検索 - みる会図書館

検索対象: 論理学をつくる

論理学をつくるから 427件ヒットしました。

論理学をつくる


350 A. A little bit of mathematics べ 限 え わ ら 低 さ ら し 最 り か 質 の に 性 る 気 系 的 す の 文 ス 解 そ ク 理 , は イ を は 分 テ 書 と 自 ン 本 こ る マ セ は あ 人 で て の ス こ 書 系 ク タ る こ ン シ に 。 特 っ 具 う も 一 廻 こ ら が な お か り 利 て だ ま 便 し り 集 が 説 か 。 の 学 解 ば と 体 数 く と こ 全 た す こ 式 し や る な 理 と り き わ 論 つ か で 思 る よ わ 解 と あ ち て 理 や 、 も ん さ は つ で に に 年 ~ 、 も た め 学 学 て に た 数 中 く 限 く な ば な 無 い 要 れ ん て 必 す か 1 い ろ い ろ な 種 類 の 数 に つ い て 1.1 自 然 数 か ら 有 理 数 ま で 自 然 数 (natural number) と い う の は , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ・ ・ ・ と い う 数 の こ と だ 。 「 0 」 も 入 れ て い い の ? と 思 う 人 も い る だ ろ う 。 じ つ は 入 れ て も 入 れ な く て も よ い の だ が , 本 書 で は 0 も 自 然 数 の 仲 間 に 入 れ て 考 え る 。 自 然 数 を ど れ と 決 め ず に 表 し た い と き は , n と か m と い う 文 字 を 使 う こ と が 多 い 。 本 書 で も と く に 断 ら な い と き は n で 任 意 の 自 然 数 を 表 し て い る 。 整 数 (integer) と い う の は , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ・ ・ ・ と い う 数 の こ と 。 有 理 数 (rational number) と い う の は , 整 数 と 整 数 の 比 , つ ま り (), b は 互 い に 素 な 整 数 。 2 た だ し b は 0 で は な い ) と い う 形 を し た 数 の こ と で あ る 。 ( つ ま り - 5 ) , な ど は み ん な 有 理 数 だ 。 カ ッ コ の 中 の 「 互 い に 素 」 と い う の は , 「 1 以 外 に 共 約 数 が な い 」 と い う こ と 2 4 6 26 ・ ・ ・ な ど , 同 じ 有 理 数 を 表 す 無 を 意 味 す る 。 こ の 但 し 書 き を つ け て お か な い と , 3 ' 6 ' 9 ' ' 39 ' 数 の 異 な る 表 現 を 重 複 し て 考 え る こ と に な っ て し ま う 。 13 5 1 1.2 実 数 有 理 数 で な い 数 が あ る 。 例 え ば が そ う だ 。 こ れ は 決 し て 整 数 と 整 数 の 比 晉 の 形 で は 書 け な い 。 こ う い っ た 数 を 無 理 数 (irrational number) と い う 。 む ろ ん , が 整 数 と 整 数 の 比 で は 表 せ な い こ と は き ち ん と 証 明 し な け れ ば な ら な い 。 お そ ら く そ の 証 明 が , 君 た ち が 教 室 で は じ め て 背 理 法 に 接 す る 機 会 に な っ た は ず だ 。 え っ と , ど ん な 証 明 だ っ た つ け , と 思 っ た 人 は 即 , 高 校 の 教 科 書 を 見 直 す こ と 。 有 理 数 と 無 理 数 の 違 い は そ れ を 小 数 で 表 し た と き に は っ き り す る 。 = 0 .28571428571428 ・ ・ ・ 2 7 2 5

