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有限要素法へのガイド


FEM 十 BEM= 1 有 限 要 素 法 へ の ガ イ ド 戸 川 隼 人 著 サ イ エ ン ス 社

エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉


~ 26 第 6 章 20. 線 要 素 1. 線 要 素 の 分 類 有 限 要 素 モ デ ル 一 次 元 問 題 ( 常 微 分 方 程 式 ) を 解 く た め の 線 要 素 は , 要 素 内 の 節 点 数 , 多 項 式 の 種 類 , 要 素 境 界 で の 滑 ら か さ な ど に よ っ て 分 類 で き る 1 ) : 要 素 内 節 点 数 多 項 式 の 種 類 二 節 点 を も っ 要 素 , 三 節 点 を も っ 要 素 , 一 次 多 項 式 , 二 次 多 項 式 , ク ラ ス CO に 属 す る , 要 素 境 界 で の 滑 ら か さ ク ラ ス CI に 属 す る , 2. 線 積 分 ス ツ ル ム ・ リ ウ ビ ル 型 の 二 階 常 徴 分 方 程 式 を 有 限 要 素 法 で 解 く 場 合 に は , ( 20.2 ) ( 20.1 ) イ 裔 dæ dæ こ で e は 要 素 , の 型 の 線 積 分 を 求 め る こ と が 必 要 と な る 8 の 3 11 の 1 参 照 ) ; / , s は 要 素 内 節 点 番 号 , 裔 ( の は 基 底 関 数 の 要 素 へ の 制 限 と し て 定 義 さ れ る 線 要 素 で あ る . 区 間 [ 〃 , わ ] の 要 素 へ の 分 割 が , 十 分 細 か い 場 合 に は , ( 20.1 ) , ( 20.2 ) に お い て , 関 数 可 の , 〆 の が , 各 要 素 召 で 近 似 的 に 定 数 に 等 し い と 仮 定 し て よ い . こ で は , い 1 の 3 で 定 義 し た 線 要 素 ( 11.27 ) は , 一 応 除 外 す る .

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1 有 限 要 素 法 と は 何 か よ う に な り , 学 校 や 研 究 所 で も 大 型 コ ン ヒ な ー タ を 持 っ と こ ろ が 多 く な っ て き た . そ の 頃 か ら , 有 限 要 素 法 の 応 用 分 野 は 急 に 広 が り , 多 種 多 様 な 方 面 で 利 用 さ れ る よ う に な っ た . 有 限 要 素 法 を 使 え ば , 自 由 に 思 い ど お り の モ デ ル を 作 れ る 複 合 材 料 の 解 析 が で き る 弾 性 限 界 を 越 え た 状 態 の 解 析 が で き る 3 次 元 連 続 体 と し て の 解 析 が で き る 形 状 が 複 雑 で も よ い な ど の 利 点 が あ る の で , 特 に , 材 料 力 学 , 破 壊 力 学 の 問 題 に は 広 く 応 用 さ れ , 成 果 を あ げ て い る . 非 金 属 材 料 を ( ま が り な り に も ) 解 析 で き る こ と は , 有 限 要 素 法 の 強 み で , ー ト , 合 板 , そ の 他 , 各 種 の も の に 応 用 さ れ て ゴ ム , プ ラ ス チ ッ ク , コ ン ク リ い る . Kobayashi は , 動 脈 壁 ( 1966 年 ) , 眼 球 ( 1969 年 ) な ど の 応 用 解 析 に 有 限 要 素 法 を 応 用 し た が [ 7 ] , こ れ も 材 料 力 学 的 研 究 の 系 統 を 見 る こ と が で き る . 近 年 は , 骨 や 歯 の 解 析 に も 利 用 さ れ て い る . 非 構 造 分 野 へ の 応 用 有 限 要 素 法 は 主 と し て 構 造 解 析 の 手 法 と し て 使 わ れ て き た . そ れ は , 構 造 解 析 の 問 題 が , 一 般 に 微 分 方 程 式 の 問 題 と し て は 扱 い に く い し か し 有 限 要 素 法 な ら ば 簡 単 と い う 性 格 を も っ て い る か ら で あ る . そ れ に 対 し , は ( 問 題 に も よ る が , 概 し て ) 微 分 方 程 式 の 問 題 と し て 扱 い 易 い 有 限 要 素 法 だ と 少 し 困 難 が あ る 流 体 力 学 や 電 磁 気 学 の 問 題 と い う 性 格 が あ る . そ の た め , こ れ ら の 分 野 に お け る 有 限 要 素 法 の 利 用 は , 遅 れ て い た . し か し , 近 年 , こ の 方 面 へ の 関 心 が 高 ま り , 産 業 界 で も 積 極 的 に 利 用 し よ う と い う 傾 向 に な っ て き て い る . 基 礎 理 論 有 限 要 素 法 は , 最 初 , 物 体 を 直 接 に モ デ ル 化 し て 解 く , と い う 発

