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有限要素法へのガイド


PROLOG 入 門 一 知 識 情 報 処 理 の 序 曲 ー 後 藤 滋 樹 著 A 5 ・ 1800 円 現 在 も っ と も 注 目 を 浴 び て い る 言 語 「 PROLOG 」 は , 第 五 世 代 コ ン ヒ 。 ュ ー タ の 言 語 と し て 選 ば れ た . そ の 多 面 性 あ る 側 面 に さ ま ざ ま な 光 を あ て る . サ イ エ ン ス 社 ロ グ ラ ム が 満 載 さ れ た 信 頼 の 一 冊 . 注 目 の シ ス テ ム 言 当 生 言 語 ・ 「 C 」 プ ロ グ ラ ミ ン グ へ の 絶 好 の 入 門 書 . 豊 富 な 実 用 プ C プ ロ グ ラ ミ ン グ [ 入 門 編 ] A5 ・ 2 0 円 前 田 英 明 著

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4 ・ 2 連 立 1 次 方 程 式 の 解 法 ユ - フ 901 900 ・ メ 100 外 側 の ル ー プ の 端 末 10 中 間 の ル ー プ の 端 末 F O RM AT ( 1 3 H B C D WRI TE ( 6 , 9 0 1 ) K ッ セ ー ジ R E T U R N CONTINUE C ON T I N U E 103 ERROR , K= , 1 3 ) も っ と 詳 し い 情 報 を 出 力 し た け れ ば , 適 当 に 書 き 加 え る . S T O P E N D [ 備 考 ] 式 ( 14 / ) , ( 15 つ に お け る 総 和 の 計 算 は , 上 の プ ロ グ ラ ム 例 の よ う に , 倍 精 度 で 行 な う の が よ い . こ れ は 精 度 を 保 つ の に か な り 有 効 で あ る t . こ の 部 分 は , を 倍 精 度 の 形 に 変 換 し て か ら 計 算 す る 形 で , S = S + DBL E ( A ( KJ , J ) ) * * 2 と か s = s 十 DBL E ( A ( I J , J ) ) * D BL E ( A ( KJ , J ) ) 各 項 ↑ ホ ラ ン ド , ベ ル 「 有 限 要 素 に よ る 応 力 解 析 」 朝 倉 書 店 の 6 章 を 見 よ ・ L A を Choleski 分 解 し た 結 果 . 下 三 角 マ ト リ ッ ク ス . 実 数 型 引 数 は S UB R O U T I NE B S L ( L , B , X , N , M , NN , MM ) い か た が , , く ン ド ・ マ ト リ ッ ク ス 用 に な っ て い る . 限 要 素 法 入 門 」 179 ペ ー ジ の プ ロ グ ラ ム SOLVE と 同 じ で あ る が , 配 列 の 使 式 ( 2 ) け な わ ち ( 3 ) ) を 解 く プ ロ グ ラ ム は 次 の よ う に な る . 内 容 的 に は 「 有 プ ロ グ ラ ム ( 後 半 ) Choleski 分 解 の 結 果 ( マ ト リ ッ ク ス ん ) を 用 い て 方 程 回 数 が 1 ~ 2 回 ふ え る だ け で あ る ). ち ょ っ と , ぜ い た く で あ る が , 計 算 時 間 は 普 通 の s Q R T と そ れ ほ ど 変 ら な い ( 反 復 式 ( 14 ' ) の 計 算 で DSQRT ( 倍 精 度 で 平 方 根 を 計 算 す る プ ロ グ ラ ム ) を 用 い る の は , い て も , う ま く 処 理 さ れ る よ う で あ る . と す る の が 正 式 の 書 き か た で あ る が , 普 通 は , 前 記 の よ う に (DBLE を 省 略 し て ) 書