論理学をつくる


C. ブ ッ ク ガ イ ド 直 観 主 義 論 理 に つ い て , 野 矢 茂 樹 [ 1994 ] を 読 ん で ま だ も の た り な か っ た ら 次 に 読 も う 。 ・ 小 野 寛 晰 [ 1994 ] 『 情 報 科 学 に お け る 論 理 』 日 本 評 論 社 423 直 観 主 義 論 理 , 様 相 論 理 に つ い て , も う す こ し 数 学 的 , 理 論 的 に 整 理 し て お き た い と い う 人 は こ の 本 を 読 も う 。 叙 述 は や や そ っ け な い が , コ ン パ ク ト な 本 で あ る に も か か わ ら ず , 情 報 満 載 で 役 に 立 つ 。 ・ 金 子 洋 之 〔 1994 ] 『 記 号 論 理 入 門 』 産 業 図 書 本 書 を 読 ん で 自 然 演 繹 法 に 興 味 を 持 ち , も っ と 証 明 技 術 を 磨 き た い と 思 っ た 人 に は 最 適 の 一 冊 。 じ め か ら 矛 盾 記 号 を 使 っ た や り 方 で 展 開 さ れ て い る 。 ・ 神 野 慧 一 郎 / 内 井 惣 七 [ 1976 ] 『 論 理 学 一 一 - モ デ ル 理 論 と 歴 史 的 背 景 』 ミ ネ ル ヴ ァ 書 房 は 可 能 世 界 意 味 論 に も と づ く 様 相 論 理 を さ ら に 先 ま で 勉 強 し た い 人 に 格 好 の テ キ ス ト 。 様 相 述 語 論 理 や 様 相 論 理 の 応 用 の 1 つ で あ る 条 件 法 の 論 理 も 扱 わ れ て い る 。 ま た , 現 代 論 理 学 が ど の よ う に ス タ ー ト し た の か に つ い て の 歴 史 的 記 述 も 収 め ら れ て い て 盛 り だ く さ ん 。 ・ 坂 本 百 大 / 坂 井 秀 寿 [ 1971 ] 『 現 代 論 理 学 』 東 海 大 学 出 版 会 ち ょ っ と 古 い 感 じ の 教 科 書 だ が , 現 代 記 号 論 理 学 の 立 場 か ら 伝 統 的 論 理 学 を か な り く わ し く 扱 っ て い る 。 伝 統 的 論 理 学 に つ い て も っ と 知 り た い 人 に お 勧 め 。 [ 1995 ] 『 形 式 論 理 学 一 一 そ の 展 望 と 限 界 』 産 業 図 書 ・ ジ ェ フ リ 同 一 性 を 含 む 述 語 論 理 , 関 数 記 号 を 含 む 述 語 論 理 に つ い て の タ ブ ロ ー の 方 法 の 信 頼 性 の 証 明 , 本 書 で は 扱 え な か っ た , 命 題 論 理 の 決 定 不 可 能 性 の 証 明 に つ い て は こ の 本 が 最 短 距 離 。 ・ 清 水 義 夫 [ 1984 ] 『 記 号 論 理 学 』 東 京 大 学 出 版 会 ま た 本 書 で は 省 略 し た ヘ ン キ ン の 方 法 に よ る 述 語 論 理 の 公 理 系 に 対 す る 完 全 性 証 明 の 細 部 を 知 り た い 人 は こ の 本 が よ い 。 ・ 白 井 賢 一 郎 [ 1985 ] 『 形 式 意 味 論 入 門 』 産 業 図 書 ・ 白 井 賢 一 郎 [ 1991 ] 『 自 然 言 語 の 意 味 論 』 産 業 図 書 論 理 学 が 日 常 言 語 の 研 究 に ど の よ う な 仕 方 で 関 わ っ て く る か , も っ と 精 密 に 日 常 言 語 を 論 理 的 に 扱 う に は ど う す れ ば 良 い か , ま た そ の 際 に ど の よ う な 問 題 点 が あ る か , に つ い て 知 り た い 向 き に お 勧 め 。 ・ 菅 原 道 明 [ 1987 ] 『 論 理 学 一 一 -- タ ブ ロ ー の 方 法 』 理 想 社 タ ブ ロ ー の 方 法 は 様 相 論 理 に も 使 え る 。 そ れ を 知 り た い な ら こ の 本 の 第 3 章 を 読 も う 。 ・ 丹 治 信 春 [ 1999 ] 『 タ ブ ロ ー の 方 法 に よ る 論 理 学 入 門 』 朝 倉 書 店 本 書 の 原 稿 を 書 き 上 げ た と き に こ の 本 が 出 た 。 初 心 者 向 け の 本 で ヒ ン テ ィ ッ カ 集 合 を 使 っ て タ ブ ロ ー の 信 頼 性 を 証 明 す る の は エ レ ガ ン ト で よ い わ い と 思 っ て い た ら , 丹 治 さ ん も そ の 方 針 だ っ た の で ち ょ っ と シ ョ ッ ク を 受 け た 。 教 育 的 配 慮 に 富 ん で い る 。 ・ 野 本 和 幸 [ 1988 ] 『 現 代 の 論 理 的 意 味 論 』 岩 波 書 店 様 相 論 理 と 可 能 世 界 意 味 論 が 言 語 に つ い て の 哲 学 的 考 察 に ど の よ う な 問 題 を 投 げ か け , ど の よ う な イ ン パ ク ト を 与 え た か に つ い て 知 り た い 人 は 是 非 読 も う 。 か な り マ ニ ア ッ ク な 本 格 的 書 物 。 ・ 野 矢 茂 樹 [ 1994 ] 『 論 理 学 』 東 京 大 学 出 版 会 本 書 を 書 き な が ら , 最 も 気 に な っ て い た 本 。 と い う の も , こ の 本 は か な り 丁 寧 な 解 説 が 含 ま れ , ト ピ ッ ク も 豊 富 で , し か も 遊 び に も 富 ん で い る の に , な ぜ か 薄 い の だ 。 ど ん ど ん ふ く れ あ が っ て い く