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理 論 編 目 17. 18. 19. 第 6 章 20. 21. 22. 第 7 章 23. 24. 25. 26. 27. 二 次 元 拡 散 方 程 式 ・ ・ 1. 拡 散 方 程 式 に 対 す る ガ ラ ー キ ン 法 ・ 一 階 常 微 分 方 程 式 へ の 帰 着 ・ ・ ・ 月 5 2. 二 次 元 波 動 方 程 式 ・ ・ 1. 波 動 方 程 式 に 対 す る ガ ラ ー キ ン 法 ・ 二 階 常 微 分 方 程 式 へ の 帰 着 ・ ・ ・ 〃 7 2. 連 立 常 徴 分 方 程 式 の 差 分 近 似 解 法 ・ 1. 連 立 常 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 ・ ・ Ⅲ 8 ・ ・ 122 2. 3. 」 一 = が / 3C2 ・ ・ ・ 120 有 限 要 素 モ デ ル 線 要 素 ・ 1. 線 要 素 の 分 類 ・ ・ ・ 126 3. 二 節 点 を も つ 一 次 線 要 素 ・ 4. 中 央 差 分 法 ・ ・ 113 ・ 116 ・ 118 5. 集 中 質 量 行 列 ・ ・ ・ 124 ク ラ ン ク ・ ニ コ ル ソ ン 法 ・ ・ ・ 月 8 ( 126 ~ 143 ) ・ 126 2. 線 積 分 ・ ・ ・ 728 ・ ・ 126 4. 三 節 点 を も っ 二 次 線 要 素 ・ ・ ・ 128 三 角 形 要 素 ・ 1. 三 角 形 要 素 の 分 類 ・ 3. 三 節 点 を も つ 一 次 三 角 形 要 素 ・ ・ ・ 133 四 面 体 要 素 ・ 1. 体 積 座 標 ・ ・ ・ 138 3. 基 底 関 数 ・ ・ ・ 141 水 理 学 へ の 応 用 ・ ・ ノ 30 2. 面 積 分 ・ 4. 六 節 点 を も っ 二 次 三 角 形 要 素 ・ 2. 体 積 座 標 に 関 す る 積 分 公 式 ・ ・ ・ ノ 40 4. 要 素 行 列 ・ ・ ・ 142 地 震 時 の ダ ム 貯 水 池 内 の 水 の 運 動 ・ 自 由 表 面 を も っ 流 体 内 の 物 体 の 振 動 ・ 2. 波 動 の 方 程 式 ・ ・ ・ 147 1. 自 由 表 面 の 条 件 ・ ・ ・ 145 波 動 の 力 学 ・ 2. リ ツ ツ 法 に よ る 有 限 要 素 法 の 定 式 化 ・ 1. 問 題 設 定 ・ ・ ・ 144 ( 144 ~ 153 ) 1. 問 題 設 定 ・ ・ ・ 148 湖 水 の 自 由 振 動 ・ 1. 問 題 設 定 ・ ・ ・ 149 水 質 汚 濁 の 拡 散 ・ 1. 問 題 設 定 ・ ・ ・ 151 2. リ ツ ツ 法 に よ る 有 限 要 素 法 の 定 式 化 ・ ・ ・ 149 2. 変 分 問 題 ・ 有 限 要 素 法 の 定 式 化 ・ ・ ・ 150 2. ガ ラ ー キ ン 法 に よ る 有 限 要 素 法 の 定 式 化 ・ ・ 130 ・ ・ 134 ・ 138 ・ 144 ・ 145 ・ 148 ・ 149 ・ 151 ・ ・ 152

