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検索対象: When Life is Linear From Computer Graphics to Bracketology

When Life is Linear From Computer Graphics to Bracketologyから 47件ヒットしました。

When Life is Linear From Computer Graphics to Bracketology


Committee on Books Frank Farns, C ん 4 か Anneli Lax New MathematicaI Library Editorial Board Karen Saxe, Ed ″ 0 ド Helmer Aslaksen Timothy G. Feeman John H. McCIeary Kathanne Ott Katherine S. Socha James S. Tanton

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2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 13. 15. 16. 17. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 32. 33. 34. 35. ANNELI LAX NEW MATHEMATICAL LIBRARY Numbers: RationaI and lrrational / Ⅷ 〃 Ni リ ビ 〃 What is CaIculus About? 毖 立 ・ An lntroduction t0 lnequalities の , E. E B ビ c 〃 わ 40 ん 〃 イ Be ル 〃 4 〃 Geometric lnequalities Ⅳ D. Kaz の ・ ⅲ Q 〃 、 The Contest Problem Book ー Annual High school Mathematics Examinations 円 50- 一 円 60. CompiIed and with solutions C ん の s 7 : 立 / 石 〃 d The Lore of Large Numbers の , 2 . / D の , な Uses oflnfinity ん ビ 0 / 加 〃 Geometric TransformationsI /. M. Yag101 〃 , ″ パ / 4 d の , , 4. / ホ Continued Fractions の , Carl D. 0 / ホ Replaced by NML-34 Hungarian Problem BOOks ー and Ⅱ , Based on the Eötvös Competitions 94 一 円 05 and 円 06- ー - 円 28 , ″ ・ 4 / 4 d の , E. Ra 〃 〃 0 Episodes from the Early History Of Mathematics の ,. 4. , 44 わ 0 ビ Gro 叩 s and Their Graphs E. Grossman 4 〃 イ 毖 ん g 〃 The Mathematics of Choice / Ⅷ 〃 Ni 〃 From Pythagoras to Einstein の , に 0. ん / c The Contest Problem Book Ⅱ Annual High School Mathematics Examinations 円 6 レ 1965. CompiIed and with solutions C ん の s 7 : 立 / ん ⅲ イ First Concepts of Topology 毖 G. C ん 〃 〃 4 〃 d Ⅳ E. & 〃 ro イ Geometry Revisited の , 〃 . & M. Cox 4 〃 イ & ん . G 尾 ″ z げ lnvitation t0 Number Theory の , 0 ⅲ 0 尾 Geometric Transformations Ⅱ /. M. g / 0 川 , 〃 •at ハ / 4 d の , 図 . た / ホ Elementary Cryptanalysis の , 月 ん ・ 4 ん の 〃 & 〃 ん 尾 ソ な の 挈 d e イ の , Todd lngenuity in Mathematics 火 0 〃 0 わ 夜 g 夜 ・ Geometric Transformations Ⅲ の , /. M. 施 g / 0 川 , ″ •cu パ / 4 d 月 . ビ 〃 ″ z 夜 ・ The Contest Problem Book Ⅱ ー Annual High school Mathematics Examinations 円 66 ・ -- 円 72. CompiIed and with solutions C. 7 : 立 〃 d の . / M. E の ・ / MathematicaI Meth0ds in Science George Pö lnternational MathematicaI Olympiads—1959 一 円 77. CompiIed and with solutions , & ん . G 尾 ″ z げ The Mathematics of Games and GambIing, Second Edition の , E 小 ル c / The Contest Problem Book IV Annual High school Mathematics Examinations 円 73 一 円 82. Compiled and with solutions の , 火 . , 4. ⅵ 〃 0 , 図 . M. G g / / 0 〃 巳 and Ⅳ ビ ″ The Ro に of Mathematics in Science M. M. 立 / な ffe ド イ ん . Bow 施 〃 lnternational Mathematical Olympiads 1978 ー 1985 and forty supplementary problems. Compiled and with solutions MLII ・ ray & ん / 田 〃 府 〃 RiddIes ofthe Sphinx M の ⅵ 〃 Ga 〃 夜 ・ U. S. A. Mathematical Olympiads 円 72 ー 1986. Compiled and with solutions M ″ な 叮 & ん / 田 〃 石 〃 Graphs and Their Uses 0 / 〃 0 尾 . Revised and updated , 火 0 ん 〃 . / 胸 な 0 〃 Exploring Mathematics with Your Computer , 行 励 Ⅲ ・ Engel