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4.4 実 習 用 フ 。 ロ グ ラ ム 111 汎 用 プ ロ グ ラ ム を 作 る 場 合 に は , 関 数 / の 形 と し て , ど の よ う な も の ま で 扱 う か ( 一 様 分 布 荷 重 だ け に す る か , 1 次 式 も 扱 う か , ・ ・ ・ ) , ま た , 力 の 方 向 を ど の よ う に 表 す か ( た と え ば 壁 面 に か か る 水 圧 の 場 合 は , 「 面 に 垂 直 で 内 側 向 き 」 と い う 情 報 を 入 力 し , 各 成 分 の 値 は コ ン ビ ー タ で 計 算 さ せ る と 便 利 ) , な ど , ち ょ っ と , や っ か い な 問 題 が あ る . 何 で も で き る よ う に し て お け ば , 安 全 で は あ る が , 使 い に く い も の に な っ て し ま う か ら , 用 途 を よ く 考 え て , な る べ く 簡 素 な 仕 様 に す る の が よ い と 思 う . 4. 4 実 習 用 プ ロ グ ラ ム 以 上 の 方 針 で 作 成 し た プ ロ グ ラ ム の 1 例 を 紹 介 し よ う . こ の プ ロ グ ラ ム は , 2 次 元 的 な 応 力 解 析 の 実 習 用 に 作 ら れ た も の で 節 点 数 2 5 0 要 素 数 2 5 0 帯 幅 7 0 ま で の 計 算 が 可 能 で あ る . 使 用 で き る 要 素 と し て は 定 歪 三 角 形 要 素 簡 略 四 辺 形 要 素 す 棒 要 素 ( ト ラ ス 要 素 ) で あ り , 応 力 ー 歪 関 係 式 と し て は ァ ー タ 入 力 部 分 に は 筆 者 が 開 発 し た DDL と い う 方 式 甘 を 採 用 し て い る . 仮 想 記 憶 方 式 の 計 算 機 に 適 し た 形 で コ ー デ ィ ン グ し て あ る . が 用 意 さ れ て い る . 連 立 1 次 方 程 式 の 解 法 は , い わ ゆ る , く ン ド ・ マ ト リ ッ ク ス 平 面 歪 モ デ ル ( 80 ペ ー ジ 参 照 ) 平 面 応 力 モ デ ル ( 80 ペ ー ジ 参 照 ) 法 で , ( 1979 ) pp ・ 93 ー 96 つ の 試 み , 日 本 鋼 構 造 協 会 第 13 会 大 会 研 究 集 会 マ ト リ ッ ク ス 解 析 法 研 究 発 表 論 文 集 戸 川 隼 人 ; 有 限 要 素 法 の 汎 用 プ ロ グ ラ ム の 入 力 デ ー タ の 記 述 の 合 理 化 に 関 す る 一 た め と , 四 辺 形 要 素 に 慣 れ さ せ る た め に 組 み 込 ん で あ る ・ ↑ 実 際 に は 二 つ の 三 角 形 要 素 に 分 解 し て 計 算 す る が , 入 力 デ ー タ 作 成 を 簡 単 に す る

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FORTRAN ( 77 増 補 版 ) 原 田 賢 一 著 2 色 刷 ・ A5 ・ 1350 円 基 本 的 な 例 題 を 中 心 に 流 れ 図 と プ ロ グ ラ ム を 2 色 刷 リ の 見 や す い 構 成 で 示 し , 各 章 末 に 文 法 ノ ー ト と 演 習 問 題 を 配 し た 入 門 書 の 決 定 版 . FORTRAN 77 大 駒 誠 一 著 A5 ・ 1380 円 新 し く 標 準 化 さ れ た FORTRAN 77 の 特 色 を 平 易 に わ か り や す く 解 説 . 初 心 者 が 自 然 に プ ロ グ ラ ム の 本 質 と 技 術 を 習 得 で き る よ う 工 夫 さ れ て い る . サ イ エ ン ス 社