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58 第 3 章 リ ツ ツ 法 Ku こ で , 一 般 に は , 行 列 : は , そ れ そ れ ( 9.13 ) K= (Kij), F= (Fi) 十 öm Dy Dy 工 角 , わ 十 裔 赤 を 要 素 と す る N 行 N 列 , Ⅳ 行 1 列 の 行 列 と し て 定 義 さ れ る が , ( 9.13 ) に お い て は , 行 列 K, F の 第 ( ん 十 1 ) 行 以 下 は 不 要 で あ っ て , K は ん 行 N 列 の 行 列 , お は 行 1 列 の 行 列 と 考 え る . さ ら に , 連 立 一 次 方 程 式 ( 9.13 ) の 解 均 け = 1 , ・ ・ , Ⅳ ) を ( 9.11 ) に 代 入 し た 関 数 は , の は , 偏 徴 分 方 程 式 の 境 界 値 問 題 : Du ( ( y)eC2) Dn ( 9.14 ) ) 十 , の , イ 十 の イ , , ( 9.15 ) わ ー ( 9.16 ) ー ー 十 4 = え の 近 似 解 を 与 え る . 2. 有 限 要 素 平 面 領 域 の ( そ の 境 界 を C と す る ) を , 有 限 要 素 ま た は 単 に 要 素 と よ ば れ る 有 限 個 の 三 角 形 Ge = 1 , ・ ・ ・ , 川 ) に 分 割 す る こ と を 考 え る 1 ). 各 要 素 は , 周 も 含 め た 三 角 形 ( 閉 領 域 ) と 仮 定 す る . 記 号 の 簡 単 の た め に , 混 同 が 生 じ な い 限 り , 要 素 Ge を 召 で 表 す . は 要 素 の 番 号 を 表 す と 同 時 に , 要 素 そ れ 自 身 を も 表 す も の と す る . さ て , こ の , 領 域 D の 有 限 要 素 = 1 , ・ ・ ・ , 襯 へ の 分 割 を , 少 し 厳 密 に 定 義 し て お こ う . つ ぎ の 条 件 ( i ) ( v ) に よ っ て 定 義 す る 2 ) : 1 ) 四 角 形 要 素 へ の 分 割 を 考 え る 有 限 要 素 法 も あ る が , 本 書 で は , そ れ に は ふ れ な い . 2 ) こ の 定 義 の 仕 方 は , 空 間 領 域 の 有 限 要 素 へ の 分 割 の 場 合 に も 有 効 で あ る . た だ し , そ の 場 合 , 各 有 限 要 素 は 四 面 体 で あ っ て , ( ⅱ ) , ( ⅲ ) , ( ⅳ ) に 相 当 す る 部 分 は , 点 P が 要 素 e の 内 点 で あ る 場 合 : P が e の 面 上 に あ る 場 合 ; P が の 辺 上 に あ る 場 合 : P が の 頂 点 で あ る 場 合 : に 分 け ら れ ′ 分 類 の 場 合 の 数 が 一 つ ふ え る .