論理学をつくる


4 第 I 部 論 理 学 を は じ め る 【 典 型 例 2 】 ミ ド リ : あ の ね 。 お 父 さ ん 。 わ た し 哲 学 か 思 想 史 の 勉 強 を し た い か ら , 大 学 は 文 学 部 を 受 け よ う と 思 う ん だ け ど 。 父 : ん 。 ミ ド リ は も う 大 人 な ん だ か ら , 自 分 で 考 え て 決 め た ん な ら そ う し な さ い 。 お 父 さ ん は 応 援 す る か ら 。 ミ ド リ : あ り が と う 。 そ れ で ね , や つ ば り 哲 学 の 勉 強 を す る ん な ら , 東 京 の 〇 〇 大 か 京 都 の >< >< 大 に い い 先 生 が い る み た い だ か ら , そ こ を 受 け た い の 。 だ か ら , も し 受 か っ た ら 下 宿 さ せ て よ ね 。 一 人 暮 ら し ? そ ん な 話 は 聞 い と ら ん ぞ 。 お 前 な あ , ま だ 子 ど も な ん だ か ら 親 元 を 離 れ て 1 人 で や っ て い け る わ け が な い じ ゃ な い か 。 名 大 に し と け , 名 大 に 。 あ そ こ に も 適 当 な 先 生 は い る ん だ ろ 。 そ の ・ ・ ・ ・ ・ ・ 何 だ , テ ッ ガ ク の 。 ( は い 。 い ま す ) ミ ド リ : ン 一 , も う 。 何 よ , そ れ 。 さ っ き と 言 っ て い る こ と が ち が う じ ゃ な い 。 大 人 だ と 言 っ た り , ま だ 子 ど も だ と 言 っ た り 。 矛 盾 し て る じ ゃ な い の 。 も っ と 論 理 的 に し や べ っ て よ ね つ 。 ミ ド リ さ ん が 父 親 に 向 か っ て 投 げ つ け た 「 矛 盾 」 し て い る (inconsist- 論 理 学 の 第 2 の 主 題 は , ent) と か し て い な い と い っ た 概 念 で あ る 。 「 さ っ き 言 っ た こ と と い ま 言 っ て い る こ と が 違 う 」 と か 「 話 の つ じ つ ま が あ っ て い な い 」 と か 色 々 な 言 い 回 し で , 我 々 は 相 手 の 述 べ た い く つ か の こ と が ら が 全 体 と し て 矛 盾 し て い る と い う こ と を 指 摘 す る 。 こ の お 父 さ ん は , ( 1 ) ミ ド リ は も う 大 人 で あ る , と い う こ と と , ( 2 ) ミ ド リ は ま だ 大 人 で は な い と い う こ と を 同 時 に 主 張 し て い る 。 こ の 2 つ は い っ ぺ ん に 成 り 立 っ こ と が で き な い は ず な の だ 。 こ の よ う な と き , そ の 2 つ の 文 , 主 張 , 命 題 は 矛 盾 し て い る , と 言 う 。 こ の よ う に , 矛 盾 と い う こ と は い く つ か の 文 ( 主 張 ) の 集 ま り に つ い て 言 わ れ る こ と だ と い う こ と が わ か る 。 逆 に い く つ か の 文 ( 主 張 ) の 集 ま り が い っ ぺ ん に 成 り 立 つ こ と が で き る な ら そ の 集 ま り は 無 矛 盾 だ と か 整 合 的 だ (consistent), と 言 わ れ る 。 注 意 を ひ と つ 。 こ の 「 文 ( 主 張 ) の 集 ま り 」 と い う の は 何 も 1 人 の 人 間 が 述 べ た り , 考 え た り し て い る こ と に 限 る わ け で は な い 。 例 え ば , マ ク レ ー ン 刑 事 が 事 件 に つ い て 次 の 3 つ の 証 言 を 集 め た と し よ う 。 ス テ ィ ー ヴ ン : 犯 行 が あ っ た と さ れ る 時 刻 に は 私 は マ ン ハ ッ タ ン に い ま し た 。 そ こ で , ル と 一 緒 に べ ニ ハ ナ レ ス ト ラ ン で 食 事 を し て い ま し た 。 グ ラ ハ ム : そ の 時 刻 に は 俺 は デ ィ ヴ ィ ッ ド と 一 緒 に ピ ッ ツ バ ー グ で パ イ レ ー ツ を 応 援 し て い た ぜ 。 デ ィ ヴ ィ ッ ド : そ の こ ろ お れ は ス テ ィ ー ヴ ン を 見 か け た ぜ 。 ど こ だ っ た か は 思 い 出 せ ね え 。 こ の 3 つ の 証 言 は ど の 2 つ も 整 合 的 だ が , 3 っ と も い っ ぺ ん に 成 り 立 っ こ と が で き な い ( な ぜ か は 考 え て み よ う ) 。 こ の 証 言 の 集 ま り は 全 体 と し て は 矛 盾 し て い る 。 だ か ら , 誰 か が 嘘 を つ い て

論理学をつくる


330 ( 5 ) ( 2 ) 第 Ⅳ 部 論 理 学 は こ こ か ら 先 が 面 白 い ! 量 化 子 ▽ , ヨ 同 一 性 記 号 補 助 記 号 項 , 論 理 式 の 定 義 進 ん だ 話 題 の ロ ー ド マ ッ プ こ れ ら の 語 彙 か ら , FOL の 項 の 定 義 , 論 理 式 の 定 義 に 沿 っ て つ く ら れ る 記 号 列 が , Q の 項 , 論 理 式 で あ る 。 「 0 の 論 理 式 」 と 言 っ た と き 注 意 し て ほ し い の は , こ れ は Q で provable な 式 と か , Q の 公 理 に な っ て い る 式 と い う 意 味 で は な く , Q の 語 彙 で つ く る こ と の で き る 式 , と い う 意 味 だ と い う こ と だ 。 Q の 公 理 0 の 公 理 は 次 の 2 つ の グ ル ー プ か ら な る 。 ( 1 ) 論 理 公 理 (logical axiom) こ れ は ど ん な 第 1 階 の 理 論 も 共 通 に も っ て い る 公 理 だ 。 具 体 的 に は AFOL の 6 つ の 公 理 を Q の 論 理 公 理 と す れ ば よ い 。 た だ し , AFOL の 図 式 文 字 (), 了 ) に 代 入 し て 考 え て よ い 記 号 は , Q の 語 彙 と そ れ に 基 づ い て つ く ら れ る Q の 項 と 論 理 式 に 限 ら れ る 。 ( 2 ) 固 有 公 理 (proper axiom) こ れ は そ れ ぞ れ の 理 論 に 固 有 な 公 理 で あ っ て , こ れ に よ り そ の 理 論 に 固 有 な 記 号 ( 関 数 記 号 や 個 体 定 項 , 述 語 記 号 ) に 「 意 味 」 が 与 え ら れ る 。 当 然 の こ と な が ら , こ の 部 分 は 理 論 ご と に 異 な る 。 ロ ビ ン ソ ン 算 術 Q で は 次 の 7 つ の 公 理 を 置 く 。 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Q 7 V 穹 V ぐ は 半 ぐ → S 手 S の V 穹 ( 0 手 S の ▽ 穹 ( 穹 ヰ 0 → ヨ ぐ は = s ▽ 穹 十 0 = の ▽ 穹 ▽ ぐ は 十 S ぐ = S は 十 の ) V 穹 は ・ 0 = の Y 穹 ▽ ぐ は ・ s ぐ = ( は ・ + の ) Q の モ デ ル 数 学 で 「 算 術 」 と 言 っ た と き , そ れ は 「 読 み 書 き 算 盤 」 の こ と で は な く , 自 然 数 と 加 法 , 乗 法 と い う 演 算 に つ い て の 理 論 を 意 味 し て い る 。 0 は そ の 意 味 で の 算 術 を 公 理 的 理 論 の 形 に 整 備 し た も の だ 。 だ か ら , Q の 固 有 公 理 は 次 の モ デ ル で 真 に な る 。 と い う よ り , そ も そ も そ う な る こ と を 意 図 し て つ く ら れ て い る 。