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著 者 略 歴 尸 と 川 隼 が わ は や 人 と 1935 年 1958 年 現 在 東 京 に 生 ま れ る 日 本 大 学 理 工 学 部 教 授 理 学 博 士 京 都 産 業 大 学 を 経 て , 科 学 技 術 庁 航 空 宇 宙 技 術 研 究 所 , 早 稲 田 大 学 第 一 理 工 学 部 数 学 科 卒 業 主 要 著 書 数 値 計 算 入 門 数 値 計 算 技 法 マ ト リ ク ス の 数 値 計 算 微 分 方 程 式 の 数 値 計 算 計 算 機 の た め の 誤 差 解 析 の 基 礎 有 限 要 素 法 に よ る 振 動 解 析 有 限 要 素 法 入 門 数 値 解 析 と シ ミ ュ レ ー ー シ ョ ン 共 役 勾 配 法 FEM 十 BEM= 1 有 限 要 素 法 へ の ガ イ ド 昭 和 54 年 10 月 20 日 ◎ 昭 和 60 年 10 月 10 日 著 者 戸 川 隼 人 初 版 発 行 初 版 第 9 刷 発 行 印 刷 者 恒 川 定 弘 発 行 者 森 平 勇 三 製 本 者 関 川 弘 株 式 会 社 サ イ エ ン ス 社 発 行 所 〒 101 東 京 都 千 代 田 区 神 田 須 田 町 2 下 目 4 番 地 安 部 徳 ビ ル 〔 営 業 〕 置 ( 03 ) 2 ー 1091 ( 代 ) 振 替 東 京 7 - 2387 〔 編 集 〕 ( 03 ) 256 ー 1093 ( 代 ) 印 刷 特 殊 組 版 製 本 関 川 製 本 《 検 印 省 略 》 本 書 の 内 容 を 無 断 で 複 写 複 製 す る こ と は , 著 作 者 お よ ひ 出 版 社 の 権 利 を 侵 害 す る こ と か あ り ま す の で , そ の 場 合 に は あ ら か し め 小 社 あ て 許 諾 を お 求 め 下 さ い . ISBN4 ー 7819 ー 0307 ー X

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112 こ れ は 自 由 書 式 4. 実 習 用 プ ロ グ ラ ム デ ー タ ・ カ ー ド の 中 に 変 数 名 や 算 術 式 を 書 け る 前 の カ ー ド の 同 じ 欄 の 値 を 引 用 で き る コ メ ン ト を 挿 入 で き る 簡 単 な 規 則 的 デ ー タ な ら ば 自 動 生 成 で き る な ど の 特 長 を も っ て い る . 4. 5 入 力 デ ー タ の 作 成 法 と 結 果 の 読 み か た 書 式 カ ー ド の 書 式 は , い わ ゆ る 自 由 書 式 と い う ス タ イ ル で , ど の デ ー タ を 何 字 目 に 書 か な け れ ば い け な い と い う よ う な 制 約 は な く , 順 番 だ け を 守 っ て , と い う 点 に 注 意 す る こ と す ( 普 通 の 書 式 の 場 合 に は 空 白 は 0 と み な さ れ る が , 自 ー っ の デ ー タ の 途 中 に 空 白 を 入 れ て は い け な い デ ー タ と デ ー タ の 間 は , 必 ず 1 字 以 上 あ け る ( 空 白 を 入 れ る ) 自 由 な 位 置 に 書 い て よ い . た だ し 由 書 式 で は 空 白 は デ ー タ の 区 切 り 記 号 と み な さ れ る ) . 数 値 と し て は , い わ ゆ る E タ イ プ の 形 ま た は そ れ の 一 部 分 を 省 い た 形 , た と え ば 1 2 3 . 0 6 E 8 な ど が 許 さ れ る . 整 数 型 と 実 数 型 の 区 別 は な い . カ ー ド 構 成 基 本 的 な カ ー ド 構 成 を 図 4.4 に 示 す . 各 部 分 の 詳 細 は 次 の と お ↑ こ の 点 だ け 注 意 す れ ば , 要 素 法 入 門 」 サ イ エ ン ス 社 , ム で 処 理 で き る . 拙 著 「 FORTRAN に よ る 有 限 の 2 章 の た め の デ ー タ ・ カ ー ド は , そ の ま ま 本 フ 。 ロ グ ラ 前 章 末 の プ ロ グ ラ ム や ,