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89 68 u モ 0q0 0 ト 09 寸 一 当 8 ニ u む 8 98 09 OE ュ ー 00 ロ 0 ト 0 一 ー 0 寸 ロ 68 0 ト 98 IPUUUD 69 VN 98 69 SOWfl €8 L9 8 の 06 寸 一 —09 ロ 89 98 98 Ätuopeov む 一 = い 9 OL ニ ー ー 0 の 一 一 98 寸 8 99 0 一 ー ・ 00 ロ 寸 8 0 し い 9 0 一 ー ・ 09 ロ 寸 9 Rq10D 一 9 06 寸 一 ー ー 09 ニ 一 8 せ 8 69 u 3 一 も み 99 08 寸 一 ー 00 ニ 98 98 89 L8 tIOIl !tue 工 tL tL 0 い 寸 一 ・ ー 0 一 ニ 88 pue 08 寸 一 ー ・ 0 一 匚 08 ー ー 09 一 一 9 寸 88 88 Rtuopeov IEAEN SI 、 一 一 9 L9 96 0 ト 9 一 さ 9 寸 一 68 68 ppn LN む A 工 tIOSPI A90 86 09 寸 一 ー ・ ・ 0 い 口 0 一 98 68 .IESSP.A tL 0 ト 寸 一 ー ・ ・ 069 一 寸 一 88 06 89 98 せ 一 08 寸 一 ー 00 ニ の 8 06 009 一 ー 009 一 98 一 6 P 」 OJ 工 6L せ 6 99 0 一 91—OZ€ 一 ロ 88 66 tIO ち て e し 06 寸 一 ー ・ 06 ロ 68 €6 む 一 も 一 IP ッ 69 8 L8 96 u 一 OP ッ 08 89 9 一 €8 06 寸 一 ー ()E ニ etIOtUOd せ 一 6 マ 6 8 0 い 06 0 の 9 一 ー OL ニ 9 89 98 08 寸 一 ・ ・ ・ 06 ロ 寸 6 ünq01PP!LA 6 9 せ 8 099 一 さ 9 ニ 一 6 96 O.IOttItl)-IVAiS 8 tL 9 66 86 JSJOtltU V 0 い 寸 8 6 00 一 SUIEIIIIA\ 一 6 0€ の 一 ー 0 一 ニ 寸 66 三 OV と 03S 3 一 一 0 し 比 09 ^ 06 > し OV 0 一 d01 . LVS IOS き き ミ 辷 0 ミ ミ ミ 「 さ き こ 辷 = 0 こ 一 ミ 、 ミ 、 ミ ミ 0 ミ 、 き 2 を ミ 2 ミ 、 ~ き ~ 、 0 ミ 、 ミ 2 ~ 、 ミ ミ 、 ミ ミ 0 む ミ に ・ ミ ミ 2 き 0 辷 = こ ミ ゞ ミ ミ 0 ミ を p ミ S ビ を p ミ S 0 ~ き ミ 辷 0 洋 ~ ミ ま ミ し 当 ミ 2 辷 ミ 0 ~ き ミ も 云 ミ ( こ 第 ミ し 、 ミ 2 辷 2 、 き き 2 辷 = 0 こ 、 こ 、 一 2 ミ と ~ 、 ミ d と 0 「 ミ し SH. 、 ゞ 0 、 dQL ミ ~ 、 2 ミ 2 , ミ 、 を 辷 ミ む ミ を 辷 2 、 ミ SL ー ミ 0t4 ) 、 YS' き 」 き ミ ミ ミ 0 = ミ 、 ミ 2 ミ ミ 2P0 し 「 ゼ 0 し S' = ミ と 0 -2 ミ ミ し . ・ Å ) と を 2 2 こ 0 2 ミ し ミ 4-0 = ミ 2 ミ ミ p ~ 、 0 2 ト 、 0 し き ミ ミ 0 し 2 ミ ミ ~ き 06 ) 」 0d3 p 一 」 0 夛 SANON ・ S ゴ 、 pa ~ 、 こ ミ 、 ミ ミ DCI ・ 9 、 91qeI 0 ー 0 ー 0 ↓ 0 ー 「 つ 0 ー ぐ 0 ぐ っ 04 、 寸 ・ 0 ( つ 04 ・ 一 ( つ 0 一 9 0 ー 対 ・ ( つ 0 一 6 8 6 6 6 ・ 0 寸 , ー 04 04 04 ・ ・ 04 0 ー ー ぐ っ 寸 ・ ぐ っ 6 6

