目 1 次 はじめに 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3. 12 第 I 部論理学をはじめる 第 1 章 What is THIS Thing called Logic ? 1.1 論理とは何か ? そして論理学は何をするのか 1.2 論証の正しさをどこに求めたらよいか 9 第 2 章論理学の人工言語をつくる 2.1 自然言語から人工言語へ 16 2.2 人工言語 L 22 2 第 3 章人工語に意味をえる一一一命題論理のセマンティクス 3. 1 結合子の意味と真理表 37 論理式の真理値分析 41 トロジー 43 トー 「何だ , けっきよく同じことじゃない」を捉える 論理的同値性 49 真理表を理論的に反省する 54 矛盾とは何か 58 論証の正しさとは何か 61 論理的帰結という関係 67 真理関数という考え方 72 日本語の「ならば」と論理学の「→」 コンパクト性定理 83 メタ言語と対象言語をめぐって 88 4.2 タブローの信頼性 102 4. 1 意味論的タブローの方法 92 第 4 章機械もすなる論理学 8 1 111 2 37 92

IV 第 I 部のまとめ 第Ⅱ部論理学をひろげる 第 5 章論理学の対象言語を拡張する 5.1 なぜ言語の拡張が必要なのか 112 5.2 述語論理での命題の記号化 113 5.3 述語論理のための言語をつくる 1 22 5.4 タブローの方法を拡張する 126 第 6 章おおっと述語論理のセマンティクスがまだだった 6.1 述語論理のセマンティクスをつくらなければ 133 9.2 9.3 第 7 章さらに論理言語を拡張する 6.4 伝統的論理学をちょっとだけ 1 58 6.3 存在措定と会話の含意 153 6.2 セマンティクスとモデノレ 136 7.1 7.2 7.3 7.4 MPL の限界 164 PPL のセマンティクス 175 PPL にタブローを使ってみる 185 論理学者を責めないで - ーーー決定問題と計算の理論 197 第 8 章さらにさらに論理言語を拡張する 8.1 同一性を含む述語論理 IPL 2 。 2 8.2 個数の表現と同一性記号 2 。 6 第Ⅱ部のまとめ 第 9 章自然演繹法を使いこなそう 第Ⅲ部論理をもう 1 つの目で見る 108 1 1 2 133 164 2 14 2 1 2 202 9. 9. 1 4 自然演繹法をつくる 214 他の結合子のための推論規則 223 矛盾記号を導入した方がよいかも 233 述語論理への拡張 236

目 9.5 同一性記号を含む自然演繹 246 シンタクスの視点から論理学のゴールに迫る 第 10 章 10. 1 公理系という発想 248 10.2 シンタクスとセマンティクス 260 10.3 命題論理の公理系の完全性証明 265 第Ⅲ部のまとめ 第Ⅳ部論理学はここから先が面白い ! 進んだ話題のロードマップ 第 11 章めくるめく非古典論理の世界にようこそ ! 11.1 11.2 11.3 11.4 古典論理は神の論理である 2 値原理と排中律のいかがわしさ 多値論理 284 直観主義論理 292 古典論理の拡張としての様相論理 3 。 4 281 第 12 章古典論理にもまだ学ぶことがたくさん残っている 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 完全武装した述語論理の言語 FOL 319 AFOL の完全性とそこから得られるいくつかの結果 322 第 2 階の論理 338 モデル同士の同型性 332 第 1 階の理論 329 第Ⅳ部のまとめ C . A. 付 ブックガイド 422 B . 練習問題解答 366 A little bit of mathematics ・ 248 ・ 349 ・ 345 319 280 ・ 277 350