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ま ん が き こ の 本 は 有 限 要 素 法 を き わ め て や さ し く 説 明 し た 解 説 書 で あ る . 誰 に も 読 め る , 独 り で 読 め る , 寝 こ ろ ん で 読 め る , そ う い う 本 で あ る . を 理 解 し 利 用 し て い た だ け る よ う に 作 成 し た テ キ ス ト で あ る . 本 書 は , こ の よ う な 時 代 の 要 請 に こ た え て , な る べ く 多 く の 方 々 に 有 限 要 素 法 え 方 さ え 理 解 で き れ ば , か な り 自 由 に 応 用 で き る と い う 便 利 な 時 代 に な っ た . プ ロ グ ラ ミ ン グ ・ テ ク ニ ッ ク な ど を 勉 強 し な い で 済 む よ う に な り , 基 本 的 な 考 素 法 を 使 用 で き る よ う に な っ た . そ の た め , 一 般 の 利 用 者 は , 計 算 法 の 詳 細 や , と と も に , 優 秀 な 汎 用 プ ロ グ ラ ム が 普 及 し プ ラ ッ ク ・ ポ ッ ク ス と し て 有 限 要 き た . 好 き で も 嫌 い で も , 勉 強 し , 使 わ な け れ ば な ら な い 時 代 に な っ た . そ れ い た . と こ ろ が 近 年 , 有 限 要 素 法 が 普 及 し , 非 常 に 広 く 使 わ れ る よ う に な っ て コ ン ヒ ュ ー タ に も 強 く , 勘 が よ く 器 用 で 研 究 心 旺 盛 な 人 達 が 主 に 使 用 し て 以 前 は 有 限 要 素 法 は 技 術 ェ リ ー ト の 独 占 物 で あ っ た . 数 学 に 強 く , 力 学 に 強 あ る . ま た 図 解 を 多 く し て , 視 覚 的 な 面 か ら も 理 解 を 助 け る よ う に 配 慮 し た . 単 な 例 題 や 実 習 の 積 み 重 ね に よ っ て , 少 し ず っ 有 限 要 素 法 に 慣 れ る よ う に し て こ の よ う な 主 旨 か ら , 数 式 の 説 明 よ り も 「 考 え 方 」 の 説 明 に 重 点 を 置 き , 簡 ト リ ッ ク ス ) の 形 も 理 解 し て お く 方 が よ い だ ろ う と 考 え , 必 要 最 低 限 の 数 式 は ア ル を 読 ん だ り , 関 係 者 と 話 し 合 っ た り す る 際 に , や は り 少 し は 数 学 ( 特 に マ 最 初 は 全 く 数 式 な し で 説 明 す る こ と も 検 討 し た が , 汎 用 プ ロ グ ラ ム の マ ニ = こ の 程 度 の こ と は 勉 強 し て お い て 損 は な い . 入 れ る こ と に し た . ま た 同 様 な 理 由 か ら , プ ロ グ ラ ミ ン グ の こ と も 少 し 書 い た . 本 書 は は じ め て 学 ぶ 人 の た め の 入 門 書 で あ る か ら , 実 務 家 に と っ て は 物 足 り

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108 の 換 算 」 を や っ て い る . こ れ は 縮 尺 を も と に も ど す 単 位 の 換 算 な ど , 使 い 道 が 多 い . 材 料 表 の 利 用 要 素 デ ー タ の , 材 料 特 性 (Young 率 , poisson 比 な ど ) の 項 は , 同 じ 材 料 の 要 素 に 関 し て は 共 通 で あ る か ら , 要 素 ご と に と い う 手 間 を か け な く て も 済 ま せ ら れ る は ず で あ る . 実 現 の 方 法 は い ろ い ろ 考 え ら れ る . 4 ・ 実 習 用 プ ロ グ ラ ム 「 直 前 の カ ー ド 業 種 に よ っ て は , 記 入 , パ ン チ , 何 種 類 か の 材 料 の 混 用 を 許 す 場 合 の , ー っ の 簡 単 な 方 法 は , こ う い う 「 単 一 材 料 専 用 」 の プ ロ グ ラ ム が 役 に 立 っ と 思 う . 