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36. Game Theory and Strategy の , P ん 〃 〃 D. & 加 〃 , 五 37. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry RO 〃 0 わ 夜 ・ g 夜 ・ 38. The Contest Problem Book V American High School Mathematics Examinations and American lnvitational Mathematics Examinations 円 83 一 円 88. Compiled and augmented の , G ビ 0 ′ ・ g ビ B ビ に 〃 4 〃 イ & ビ 〃 / に 〃 B. M 砒 〃 ・ げ 39. Over and Over Again の , Gengzhe Cha 〃 g 4 〃 d 〃 10 川 毖 立 施 夜 ・ g 40. The Contest Problem BOOk VI American High School Mathematics Examinations 円 89 一 円 94. CompiIed and augmented ん ビ 0. / 立 / Ⅲ 施 ド 41. The Geometry of Numbers の , C. D. 0 / ホ , 〃 〃 el / ん , イ GiuIiana 2 42. Hungarian Problem BOOk Ⅱ し Based on the Eötvös Competitions 円 29 一 円 43 , ″ ハ / 4 d の , 月 〃 ん ⅲ 43. Mathematical Miniatures & 哲 / の , S の , c / に リ 4 〃 d 7 ・ ⅲ 信 4 〃 市 ℃ ビ ″ 44. Geometric Transformations IV /. M. g / 0 ′ 〃 , / ra d の , 月 . S / ⅲ に 夜 ・ 45. When Life is Linear: from computer graphics to bracketology 7 カ 〃 C ん ah ⅵ 夜 ・ 0 励 夜 ・ titles ⅲ 〃 ′ ℃ 〃 ra 行 0 〃 . MAA Service Center P.. O. Box 91 Ⅱ 2 Washington, DC 20090-1 Ⅱ 2 ト 800-3 引 - 1 MAA FAX: 1-240-396-5647

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134 Bibliography い 4 ] Kenneth Massey. StatisticaI models 叩 plied to the rating ofsports teams, 1997. Ⅱ 9 [ 1 5 ] Andrew Schultz. SWEET 図 〃 が た 加 可 、 SVD. palmer.wellesley.edu/ &aschultz/summer06/math 103 , accessed September 2 田 4. 88 い 6 ] TyIer Vigen. Ⅲ ・ / 0 C の ・ 尾 ん 加 . www.tylervigen.com/, accessed Septem- ber 2 田 4. 66

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GO Forth and MuItipIy 5.6 Line Detector 41 This chapter started with the topic 0f the dot product and progressed toward matnx multiplication as a t001 for 3D models. Now,let's conclude the chapter with an application 0f the d0t product in graphics. First, let's show that if. リ = 、 / 、 い ) is linear, then 2 Since = 、 / 、 は ) is linear, we can express it as ) , = 〃 は 十 わ . SO, we have / は + の + / は 一 の 川 い + ん ) + わ + 川 は 一 の + わ 2 2 2 〃 な 十 2 わ 2 = 〃 は 十 わ Moving 、 / 、 い ) t0 the 0ther side 0f the equation gives 2 Let's define a new function g as カ 2 135 = 70. find g(x) where / は 戸 s the value ofthe middle pixel, g(x) = 35 十 2 ( 85 ) ー Thus, their values increase linearly. Applying our formula in the same way t0 generated using the formula 50 は 一 1 ) 十 35 , where. = 0 , 1 , 2 , respectively. create the three-pixelimage seen in Figure 5.9 (b). The pixel values were Suppose further that we have the values 35 , 85 , and 135 , which together に 負 pixels, respectively. Then, g(x ) = 85 ー 2 ( 85 ) 十 85 = (),which isblack. middle pixel and / い 十 1 ) and 、 / 、 は 一 1 ) equalthe values 0f the nght and apply our formula t0 the middle pixel, letting / い ) equalthe value 0f the 85 , and 85. This would create the pixel image seen ⅲ Figure 5.9 (a). Let's Suppose we have a gray line ofthree pixels formed with grayscale values 85 , Then This will help us detect edges in a picture. How? First, take ん = 1. then again g(x) = 0. From what wejust showed, if 、 / 、 is a line then g(x) = 0. SO, if 、 / 、 い ) = 2 ズ 十 1 ,