論理学をつくる


第 1 章 What is THIS Thing called Logic ? い る と 刑 事 は 考 え る わ け だ 。 そ こ で , 次 の よ う に 論 理 学 を 特 徴 づ け よ う 。 い く つ か の 命 題 , 文 , 5 る と い う だ け の 理 由 で 正 し い と い う わ け だ 。 と こ ろ に ど ん な 文 が 来 よ う が い つ で も 正 し い 。 そ し て , 下 線 を 引 い た 文 は ま さ に そ の 形 を し て い う す る に , 「 〇 〇 で あ り , か っ 〇 〇 で は な い , と い う こ と は な い 」 と い う 形 を し た 文 は , 〇 〇 の か ら さ 」 と 答 え て く れ る だ ろ う 。 こ こ で は 時 刻 と か 場 所 と い う こ と ば も な く な っ て し ま っ た 。 よ 耐 強 い な ら , 「 そ も そ も あ る こ と が 成 り 立 っ て い て し か も 成 り 立 っ て い な い , と い う こ と は な い 所 に い て , な お か つ い な い , と い う こ と は あ り え な い ん で す か ? 」 と 聞 い た と し よ う 。 刑 事 が 忍 え ち ゃ っ た こ と に 注 意 し よ う 。 そ し て , さ ら に 君 が 「 ど う し て , 2 人 の 人 間 が 同 じ 時 刻 に 同 じ 場 と い う こ と は あ り え な い だ ろ う ? 」 と か な ん と か 答 え る だ ろ う 。 こ こ で , 特 定 の 人 物 の 名 前 は 消 マ ク レ ー ン 刑 事 は , 「 そ も そ も , 2 人 の 人 間 が 同 じ 時 刻 に 同 じ 場 所 に い て , な お か つ い な い , 答 え を す る だ ろ う 。 あ り え な い , と お っ し ゃ い ま し た が そ れ は な ぜ で す か ? 」 と 聞 い た と し よ う 。 刑 事 は ど の よ う な に 「 デ ィ ヴ ィ ッ ド と ス テ ィ ー ヴ ン が 犯 行 時 刻 に 同 じ 場 所 に い て , な お か つ い な い , と い う こ と は と こ ろ で , 刑 事 が 最 終 的 に よ り ど こ ろ に し て い る 下 線 部 に 注 目 し て ほ し い 。 し つ こ い 君 が さ ら 形 式 的 真 理 の 学 と し て の 論 理 学 こ と と 関 係 が あ り そ う だ と い う こ と は わ か る 。 ど ん な 関 係 か は ま だ わ か ら な い け れ ど 。 な る ほ ど 。 矛 盾 し て い る と か し て い な い と い う こ と が 論 理 的 に 出 て く る と か 出 て こ な い と い う と は あ り え な い か ら , だ れ か が 嘘 を つ い て い る に 違 い な い 。 る 。 デ ィ ヴ ィ ッ ド と ス テ ィ ー ヴ ン が 犯 行 時 刻 に 同 じ 場 所 に い て , な お か つ い な い , と い う こ ヴ ィ ッ ド の 証 言 か ら は , デ ィ ヴ ィ ッ ド と ス テ ィ ー ヴ ン が 同 じ 場 所 に い た と い う こ と が 出 て く ス テ ィ ー ヴ ン は 同 じ 場 所 に い た は ず は な い と い う こ と が 論 理 的 に 出 て く る 。 一 方 , デ ィ ン ハ ッ タ ン に , グ ラ ハ ム と デ ィ ヴ ィ ッ ド は ピ ッ ツ バ ー グ に い た わ け だ か ら , デ ィ ヴ ィ ッ ド と ス テ ィ ー ヴ ン と グ ラ ハ ム の 言 う こ と が も し 正 し い の だ っ た ら , ス テ ィ ー ヴ ン と ニ ー ル は マ だ ろ う か 。 あ っ て い な い と 考 え る ん で す か 」 と 尋 ね た と し よ う 。 彼 は お そ ら く 次 の よ う に 答 え る の で は な い 事 は 3 つ の 証 言 を 集 め た の だ け れ ど , そ れ は 矛 盾 し て い た 。 、 ' こ で , 君 が 彼 に 「 な ぜ っ じ つ ま が し か し そ う で は な い 。 こ こ で 述 べ た 2 つ の 課 題 は 実 は 同 じ こ と が ら の 裏 表 な の だ 。 マ ク レ ー ン 刑 以 上 の よ う に 述 べ る と , あ た か も 論 理 学 は 2 つ の 別 の 課 題 を も っ て い る か の よ う に 思 わ れ る 。 2 つ の 顔 は 1 つ で あ る る 。 矛 盾 し た 集 ま り と そ う で な い 集 ま り を 区 別 す る 方 法 を 見 い だ す た め の 系 統 的 な 研 究 が 論 理 学 で あ り す る 。 矛 盾 し て い る と か 整 合 的 だ と い う の は 厳 密 に 言 え ば ど の よ う な こ と な の か を 明 確 に し , 発 言 , 考 え の 集 ま り を 考 え た と き , そ の 集 ま り は 全 体 と し て み る と 矛 盾 し て い た り 整 合 的 だ っ た