最 初 の 1 枚 に パ ン チ す る , と い う こ と に す れ ば よ い で あ ろ う . 材 料 が 1 種 類 だ け な ら ば 最 も 簡 単 で あ る . 「 共 通 の 値 」 は , 要 素 カ ー ド 群 の こ の よ う な 機 能 は , 同 じ 値 を 何 回 も 書 く 手 間 を 省 く の に 役 立 つ ば か り で な く , の 項 目 の 値 と し て 扱 う . カ ー ド の ど こ か の 項 目 で , 数 値 の か わ り に C と パ ン チ し て あ れ ば , 5.81 を そ と い う よ う な カ ー ド を 読 む と , C の 場 所 に 値 5.81 を 記 憶 し , そ の 後 , デ ー タ ・ * LET C = 5 . 81 用 意 し て お り , る こ と が で き る . こ の プ ロ グ ラ ム は , 3 字 ま で の 変 数 名 に 対 応 す る 記 憶 場 所 を も っ と 本 格 的 な 処 理 法 の 1 例 は , あ と で 示 す プ ロ グ ラ ム ( pp. 136 ~ 142 ) で 見 お か し な こ と が 起 こ る こ と が あ る . が , カ ー ド を 差 し か え た り 並 べ か え た り す る と き に は , よ ほ ど 注 意 し な い と , と し て , 今 の 値 を 次 の カ ー ド に 引 き 継 ぐ こ の 方 法 は 簡 単 な わ り に 便 利 で あ る DATAQ =DATA と す る わ け で あ る . 続 い て , IF (DATA . EQ . 0.0 ) DATA=DATAQ る に 「 前 の 値 」 を DATAQ と い う 場 所 に 記 憶 し て お い て , な 扱 い を す る プ ロ グ ラ ム の 例 は , 「 有 限 要 素 法 入 門 」 の p. 201 で 示 し た . 要 す の 値 に 同 じ 」 と い う こ と を 書 け る よ う に す る こ と で あ る . 空 欄 の と き そ の よ う

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3.6 エ ネ ル ギ ー 法 擦 そ の 他 の 減 衰 作 用 の た め , 運 動 の エ ネ ル ギ ー は し だ い に 失 な わ れ ( 熱 エ ネ ル ギ ー と し て 放 散 さ れ ) , 最 終 的 に は ポ テ ン シ ャ ル ・ エ ネ ル ギ ー 最 小 の 状 態 に 落 ち っ く . そ の と き , 力 は ( 系 の す べ て の 点 に お い て ) つ り あ い の 状 態 に あ る ( ー ー も し も つ り あ っ て い な い 部 分 が あ れ ば , そ こ に 連 動 を 生 じ て エ ネ ル ギ ー を 放 出 し , も っ と ポ テ ン シ ャ ル ・ エ ネ ル ギ ー の 低 い 状 態 に 移 行 で き る こ と に な る ). ( a ) ポ テ ン シ ャ ル ・ エ ネ ル ギ ー が 高 い 状 態 に あ る と , も っ と 低 い 状 態 に 移 ろ う と す る . ( b ) し ば ら く の 間 は 最 小 点 を 行 き す ぎ た り , も ど っ た り し て い る が ・ 図 3. 7 ( c ) 最 終 的 に は , ポ テ ン シ ャ ル ・ エ ネ ル キ 、 一 の 最 小 点 落 ち っ く . こ う い う 考 上 記 の 説 明 を 単 純 に 信 じ ら れ る な ら ば , そ れ で よ い ( と に か く , え 方 を 用 い れ ば , 問 題 が う ま く 解 け る の で あ る か ら ). し か し , 上 記 の 説 明 で は 論 理 的 に す っ き り し な い . も う 少 し き ち ん と し た 説 明 が で き な い も の か , と 思 わ れ る か も し れ な い . そ う い う 疑 問 が あ る な ら ば , エ ネ ル ギ ー 原 理 ( ま た は 変 分 原 理 ) の こ と を 詳 し く 書 い た 本 が あ る か ら 読 ん で み る と よ い す . 変 分 法 と ク ト ル 解 析 の 諸 定 理 を 用 い る と , つ り あ い 状 態 を 表 す 徴 分 方 程 式 と エ ネ ル ギ ー 原 理 を 表 す 変 分 の 式 は 同 等 で あ る こ と を 証 明 で き る 学 , 培 風 館 . の で あ る . す た と え ば 鷲 津 久 一 郎 ; エ ネ ル ギ ー 原 理 入 門 , 培 風 館 あ る い は フ ァ ン ; 固 体 の カ