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2 序 章 有 限 要 素 法 と は 何 か ( i ) ( ⅱ ) (iii) ( ⅳ ) ( v ) ( ⅵ ) 近 似 理 論 : 差 分 法 で は , 徴 分 方 程 式 の 未 知 関 数 の テ イ ラ ー 展 開 近 似 を 用 い て 差 分 方 程 式 に 変 換 し , そ れ を 数 値 計 算 で 解 く と い う 方 法 を と る の に 対 し , 有 限 要 素 法 で は , も と の 微 分 方 程 式 を , 何 ら か の 方 法 ( 変 分 法 あ る い は 重 み つ き 残 差 法 ) で 変 分 問 題 に 変 換 し , さ ら に , 未 知 関 数 を 基 底 関 数 を 用 い て 近 似 す る こ と に よ り , ( 有 限 次 元 の ) 連 立 一 次 方 程 式 あ る い は 簡 単 な 連 立 常 徴 分 方 程 式 に な お し た 後 に , 数 値 計 算 を 行 う . メ ッ シ ュ ( 網 目 ) : 差 分 法 で は , 一 般 に 等 間 隔 メ ッ シ ュ が 採 用 さ れ る の で ( 正 方 形 な い し は 長 方 形 メ ッ シ ュ が よ く 使 わ れ る ) , 複 雑 な 形 状 を も っ 境 界 の 場 合 に は 取 り 扱 い に く い . 有 限 要 素 法 で は , 任 意 の 形 状 , 大 き さ の メ ッ シ = が 使 用 で き る ( 三 角 形 メ ッ シ ュ が よ く 使 わ れ る ). 境 界 条 件 : 差 分 法 で は , ノ イ マ ン 型 境 界 条 件 ( 境 界 上 で 徴 分 係 数 が 指 定 さ れ る 境 界 条 件 ) を 取 り 扱 う の が , 一 般 に 煩 雑 で あ る が , 有 限 要 素 法 で は , ノ イ マ ン 型 境 界 条 件 は , 自 然 境 界 条 件 と し て 自 動 的 に 満 足 さ れ る よ う に で き る . 電 子 計 算 機 用 フ 。 ロ グ ラ ム : 差 分 法 で は , 前 項 ( ⅱ ) , ( iii ) の 理 由 に よ り , 汎 用 的 な プ ロ グ ラ ム を 作 る の が 困 難 で あ る が , 有 限 要 素 法 で は , 汎 用 的 な フ 。 ロ グ ラ ム を 作 る の が 容 易 で あ る . 数 値 計 算 法 ( 連 立 一 次 方 程 式 の 解 法 ) : 差 分 法 で は , 一 般 に 逐 次 計 算 ( SOR ) が 採 用 さ れ て い る が , 有 限 要 素 法 で は , 一 般 に , マ ト リ ッ ク ス 演 算 が 採 用 さ れ て い る ( も ち ろ ん , 差 分 法 で も マ ト リ ッ ク ス 演 算 , 有 限 要 素 法 で も 逐 次 計 算 を 用 い る こ と が で き る ) . 有 限 要 素 法 が 発 達 し た 背 景 に は , 大 型 電 子 計 算 機 の 普 及 が あ り , 最 近 で は 記 憶 容 量 の 節 約 よ り も , フ 。 ロ グ ラ ム の 判 り や す さ の 方 が 重 視 さ れ る よ う に な っ て き て い る . そ の 点 マ ト リ ッ ク ス 演 算 を 用 い る と , デ ー タ の 処 理 手 順 が よ く わ か る . 非 線 型 問 題 へ の 適 用 : 差 分 法 も 有 限 要 素 法 も , と も に 非 線 型 の 問 題 を 解 く こ と に 適 用 で き る . し か し , 強 い 非 線 型 に 基 づ く 場 の 急 激 な 変 化 ( 例 え ば , 乱 流 や 衝 撃 波 ) に 対 し て は , 差 分 法 の 方 が 有 限 要 素 法 よ り も 有 利 で あ る と い わ れ て い る . 流 体 力 学 の 分 野 で は , 歴 史 的 に 差 分 法 が よ く 用 い ら れ て き て お り , 有 限 要 素 法 は , 差 分 法 の 考 え も 一 部 導 入 し つ つ , 改 良 を 重 ね て き て い る . 例 え ば , 上 流 差 分 と い う 差 分 法 の テ ク ニ ッ ク は , 有 限 要 素 法 に も 導 入 さ れ , 良 い 結 果 が 得 ら れ て い る .