論理学をつくる


180 第 Ⅱ 部 論 理 学 を ひ ろ げ る 練 習 問 題 56 次 の 論 理 式 が す べ て 真 に な る よ う な , 論 議 領 域 に で き る 限 り 少 な い 個 体 を 含 む モ デ ル を 作 れ 。 ヨ xLax, ヨ xLxa, ヨ x ¯7Lxx, Vx ヨ yLxy, ー ー 1 ヨ xVyLxy 7.2.4 述 語 論 理 の セ マ ン テ ィ ク ス に つ い て 成 り 立 つ い く つ か の 定 理 述 語 論 理 の セ マ ン テ ィ ク ス が 整 備 さ れ た こ の 段 階 で , 述 語 論 理 の セ マ ン テ ィ ク ス に つ い て 成 り 立 つ い く つ か の 事 実 を 提 示 し て お こ う 。 ま ず は 次 の 2 つ の 定 理 か ら 。 【 定 理 29 】 2 つ の モ デ ル MI と M2 が 同 じ 論 議 領 域 を も ち , 閉 じ た 式 A に 現 れ る す べ て の 個 体 定 項 と 述 語 記 号 に そ れ ぞ れ 同 じ も の を 割 り 当 て る な ら ば , VM 、 (A) = VM2(A)0 ( た だ し , VM 、 (A) = VM2(A) は VMI(A)= 1 VM2(A) = 1 の 略 記 ) 【 定 理 30 】 モ デ ル M に お い て , V(a) = V(ß) つ ま り , 個 体 定 項 , 滝 に こ の モ デ ル は 同 じ も の を 割 り 当 て る と す る 。 こ の と き , VM(A(a)) = VM(A(ß))0 つ ま り を 含 む 式 A( の の の と こ ろ を い く つ か 滝 に と り か え て も , そ の 結 果 で き る 式 A(ß) は も と の 式 と 同 じ 真 理 値 を も つ 。 ど ち ら も , 意 味 を 考 え て み れ ば 当 た り 前 の こ と を 述 べ て い る の だ が , こ れ を モ デ ル に お け る 真 理 の 定 義 に 沿 っ て 証 明 す る の は そ う と う に 骨 が 折 れ る 。 証 明 は 以 下 に 示 し て お い た が , 混 乱 し そ う だ と い う 人 は 証 明 を 辿 る こ と は 省 略 し て も よ い 。 む し ろ 重 要 な の は こ の 定 理 の 意 義 の 方 だ 。 あ る 命 題 に 出 て く る 個 体 指 示 表 現 を 同 じ 個 体 を 指 示 す る 別 の 個 体 指 示 表 現 に 取 り 替 え て も 命 題 全 体 の 真 理 値 が 変 わ ら な い な ら , そ の 命 題 を 外 延 的 (extensional) で あ る と 言 う 。 定 理 30 は ま さ に 我 々 の 述 語 論 理 学 が 外 延 的 な 命 題 の み を 扱 っ て い る と い う こ と を 明 ら か に し て い る 。 と い う こ と は 逆 に , 一 般 に は あ ら ゆ る 命 題 が 外 延 的 で あ る わ け で は な い と い う こ と だ 。 例 え ・ リ ン チ ェ イ と い う 香 港 カ ン フ ー 映 画 の ス タ ー が い る 。 彼 が ハ リ ウ ッ ド 映 画 に 進 出 し て 『 リ ー サ ル ・ ウ ェ ポ ン 4 』 に 出 演 し た と き は , ジ ェ ッ ト ・ リ ー と い う 名 前 で 出 演 し て い た 。 こ の こ と を 知 ら な い ヒ ロ ユ キ は , 『 少 林 寺 』 に 出 て い る リ ー ・ リ ン チ ェ イ と ジ ェ ッ ト ・ リ ー は 別 人 だ と 思 っ て い る と し よ う 。 さ て , こ の シ チ ュ エ ー シ ョ ン で は , ( 1 ) ヒ ロ ユ キ は ジ ェ ッ ト ・ リ ー が メ ル ・ ギ ブ ソ ン と 共 演 し た こ と を 知 っ て い る 。 は 真 だ が , こ の 文 の 「 ジ ェ ッ ト ・ リ ー 」 を 別 名 「 リ ー ・ リ ン チ ェ イ 」 に 入 れ 替 え た , ( 2 ) ヒ ロ ユ キ は リ ー ・ リ ン チ ェ イ が メ ル ・ ギ ブ ソ ン と 共 演 し た こ と を 知 っ て い る 。 は 偽 に な っ て し ま う 。 こ の よ う に 「 知 っ て い る 」 が 形 成 す る よ う な 文 脈 に つ い て は , 同 じ 個 体 を 指 示 す る 表 現 ( 共 外 延 的 表 現 coextensive expression と 言 う ) を 置 き 換 え る と 命 題 全 体 の 真 理 値 が 変 わ っ て し ま う と い う こ と が 起 こ る 。 こ の よ う に 外 延 的 で な い 文 脈 を 内 包 的 文 脈 (intensional

