) ー 1 半 0 ゆ え に ル 朝 1 , 2 ] は 任 意 の 区 間 / で ゼ ロ 関 数 0 は ) で は な い の で 妁 と ク 2 は 線 形 独 立 で あ る 。 ( 3 ) = 3 sin 工 十 2 cos ェ が ② を み た す こ と を 示 す 。 ま す の , を 求 め て お の = 3 COS 工 ー 2 sin 工 ー 3 Sin 工 ー 2 COS 工 ゆ え に 解 で あ る こ と が 示 せ た 。 = 0 = 右 辺 十 ( 3sin ェ 十 2cos 工 ) 左 辺 = ( ー 3sin 工 ー 2cos ェ ) こ れ を ② に 代 入 し て ス 2 十 ス = 0 こ れ よ り 基 本 解 は な の で 一 般 解 は ス ( ス + 1 ) = 0 ( 4 ) = CI 十 C2 の 工 特 性 方 程 式 を 解 く と ス 2 ー 2 ス 十 1 = 0 ゆ え に 基 本 解 は ( ス ー 1 ) 2 ス = 1 ( 重 解 ) { さ 工 , 1 ・ エ } = { に , ェ に } な の で 一 般 解 は = C1e 工 十 C2 e 工

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解 答 の 章 78 イ 練 習 問 題 21 ( p. 76 ) ( 1 ) 特 性 方 程 式 を 解 く と ス 2 十 2 ス 十 5 = 0 よ り 1 ー 1 士 2 / ー 1 , = 2 の 場 合 な の で , 基 本 解 は { の 工 cos 2 工 , の 工 sin2 } ( 3 ) 特 性 方 程 式 を 解 く と ス 2 十 9 = 0 カ = 0 , = 3 よ り , 基 本 解 は { eo ・ エ cos 3 工 , eo ・ エ sin3 工 } = { cos3 工 , sin3x} 2 一 般 解 は ク = CICOS3 ェ 十 C2sin3x 特 性 方 程 式 を 作 る と き 気 を つ け て ね 。 一 般 解 は ク = CI い 工 cos2 工 十 工 sin2x ( 2 ) 特 性 方 程 式 を 解 く と ス 2 十 ス 十 1 = 0 2 2 2 2 士 練 習 問 題 22 ( p. 77 ) ( 1 ) 特 性 方 程 式 を 作 っ て 解 く と ー 3 ス ー 10 = 0 ( ス ー 5 滬 + 2 ) = 0 ゆ え に 基 本 解 は に 5 工 , の 2 工 } 。 一 般 解 は = C 5 工 十 C2e の を 求 め る と の = 5C ⅳ 5 工 ー 2C2e 初 期 条 件 は , ェ = 0 の と き = 0 , / = 7 な の で ① に ェ = 0 , 〃 = 0 を 代 入 し て 0 = CI 鬯 十 C2 鬯 = CI 十 C2 ② に ェ = 0 , の = 7 を 代 入 し て 7 = 5C1 鬯 ー 2C2 鬯 = 5C1 ー 2C2 3 2 e 2 COS 一 般 解 は 3 よ り , 基 本 解 は 1 2 SIII 工 , 2 2 3 = ー プ エ COS 十 C2e-yX S1n ー エ ー プ ン ノ ー 2 工 2 ー 2 工 2

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788 ( 3 ) 解 答 の 章 い 一 4 の 十 44 = 0 ・ ・ ・ ③ ' を 解 く 。 特 性 方 程 式 を 作 っ て 解 く と ー 4 ス 十 4 = 0 練 習 問 題 25 ( p. 85 ) 両 方 の 微 分 方 程 式 と も , 同 次 方 程 式 は い 十 4 ク = 0 特 性 方 程 式 を 作 っ て 解 く と ( ス ー 2 ) 2 ス = 2 ( 重 解 ) こ れ よ り 基 本 解 は { e2 工 , 2 工 } 一 般 解 は ク = C ⅳ 2 工 十 C2 ェ e2 工 次 に " ー 4 の 十 44 = e2 工 の 特 殊 解 区 ェ ) を 1 っ 求 め る 。 バ エ ) = 員 0 ェ 2e2 工 ( p. 79 , Ⅱ ( ⅲ ) , 〃 = 0 ) と お い て ③ を み た す よ う に を 定 め る 。 2 ′ 2 工 = 2 = 40 ( ェ 十 ェ 2 ル 2 工 = 0 ( 2 ェ 十 2 ェ 2 ル 2 工 が ( ェ ) = { は 2 な 2 工 + ェ 2 い 工 ) ' } = 2 0 ( 2 ェ 2 十 4 ェ 十 1 ル 2 工 + ( ェ + ェ 2 ) ・ 2e2 工 } = 2 員 0 { ( 1 + 2 ェ ル 2 工 こ れ が e2 工 に 等 し く な る た め に は = 2 0e2 工 ー 4 ・ 2 0 ( ェ 十 ェ 2 ル 2 工 十 4 月 0 工 2 = 2 員 0 ( 2 ェ 2 十 4 ェ 十 1 ル 2 工 乙 , " ( ェ ) ー 4 が は ) + れ は ) ③ の 左 辺 へ 代 入 ス 2 十 4 = 0 こ れ よ り 基 本 解 は ( カ = 0 , ク = 2 ) { 鬯 ・ エ cos2 工 , 鬯 ・ エ sin2 工 } = { cos2 工 , sin2x} は ) = 員 cos ェ 十 お sin ェ ( 1 ) 特 殊 解 区 ェ ) を 1 つ 求 め る 。 〃 = CICOS2x 十 C2sin2x 一 般 解 は と す る と が は ) = が 0 ) = ( p. 79 , Ⅲ ( i ) , 〃 = 0 ) ー ノ 4sin ェ 十 召 cos ェ ¯Acosx¯Bsinx こ れ を 方 程 式 の 左 辺 へ 代 入 す る と 左 辺 = ( 一 cos ェ ー 召 sin ェ ) 十 4 ( cos 工 十 お s ⅲ x ) = 3 ノ 4cos ェ 十 3 召 sin ェ こ れ が 右 辺 の cos ェ に 等 し く な る た め に 3 召 = 0 こ れ よ り 区 ェ ) = 一 般 解 は 0 1 2 〃 = CICOS2 工 十 C2sin2x 十 1 3 - ー ー COS 工 - ー ー COS 工 3 1 お = 0 工 e 1 2 2 工 区 ェ ) = 2 し た が っ て ③ の 一 般 解 は ク = C1e2 工 十 C2 工 e2 工 十 ー ー エ e 2 2 、 て (sinax)' (cos ) ' 〃 COS 4 工 〃 S ln 工