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/ く ン ド ・ マ ト リ ッ ク ス し て 見 ら れ る 性 質 で あ る ↑ . バ ン ド ・ マ ト リ ッ ク ス 出 力 例 4.1 の よ う に , マ ト リ ッ ク ス の 成 分 の 内 , 0 で な い も の が , 対 角 を 中 心 と す る 帯 状 の 部 分 だ け に あ っ て , そ れ よ り 外 側 の 部 分 は 全 部 0 , と い う 形 の マ ト リ ッ ク ス を , バ ン ド ・ マ ト リ ッ ク ス ( band matrix) と い う . 式 で 書 け ば , 巨 一 月 と 襯 な ら ば 0 ゎ = 0 と い う こ と で あ る . 対 称 な ノ く ン ド ・ マ ト リ ッ ク ス の 場 合 に は , 上 記 の 襯 を , バ ン ド 幅 (band width, 帯 幅 ) と い う [ 例 ] 0 0 0 0 0 対 称 記 憶 装 置 へ の 格 納 形 式 対 称 な ノ く ン ド ・ マ ト リ ッ ク ス を 記 憶 す る 場 合 , 対 称 だ か ら 半 分 ( 対 角 の 片 側 ) だ け 入 れ る 帯 部 分 の 外 側 は 全 部 0 だ か ら 省 略 し , 有 効 な 帯 部 分 だ け を 人 れ る こ と に す れ ば , 記 憶 場 所 を 節 約 す る こ と が で き る . す な わ ち ↑ 細 長 い 構 造 物 の , 一 方 の 端 か ら 順 に 節 点 番 号 を つ け れ ば , 全 体 剛 性 マ ト リ ッ ク ス は / く ン ド ・ マ ト リ ッ ク ス に な る . 理 由 は , 「 節 点 乞 と 節 点 が 同 じ 要 素 の 上 に な け れ ば , 全 体 剛 性 マ ト リ ッ ク ス の , ト に 対 応 す る 部 分 は 0 に な る 」 と い う 性 質 ( 「 有 限 要 素 法 入 門 」 p ・ 13 , p. 72 ) に よ る ・ 必 す し も 細 長 く な く て も ( た と え ば 正 方 形 の よ う な 場 合 で も ) , 端 か ら 順 に 番 号 を つ け れ ば い ン ド 幅 は あ ま り せ ま く な ら な い が , か く ) , く ン ド ・ マ ト リ ッ ク ス の 形 に な る . こ の よ う に 「 端 か ら 順 に 番 号 を つ け る 」 と い う こ と は , べ つ に む ず か し い こ と で は な い ( む し ろ 自 然 な こ と で あ る ) か ら , 心 が け し だ い で , 全 体 剛 性 マ ト リ ッ ク ス を , く ン ド ・ マ ト リ ッ ク ス の 形 に す る こ と が で き る わ け で あ る ( 図 4.1 参 照 ) ・ 非 対 称 の 場 合 に は , 帯 状 部 分 の 幅 ( す な わ ち 2 襯 ー 1 ) を , く ン ド 幅 と い う か ら , 混 乱 を 避 け る た め に , 対 称 の 場 合 に も 2 m ー 1 を , く ン ド 幅 と 呼 ん で , 襯 の こ と は バ ン ド 半 幅 (semi band width) と 呼 ん で い る 書 物 も あ る が , 本 書 で は , 一 般 の 慣 習 に 合 わ せ て , m を / く ン ド 幅 と い う こ と に す る . 対 称 襯 = 2 襯 = 3