論理学をつくる


第 Ⅳ 部 論 理 学 は こ こ か ら 先 が 面 白 い ! 292 11.3.1 直 観 主 義 論 理 学 の 成 立 11.3 直 観 主 義 論 理 進 ん だ 話 題 の ロ ー ド マ ッ プ 数 学 に 対 し て ャ ン 君 の よ う な 構 成 主 義 的 立 場 を と っ た と き も , 排 中 律 に 対 す る 疑 念 が 生 じ て く る 。 オ ラ ン ダ の 数 学 者 , プ ラ ウ ワ ー (Luitzen Egbertus Jan Brouwer) は , 数 学 を も っ と 人 間 の 精 神 活 動 に 結 び つ い た も の と す べ き だ と 考 え , 直 観 主 義 数 学 (intuitionistic mathematics) と い う 排 中 律 や 背 理 法 の 無 制 限 の 使 用 を 排 除 し た 数 学 を 始 め た 。 彼 は , 数 学 の 本 質 は 心 の 構 成 的 働 き に あ る か ら , こ う し た 心 の 働 き に 基 づ い て 数 学 を や り な お す べ き だ ( こ れ が 直 観 主 義 と い う 名 前 の 由 来 ) と 考 え た 。 例 え ば の 小 数 展 開 を す べ て や り と げ る こ と は で き な い 。 し た が っ て 直 観 主 義 数 学 で は , 実 数 の よ う な 数 学 的 対 象 は 完 結 し た 対 象 で は な く 生 成 さ れ つ つ あ る も の と し て 考 え ら れ る 。 の 小 数 展 開 の 中 に 7 が 100 個 続 く 箇 所 は い ま の と こ ろ ま だ 見 つ か っ て い な い が , 事 実 と し て あ ら わ れ る か あ ら わ れ な い か の ど ち ら か に 決 ま っ て い る は ず だ , だ か ら P な の か •P な の か は 分 か ら な く て も 我 々 は P v -•P は 主 張 し て よ い , と い う 具 合 に 排 中 律 を 無 制 限 に 適 用 す る こ と は , プ ラ ウ ワ ー に 言 わ せ れ ば 論 理 の 濫 用 な の で あ る 。 プ ラ ウ ワ ー は そ も そ も 論 理 学 全 般 に 対 す る 敵 意 を 持 っ て い た の だ が , 直 観 主 義 数 学 で だ っ て 証 明 が 行 わ れ る の だ か ら , 普 通 の 数 学 の 論 理 が 古 典 論 理 で あ る の と 同 じ よ う な 意 味 で , 直 観 主 義 数 学 に も そ れ な り の 論 理 が あ る は ず だ 。 そ の 論 理 を 取 り 出 し て 見 せ た の が プ ラ ウ ワ ー の 弟 子 の ハ イ テ ィ ン ク (Heyting) だ っ た 。 こ の よ う に し て 始 ま っ た 論 理 学 が 直 観 主 義 論 理 (intuitionistic logic) と 呼 ば れ る 。 11.3.2 直 観 主 義 論 理 の た め の 自 然 演 繹 ど の 規 則 を 修 正 し た ら 排 中 律 を 捨 て ら れ る か 直 観 主 義 論 理 は 排 中 律 が theorem と し て 出 て こ な い よ う に す る と い う 方 向 で 排 中 律 の 排 除 を 目 指 し た も の だ と 考 え る と わ か り や す い 。 で は , そ れ を ど の よ う に 行 っ た ら よ い の だ ろ う 。 そ れ が 最 も 見 や す い の が 自 然 演 繹 だ 。 古 典 論 理 の た め の 自 然 演 繹 ND ( た だ し 矛 盾 記 号 を 使 う や っ ) は 次 の 推 論 規 則 を も っ て い た 。 ( 1 ) → △ い → に 対 す る 導 入 規 則 と 除 去 規 則 ¯lintro* と ¯lelim* ( 3 ) 2 重 否 定 除 去 則 (DN) 次 に , 自 然 演 繹 で の 排 中 律 の proof を 思 い 出 そ う 。 ポ イ ン ト は 最 後 に DN を 使 っ て 2 重 否 定 を と る と こ ろ に あ る 。 こ れ が な い と 排 中 律 は で て こ な い 。 そ こ で , DN と い う 推 論 規 則 を 捨 て る こ と に し て は ど う か 。 そ の 方 向 で 基 本 的 に は よ い の だ が , 1 つ 困 っ た こ と に な る 。 な ぜ な ら , DN を 捨 て て し ま う と 否 定 に 関 し て は •intro* と •elim* の 2 つ の 規 則 だ け が 残 る こ と に な る