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8. 一 変 数 関 数 の リ ツ ツ 法 47 近 似 式 で あ る . 3. 行 列 K, お の 要 素 行 列 へ の 分 解 有 限 要 素 法 で は , 領 域 ( 一 次 元 の 場 合 は 区 間 ) を , 有 限 要 素 ま た は 要 素 と よ ば れ る 小 領 域 に 分 割 し , 各 要 素 で 簡 単 な 多 項 式 に よ っ て 表 さ れ る 基 底 関 数 が 採 用 さ れ る . 例 え ば , 屋 根 型 関 数 ( の け = 1 , ・ ・ ・ , N) は , 各 要 素 召 = 1 , ・ ・ ・ , N¯I で 一 次 の 多 項 式 で あ る . 実 質 的 に は , 要 素 召 = ノ ー 1 , ノ で だ け 0 で な い 一 次 の 多 項 式 , 他 の 要 素 で は 恒 等 的 に 0 で あ る . そ こ で , 基 底 関 数 を , 実 質 的 に 0 で な い 多 項 式 で 表 さ れ る , 各 要 素 ご と に 分 け て 定 義 す る と 便 利 で あ る . こ の 各 要 素 ご と に 分 け て 定 義 さ れ た 基 底 関 数 , す な わ ち , 基 底 関 数 の 要 素 へ の 制 限 を , ふ た た び , 有 限 要 素 ま た は 要 素 と い う . 有 限 要 素 モ デ ル と し て , ど の よ う な 型 の も の が 採 用 さ れ る か と い っ た 話 に つ い て は , ー こ で は , 一 次 線 要 素 あ と で 簡 単 に 述 べ る こ と に し て , の 場 合 に つ い て 説 明 し よ う . 屋 根 型 関 数 の は ) け = 1 , ・ , ) を , 各 要 素 ご と に 分 け て 定 義 し た も の , す な わ ち , 要 素 に お け る 要 素 内 節 点 番 号 r は = 1 , 2 ; 図 8.4 ) の 一 次 線 要 素 ( の を 十 2 図 8.4 1 ん = + 1 ( 8.18 ) 1 (xee; e=l, ・ ・ ・ , N ー 1 ) に よ っ て 定 義 す る ( 図 8.5 ) ; こ は , ( 8.17 ) に よ っ て 定 義 さ れ る も の で , 厖 = + 1 さ て , ( 8.13 ) , ( 8.14 ) と の 関 連 で , イ 復 イ 復 十 ) わ 十 ら ー , ら 効 , 可 の , dc dx / 十 ら , Ⅳ ー 1 ら 2P1 〆 の ( 8.19 ) , ( 8.20 ) に 現 れ る 積 分 は , 要 素 ( 区 間 ) 召 上 で の 線 積 こ で , 0 ( そ の 他 の % , s の 組 ) 1 j=e 十 1 図 8.5 ( 8.19 ) ( 8.2 の を 導 入 し よ う ; 分 を 表 し , e,N—1 2 で あ る こ と に 注 意 .

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序 章 有 限 要 素 法 と は 何 か 有 限 要 素 法 は , 数 学 者 で は な く , 工 学 者 に よ っ て 開 発 さ れ た 数 値 解 法 で あ る . 1950 年 代 の 初 頭 は , 米 国 の 航 空 機 産 業 に お い て , 大 き な 転 換 期 で あ っ た . 航 空 機 の 速 度 が 音 速 を 突 破 し た 時 代 で , 従 来 の 翼 か ら 後 退 翼 へ , さ ら に 三 角 形 翼 へ と 構 造 が 大 き く 変 化 す る に と も な い , 複 雑 な 航 空 機 の 構 造 計 算 を , 今 ま で に な い 高 精 度 で 行 わ な く て は な ら な く な っ た . こ の 技 術 上 の 要 求 と , 大 型 電 子 計 算 機 の 発 達 に 対 応 し て 開 発 さ れ た 方 法 が , マ ト リ ッ ク ス 構 造 解 析 法 で あ る . こ の 方 法 は , M. J. Turner ( ポ ー イ ン グ 社 ) , R.W. Clough ( カ リ フ ォ ル ニ ア 大 学 / く 一 ク レ ー 校 ) , H. C. Martin ( ワ シ ン ト ン 大 学 ) お よ び L. J. Topp ( ポ ー イ ン グ 社 ) の グ ル ー プ に よ っ て 考 案 さ れ た も の で , こ の と き に は , 技 術 者 の 直 観 的 な 定 式 化 で あ っ た . こ の マ ト リ ッ ク ス 構 造 解 析 法 は , や が て , 変 分 原 理 を 用 い て , 理 論 的 に 導 び か れ る こ と が わ か り , 有 限 要 素 法 と い う 名 の も と に 構 造 力 学 の 全 分 野 ( 航 空 機 , 舶 船 , 橋 , 建 築 物 , 機 械 , な ど ) に 拡 が っ て い き , 差 分 法 に 完 全 に と っ て か わ っ た 感 が あ る . ま た , NASTRAN (NASA 開 発 ), ICES ( マ サ チ ュ ー セ ッ ツ 工 科 大 学 開 発 ) な ど の , 汎 用 の 構 造 力 学 用 の プ ロ グ ラ ム も 市 販 さ れ る よ う に な り , 構 造 技 術 者 に と っ て , 有 限 要 素 法 は 設 計 上 不 可 欠 の 日 常 道 具 と な っ た . 0. C. Zienkiewicz ( 英 国 ウ ェ ー ル ズ 大 学 ス ウ オ ン ジ ー 校 ) や B. A. Finlayson ( ワ シ ン ト ン 大 学 ( シ ア ト ル ) ) ら は , 有 限 要 素 法 の 定 式 化 と し て , 変 分 原 理 の ほ か に , 重 み つ き 残 差 法 の 考 え 方 を 導 入 し , 構 造 力 学 に 限 ら ず , 熱 伝 導 , 流 体 力 学 , 電 磁 気 学 , さ ら に は 土 質 力 学 な ど , 理 工 学 の 非 常 に 広 い 分 野 に も , 有 限 要 素 法 が 適 用 で き る こ と を 示 し た . と く に , Zienkiewicz は , 有 限 要 素 法 を , 単 に , 工 学 者 の た め の 数 値 解 法 と し て で は な く , 徴 分 方 程 式 の 数 値 解 法 の 一 つ と し て と ら え , 今 ま で 差 分 法 で 解 か れ て い た 理 工 学 の 諸 問 題 を , よ り 高 精 度 に , よ り 効 率 よ く 解 け る こ と を 実 証 し て い る . こ の よ う な 経 過 を た ど っ て , 最 近 で は , 有 限 要 素 法 は , 工 学 者 だ け の も の で は な く な っ て き て お り , 応 用 数 学 者 の 関 心 を も 引 き つ け る よ う に な り , G. Strang ( マ サ チ ー セ ッ ツ 工 科 大 学 ) と G. J. Fix ( メ リ ー ラ ン ド 大 学 ) の 著 書 [ 1 ] に 代 表 さ れ る よ う な , 有 限 要 素 法 の 収 東 性 , 誤 差 評 価 な ど に つ い て の 数 学 理 論 が 展 開 さ れ て い る . さ て , つ ぎ に 差 分 法 と 有 限 要 素 法 の 差 異 を 指 摘 す る こ と に よ り , 有 限 要 素 法 の 特 色 を 明 ら か に し よ う .