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38 When Life is Linear 3 2.5 1 0.5 0 ー 0.5 1 0.5 2 1 0 ー 0.5 0.5 Figure 5.6. Rotating a triangle by 90 degrees about a point (a) and reflecting a triangle about a line (b). by the m atr1X 0.5 ー 1 ー 0.5 0 2 1 ー 1 0 L4240 0 1 0.8640 0 0 1 TO reflect a point about the x or. リ - a s , we multiply with the matrlces ー 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 0 ・ 0 ・ 1 0- 一 1 0- 1 一 0 0- respectively. More generally, t0 reflect about the line ax 十 の , 十 c = 0 , we multiply by the matr1X わ 2 2 ー 240 ー 24 わ 4 ー 2 わ c 42 十 わ 2 0 A reflection about the line 2x 十 2 ) , ー 1.5 = 0 is seen in Figure 5.6 (b), which corresponds to multiplying with the matr1X 0 0 This gives us all the linear algebra we need to rotate in 2D and tile the plane with the model bird. When tiling, one is 厄 代 with such decorating decisions as a choice Of COlor and the amount Of surface area tO cover. Having tiled in 2D, let's step up a dimenslon and rotate in 3D. ー 加 わ 0

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GO FO 「 ⅲ and MuItipIy 31 0 Figu re 5.2. The law ofcosines helps derive a formula for the angle between vectors. Oscar rates 月 襯 夜 ・ た 4 〃 〃 ″ た with a 0 and Gravity with a 5. Emmy rates the films 5 and 2 , and I rate them ー 3 and 3. Each person's ratings agam becomes a vector. SO, Oscar's taste vectoris [ 0 5 ]. Emmy's vector is [ 5 2 ] , and mine IS lfwe used our earlier method from Section 4.1 , we would find the value Of Ⅱ u ー v Ⅱ , where u and v are taste vectors. The tWO vectors that result in the smallest value are identified as most similar. This time, we'll measure similarlty as the angle between the taste vectors. 2D the formula can be derived om the law of cosines which for Figure 5.2 (a) states 2 ThiS can be rearranged as = わ 2 十 02 ー 2 わ c cos . ー 02 十 わ 2 十 02 = 恒 十 い ー 2 恒 Ⅱ 2 い Ⅱ 。 s 仇 2 2 COS 月 graphically in this picture. The law 0f cosines states ure 5.2 (b). NOte hOW we are viewing the addition and subtraction ofvectors NOW, let's view the sides Of the trlangle as vectors, which we see in Fig- 2 わ c can wrlte 2 2 (v ー の ・ (v ー u) v ・ v ー 2v ・ u 十 u ・ u ⅵ 2 ー 2v ・ u + 恒 啄

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56 When Life is Linear Table 7.1. 0 ″ 〃 c Go / イ M ビ イ 胸 〃 〃 ⅲ g 7 初 肥 s ⅲ 立 co 〃 ホ 尸 the た 〃 3 / 側 M 夜 ・ D の ん Year 1896 1900 円 04 1906 1908 円 20 Time 12 Ⅱ Ⅱ 1 1.2 川 .8 IO. 8 川 .8 Year 1924 円 28 円 32 円 36 1948 1952 円 56 Time 10.6 10.8 10.3 10.3 10.3 川 .79 10.62 Year 1960 1964 1968 1972 円 76 1980 円 84 Tim e 10.32 10.06 9.95 10.14 10.06 10.25 9.99 Year 1988 円 92 1996 2000 2004 2008 2012 Time 9.92 9.96 9.84 9.87 9.85 9.69 9.63 if the trend ⅲ the data continues, we can make predictions at how fast we might be runmng ⅲ 2020 or 2040. First, let's see how to model this data with a line and then how to predict the future. Wewanttofindaliney = ax 十 b,wherex isayearandyisthetimerun inthat year. lfthe points all lie along aline, thenwe'dhave 9.63 = 川 ( 2012 ) 十 わ , using B01t's second gold medaltime. Similarly, Tom Burke's performance leads to the equation 12 = 川 い 896 ) 十 わ . The two linear equations, for Bolt and Burke, correspond tO the system Of equations 2012 1 川 1896 1 We can easily solve this system and find 川 9.63 ー 0.0204 and わ = 50.7372. So, using only tWO times, we find the equation ) , ー 0.0204X 十 50.7372. Let's check this on times we didn't use tO find the equation. For example, consider Carl Lewis's 1984 time 0f9.99. We check the line by letting x = 1984. So, ー 0.0204 ( 1984 ) 十 50.7372 = 10.2636. The time doesn't match but it 1 1 .2 10.8 10.6 10.4 10 198 0 1920 1940 1 0 1980 2000 1t8 10.8 10.6 10.4 10.2 1900 9.8 1920 1940 1960 1980 2000 Figure 7.1. Olympic go 旧 medaltimes in the men's 100 m dash (a) and a least squares fit to the data (b).