論理学をつくる


第 10 章 シ ン タ ク ス の 視 点 か ら 論 理 学 の ゴ ー ル に 迫 る 理 解 す る た め に 次 の よ う な 数 学 の 問 題 を 考 え て み よ う 。 【 問 題 】 sin 日 十 cos 日 = と す る 。 こ の と き , sin2 日 を 求 め よ 。 こ れ を こ ん な 風 に 解 い た 人 が い る と し よ う 。 253 え え と , ど う や っ た ら い い の か な 。 そ も そ も , 「 サ イ ン 」 , 「 コ サ イ ン 」 っ て 何 だ っ け 。 た し か 三 角 形 に 関 係 あ っ た と 思 う け ど わ す れ ち ゃ っ た 。 よ く わ か ら な い け ど , と に か く sin 〃 十 cos 日 = の 両 辺 を 2 乗 し て み よ う 。 sin2 日 十 2 sin 日 cos 日 十 cos2 日 = 2 そ う い え ば , sin2 日 十 cos2 日 = 1 じ ゃ な か っ た つ け 。 こ い つ を 代 入 し て み よ う 。 両 辺 か ら 1 を 引 い た ら す っ き り す る ぞ 。 1 十 2 sin 日 cos 日 = 2 に な っ た 。 式 の 意 味 は わ か ら な い が , あ れ ま 。 で ち ゃ っ た 。 答 え は 1 だ 。 sin 2 日 = 1 や れ 。 ど う し よ う 。 そ う だ , 2 sin 〃 cos 日 = 1 た し か 2 sin 日 cos 日 = sin 2 日 っ て 公 式 が あ っ た 。 こ い つ を 代 入 し て 闇 雲 に 変 形 し て い た ら 目 指 す 答 え が 出 て き た 。 お お か た の 受 験 生 に ・ そ の と き に , 公 式 と 呼 ば れ る い つ で も 使 っ て よ い 式 を 導 入 し て 目 標 と な る 式 を 導 い て い を 仮 定 と 呼 ば う ) か ら , 目 標 と な る 式 を み ち び く と い う こ と で あ る 。 ・ わ れ わ れ が 普 通 「 証 明 間 題 を 解 く 」 と 呼 ん で い る の は , 問 題 に 与 え ら れ た 特 定 の 式 ( こ れ 目 す る べ き こ と は , る の に 対 し , ( 2 ) の 式 は い つ で も 成 り 立 つ 式 で , ど ん な 問 題 に お い て も 使 っ て 良 い 式 だ 。 こ こ て 汪 こ の 2 種 類 の 式 は ち ょ っ と 性 格 が 違 う 。 ( 1 ) の 式 は こ の 問 題 で だ け 成 り 立 っ と 仮 定 さ れ る 式 で あ ( 2 ) そ の 他 に , sin20 十 cos29=1 と 2sin0cosO=sin20 と い う い わ ゆ る 「 公 式 」 を 使 っ た 。 ( 1 ) 出 発 点 と な っ た の は , sin6 + cos9= 、 /20 こ れ は 問 題 で 与 え ら れ た 仮 定 と な る 式 で あ る 。 い ま の 数 学 の 問 題 で 使 っ た 式 を 整 理 し て み よ う 。 仮 定 か ら の 演 繹 視 の 立 場 つ ま り シ ン タ ク ス の 立 場 に 立 っ て 行 え る よ う な も の な の だ 。 件 に つ い て の 考 慮 は proof の 構 成 に は 必 要 な い 。 つ ま り こ こ で 言 う proof は , 全 く 意 味 ・ 真 理 無 も proof は 構 成 で き る と い う こ と が わ か る 。 「 → 」 が 「 な ら ば 」 で あ る と か , 「 A → B 」 の 真 理 条 こ う い っ た 経 験 は あ る だ ろ う 。 こ こ で P → P の proof を 見 直 し て み る と , 式 の 形 だ け を 見 て い て と い う 2 つ の 点 に ま と め ら れ る 。 、 1 ア こ で 言 う 与 え ら れ た 特 定 の 仮 定 か ら 出 発 し て 目 標 と な る 式 に

論理学をつくる


第 1 章 What is THIS Thing called Logic ? 1.1.2. 論 理 学 の 3 つ の 顔 論 証 の 正 し さ に つ い て の 学 と し て の 論 理 学 【 典 型 例 1 】 3 ジ ャ ッ ク : そ り ゃ 俺 の 絵 が 世 間 か ら 理 解 さ れ て い な い の は わ か っ て る 。 だ が な , ゴ ッ ホ を 見 て く れ , キ ー ス ・ ヘ リ ン グ や バ ス キ ア を 見 て く れ 。 偉 大 な ア ー テ ィ ス ト は み ん な 最 初 は 受 け 入 れ ら れ な か っ た じ ゃ な い か 。 だ か ら , こ の 俺 だ っ て い つ か は 偉 大 な ア ー テ ィ ス ト に な る の さ 。 キ ャ ル : お い お い 。 も っ と 論 理 的 に し ゃ べ っ て く れ よ 。 か り に 偉 大 な 芸 術 家 が み ん な 若 い 頃 は 無 視 さ れ て い た と い う こ と が 正 し い と し て も さ , そ れ と お 前 の 絵 が 理 解 さ れ て い な い と い う こ と か ら , お 前 が 偉 大 な 芸 術 家 に な る と い う こ と は 出 て こ な い ん じ ゃ な い の ? な に を か く そ う , こ こ に 登 場 し た , 出 て く る (follow) と か 出 て こ な い と い う 概 念 が 論 理 学 の 第 1 の 主 題 だ 。 い く つ か の 言 葉 を 導 入 し て お こ う 。 ジ ャ ッ ク 君 の 行 っ た こ と は 論 証 (argument) と か 推 論 (inference) と 呼 ば れ る 。 彼 は 自 分 の 絵 が 世 間 に 理 解 さ れ な い と い う こ と と , 偉 大 な ア ー テ ィ ス ト は み な 最 初 は 世 間 に 理 解 さ れ な か っ た と い う 2 つ の 前 提 か ら , 自 分 が い つ か は 偉 大 な ア ー テ ィ ス ト に な る と い う 結 論 を 論 証 ( 推 論 ) し て い る の だ 。 わ か り や す く 書 く と , 論 証 (argument) ま た は 推 論 (inference) ジ ャ ッ ク の 絵 は 世 間 に 理 解 さ れ て い な い 偉 大 な ア ー テ ィ ス ト は み な 最 初 は 世 間 に 理 解 さ れ な か っ た ジ ャ ッ ク は 偉 大 な ア ー テ ィ ス ト に な る 前 提 (premise) 結 論 (conclusion) そ し て , そ の 論 証 は う ま く い っ て い な い ぞ , と キ ャ ル は 指 摘 し て い る わ け だ 。 そ こ で , 次 の よ う に 論 理 学 を 特 徴 づ け よ う 。 し か じ か の 前 提 か ら か く か く の 結 論 が 論 理 的 に で て く る と い う の は 言 い 換 え れ ば , 論 理 的 帰 結 (logical consequence) と い う 概 念 の 研 究 が 論 理 学 ど う い う こ と か , で あ る 。 こ の こ と は 次 の よ う に 言 っ て も よ い 。 正 し い 論 証 と は 何 か , 正 し い 論 証 と そ う で な い 論 証 と を ど の よ う に 区 別 す る か に つ い て の 系 統 的 な 研 究 が 論 理 学 で あ る 。 本 書 で は 「 論 証 」 と い う 言 葉 と 「 推 論 」 と い う 言 葉 を し ば ら く は 区 別 し な い で 使 う こ と に す 論 理 的 に 見 て ど う こ う と い う こ と が 問 題 に な る 場 面 は , 以 上 の よ う な も の だ け と は 限 ら な い 。 命 題 ・ 文 ・ 考 え の 集 ま り の 整 合 性 の 学 と し て の 論 理 学