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1 ・ 2 有 限 要 素 法 の 特 長 ー ー タ 従 来 の 方 法 だ と ・ 問 題 ↓ ö2u 02u a ェ 2 ay2 微 分 方 程 式 有 限 要 素 法 な ら ば ; デ 9 手 計 算 〃 / ど の 3 ク ノ GO ,TO ク プ ロ グ ラ ム 作 成 近 似 計 算 式 を 作 成 す る コ ン ピ ュ ー タ プ ラ ス 汎 用 プ ロ グ ラ ム プ ラ ッ ク ・ ポ ッ ク ス と し て 使 用 で き る 0 0 0 0 コ ン ピ ュ ↓ 0 0 0 0 0 0 二 結 果 ー 図 1.4 有 限 要 素 法 の 効 用

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次 目 1 有 限 要 素 法 と は 何 か 1 . 1 数 学 的 な 定 義 ・ 1 . 2 有 限 要 素 法 の 特 長 1 . 3 有 限 要 素 法 小 史 ・ 引 用 文 献 ・ 2 基 本 的 な 考 え 方 2.1 有 限 と い う こ と ・ 2.2 三 角 形 の 網 目 を 使 う 2.3 区 分 多 項 式 に よ る 2 変 数 関 数 の 近 似 ・ 2.4 物 理 的 な 近 似 ・ 2.5 標 準 的 な 有 限 要 素 モ デ ル 3 構 造 解 析 3.1 弾 性 体 の 特 性 ・ 3.2 変 位 法 ・ 3.3 方 程 式 作 成 の 自 動 化 マ ト リ ッ ク ス 代 数 の 要 点 ・ マ ト リ ッ ク ス に よ る 定 式 化 ・ エ ネ ル ギ ー 法 ・ 3.7 平 面 応 力 問 題 1 っ 0 ワ っ / 1 1 ワ ・ 4 0 1 ワ 3 ワ ん っ 0 -4 っ / ワ ん -4 8 戸 0 8 っ 0 -4 0 【 0 戸 0 t.C /