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国 [ 2 ] 国 [ 4 ] [ 5 ] 回 [ 8 ] 凹 い 0 ] い 2 ] い 3 ] BibIiography Andrew Beaton. DO it yourself: Predict the world cup, June 2 田 4. [Online; posted June 田 , 2 田 4 ]. Ⅱ 8 AIex BeIlOS. Belgium tO win the world c 叩 ? build your own ranking system 0f the teams playing in brazil, June 2 田 4. [Online; posted June 6 , 2 田 4 ]. Ⅱ 8 RObert Bosch and Adrianne Herman. Continuous line drawings via the travel- ing salesman problem. 0 〃 げ 4 〃 0 〃 s R い ビ の ℃ ん ん e ″ 夜 ・ 5 , , 32 : 302 ー 303 , 2004 コ Robert Bosch and Craig S. Kaplan. TSP art.ln 乃 ・ oc 市 〃 gs 可 、 Bridges 200j , pages 303 ー 引 0 , 2005. 1 EIizabeth Bouzarth and Timothy Chartier. March mathness in the linear algebra classroom. IM.. 4GE, 52(Spring):6—II , 2 田 4. Ⅱ 8 Tim Chartier. ん 北 & ・ Goog / ビ Bo ′ 〃 伝 , C ん 0C0 - C の ℃ 尾 d 乃 , 4 〃 d 0 夜 ・ C00 / Bits ⅲ Co 〃 第 ⅲ g. Princeton University Press, Princeton, 2 田 4 コ 25 Tim Chartier and Justin Peachey. Reverse engmeering college rankings. M 襯 ん 〃 ・ た 0 , pages 5 ー 7 , November 2 田 4.60 Timothy Chartier, Erich Kreutzer, Amy Langville, and Kathryn Pedings. Sports ranking with nonuniform weighting. ノ 0 Ⅲ ・ 〃 4 / Q / 、 0 ″ 4 〃 〃 行 〃 4 5 ' / 〃 〃 0 ′ な , 7 ( 3 ) : レ , 201L に し に 4 Timothy P. Chartier, Erich Kreu レ er, Amy N. Langville, and Kathryn E. pedings. ん 〃 に 〃 / / い 4 〃 d な , chapter Bracket010gy: HOW can math help?, pages 55 ー 70. Mathematical Association 0f America, 2 田 0. www.m athaware.org/m am/2 田 0 /. WesIey N. CoIley. Colley's bias free college football ranking method: The colley matrix explained, 2002. G. Dallas. P 百 〃 ロ 〃 記 Co 〃 0 〃 夜 ″ , 4 〃 い 4 D ″ 〃 〃 〃 / い . ・ E / g ビ 〃 c / 0 ハ , E 愈 夜 ト Ⅷ ん ビ 、 の D わ 〃 夜 ハ / 0 〃 R ビ 面 c 行 0 〃 . georgemdallas. wordpress. C0m/2田 3 / 1 0 / 30 accessed September 2 田 4. 76 Victor J. Katz, editor.. イ 〃 / 0 可 M 襯 / に 〃 〃 い . Addison Wesley, 2nd edition, 円 98. 3 Amy N. Langville and Carl D. Meyer. Wh0 \ # た 励 ビ 立 〃 c ビ 可 訳 襯 ⅲ g 〃 d Ra 〃 ん ⅲ g / / 夜 〃 & Princeton University Press, Princeton, 2 田 2 コ 幻 , に 4 133