論理学をつくる


422 C. ブ ッ ク ガ イ ド パ ズ ル で 入 門 し ち ゃ お う と い う 本 。 [ 1988 ] は 演 繹 的 で な い 様 々 な 推 論 に つ い て 詳 し く 知 る に は 格 し ろ い 。 た だ し , ギ ャ グ 感 覚 は 相 変 わ ら ず か な り デ ィ ー プ 。 [ 1987 ] も ゲ ー デ ル の 不 完 全 性 定 理 に し た 本 。 ゲ ー デ ル の 不 完 全 性 定 理 へ の 導 入 に も な っ て い る 。 扱 わ れ て い る 題 材 は ど れ も 深 く , お も [ 1989b ] は ル イ ス ・ キ ャ ロ ル の 不 思 議 の 国 の ア リ ス を 題 材 に し て 論 理 学 と は ど ん な も の か を 解 説 ・ 内 井 惣 七 [ 1989 b] 『 パ ズ ル と バ ラ ド ッ ク ス 』 講 談 社 現 代 新 書 ・ 内 井 惣 七 [ 1988 ] 『 シ ャ ー ロ ッ ク ・ ホ ー ム ズ の 推 理 学 』 講 談 社 現 代 新 書 ・ 内 井 惣 七 [ 1987 ] 『 う そ と パ ラ ド ッ ク ス 』 講 談 社 現 代 新 書 ギ ャ グ セ ン ス に 耐 え る こ と が 必 要 。 最 良 の 入 門 書 。 た だ し , 自 然 演 繹 を 開 発 し た 「 ゲ ン ツ ェ ン 」 を 「 ゲ リ べ ン 」 と 洒 落 る , オ ヤ ジ な グ マ シ ン , 決 定 不 可 能 性 な ど に つ い て さ ら に 進 ん だ 話 題 を 勉 強 し た い 人 に は ま ず 第 一 に お 勧 め す る 機 械 的 手 続 き , と い う 観 点 か ら 書 か れ た ユ ニ ー ク な 論 理 学 の テ キ ス ト 。 ア ル ゴ リ ズ ム , チ ュ ー リ ン ・ 内 井 惣 七 [ 1989a ] 『 真 理 ・ 証 明 ・ 計 算 : 論 理 と 機 械 』 ミ ネ ル ヴ ァ 書 房 を 知 る た め に , こ れ 以 上 よ い 本 は ち ょ っ と 見 あ た ら な い 。 様 相 論 理 と 可 能 世 界 意 味 論 が 言 語 と 世 界 に つ い て の 考 え 方 に ど の よ う な 影 響 を 与 え た か と い う こ と ・ 飯 田 隆 [ 1995 ] 『 言 語 哲 学 大 全 Ⅲ : 意 味 と 様 相 ( 下 ) 』 勁 草 書 房 の 優 れ た 解 説 書 。 ラ ッ セ ル の 記 述 理 論 に つ い て も 詳 し く 触 れ ら れ て い る 。 か , 現 代 論 理 学 の 創 始 者 た ち が ど の よ う な 問 題 意 識 で 言 語 と 論 理 の 問 題 に と り く ん だ の か に つ い て フ レ ー ゲ に 始 ま る 現 代 論 理 学 が そ れ ま で の 伝 統 的 論 理 学 と 比 べ て ど の よ う な 点 で す ぐ れ て い る の ・ 飯 田 隆 [ 1987 ] 『 言 語 哲 学 大 全 I : 論 理 と 言 語 』 勁 草 書 房 な の か ! と 驚 く こ と だ ろ う 。 非 古 典 論 理 に 興 味 を 持 っ た ら , ぜ ひ 覗 い て も ら い た い 本 。 非 古 典 論 理 っ て こ ん な に バ ラ エ テ ィ 豊 か ・ 赤 間 世 紀 [ 1992 ] 『 計 算 論 理 学 入 門 』 啓 学 出 版 ◎ 日 本 語 で 読 め る 本 十 音 順 に 並 べ て 紹 介 し て お く 。 で 触 れ る こ と の で き な か っ た ト ピ ッ ク を 含 ん で い る 本 , な ど の う ち , 比 較 的 手 に 入 れ や す い も の を , 五 以 下 に , 本 書 を 読 ん で さ ら に 勉 強 し た い 人 が 読 む べ き 本 , 私 が 本 書 を 書 く と き に 参 考 に し た 本 , 本 書 ・ 大 出 晃 [ 1991 ] 『 自 然 な 推 論 の た め の 論 理 学 』 勁 草 書 房 き る 。 真 理 様 相 だ け で な く , 認 識 論 理 , 義 務 論 理 な ど に も 触 れ て い て , 様 相 論 理 の 幅 広 さ を 知 る こ と が で ・ 内 田 種 臣 [ 1978 ] 『 様 相 の 論 理 』 早 稲 田 大 学 出 版 部 レ ベ ル は 相 当 高 い と み た 。 好 の 本 。 ホ ー ム ズ の 推 理 は 本 書 で 扱 う 演 繹 的 推 論 と は ち ょ っ と 違 う 。 親 し み や す く 思 え て , じ つ は