索 A. 事 「多くて」 207 引 項 あ行 曖昧性のパラドクス 曖昧な述語 287 アサインメント 145 アサインメントの変種 「当てはまる」 145 アルゴリズム 92 , 199 生きている仮定 2 7 移出律 44 287 置き換え規則 249 置き換えの定理 52 , 7 1 か行 外延的 18 。 , 352 回帰的定義 25 解釈 134 下位導出 217 開放経路 98 開論理式 125 , 137 会話の含意 157 ( 三段論法の ) 格 161 可算モデル 329 可算濃度 3 朝 可算集合 36 。 重なり合った量化 168 隠れた前提 155 確定記述句 13, 2 。 8 拡張としての非古典論理 拡大律 44 ( 三段論法の ) 格式 162 完全 252 完全性証明 248 , 265 完全性定理 266 冠頭形 199 関連性にかかわる違和感 146 2 1 7 記号論理学 16 記述理論 210 基数 364 ギーチ・カプラン文 帰納的定義 25 帰納法の仮定 29 逆 5 。 338 ( 導出が ) 依存している 一意的存在 2 。 6 1 次下位導出 217 427 8 1 2 1 5 , 2 19 1 対 1 写像 357 一致の原理 148 意図されたモデル 移入律 44 意味言侖 36 , 261 意味論的帰結 261 意味論的タブロー 意味論的に閉じた ( 仮定を ) キャンセルする 吸収律 44 , 5 1 共外延的表現 180 極大無矛盾 268 , 323 共通集合 353 337 吾 88 93 305 極大無矛盾集合の充足可能性補助定 意味論的パラドクス 89 意味論的矛盾 262 入れ替え律 45 , 51 , 102 上への写像 358 ウォーターゲートのパラドクス 33 , 9 。 カッコ省略のための取り決め 合併集合 353 可能 284 可能性演算子 3 。 5 可能世界意味論 310 124 理 269 空虚な現れ 125 , 185 空集合 352 偶然的真理 47 , 282 「偶然 P である」 3 。 5 繰り返し規則幻 8 クリスプな述語 288 クリプキ・セマンティクス 経験的真理 46 形式的真理 6 , 46 形成の木 26 , 123 経路 95 結合律 44 , 51 決定可能性 103, 189 決定手続き 92 299 うそっきのパラドクス 89 n 項関係 166 n 項述語 166 n 変数命題関数 166 演繹 215 , 222 , 254 演繹定理 256 演繹の枠組みをまずつくれ 220 可能な知識状態 299 還元法則 3 。 6 関数 356 関数的完全性の定理 間接証明 2 76

428 索引 ( 事項 ) 決定不可能性 198 決定問題 198 決定問題の否定的解決 64 , 230 83 , 275 124-25 200 さ行 最後の手段は間接証明 23 ー 決定論 282 結論 3 ゲーデル数 365 恒真式 43 後件 34 交換律 44 , 5 1 恒偽式 43 項 122 ー 23 限量子 116 健全 ( 性 ) 252 , 266 原子論者 282 現実世界 311 原子式 2 。 , 122 「しか」 1 19 ( 三段論法の ) 式 作用域 125 二段論法 160 3 値トートロジー 3 値論理学 284 シェーファー関数 シェーファーの棒 285 79 79 162 式の長さについての帰納法 自然演繹法 214 始切片 3 。 事実の真理 46 事実式 43 事実誤認 1 指示詞 113 自己言及 89 順序対 176 , 354 準同型写像 333 小概念 161 条件法 2 。 商集合 356 / 」、前提 161 小反対対当祐。 情報の価値 48 情報量 48 証明解釈 298 除去はいつでも OK 221 ジレンマ 64 (A は V のもとで ) 真 58 真偽 10 人工言語 16 シンタクス 35 , 103 , 261 構成主義 284 , 292 構成的両刀論法 44 , 構成手続き 214 合成律 45 オ冓造 333 構造にかかわる原理 後続者関数 331 肯定式 44 , 63 構文論 35 , 261 構文論的帰結 261 構文論的矛盾 262 構文論的無矛盾性 7 1 154 28 133 真部分集合 353 真理関数 72 真理関数的 22 真理関数的に妥当な式 自然言語 16 自然数 35 。 実質なく真な一般化 実数 3 質料含意 2 。 写像 356 集合 351 十全 76 主結合子 34 縮小律 44 自由変項に 4 自由に現れている 充足する 58 ー 59 充足関係 145 充足可能式 43 充足可能 59 , 152 , 262 述語論理 1 12 述語記号 114, 122 43 真理条件 41 真理値 38 真理値ギャップ 真理値分析 41 真理値割り当て 真理の木 93 真理表 38 1 1 4 55 264 公理 248 公理系 248 公理図式 25 。 個体 113 個体指示表現 個体定項 114, 122 個体変項 116, 122 1 1 3 個体変項の現れ 125 コンパクト性定理 固有名 113 固有公理 33 。 誤謬推論 1 1 古典論理学 28 。 推移律 44 , 63 , 82 , 251 推諞 3 推論規則 2 1 7 , 248 数学的帰納法 27 , 342 整合的 4 , 59 , 262 成功した論証 10-11 正規なモデル 327 ストア派 282 図式文字 26 , 38 , 45 , 123 図式 45 数学的プラトニズム 284 述語論理のセマンティクス 順序 n 組 354 循環節 351 循環小数 351 主部分論理式 34 整数 35 。 「せしし ) 」 正リテラル 世界 135 206 34

索引 ( 事項 ) 接続詞 14 セマンティクス 36 , 103 , セマンティクスの形式化 124 ー 25 136 26 ー 第 2 階の理論 代人規則 249 互いに素 350 高々可算集合 ロ 9 多重様相 3 。 5 多重量化 167 「だけ」 342 360 , 131 同一性記号 2 。 3 同一性を含む述語論理 同一律 44 閉じた式 125 い 37 特称否定判断 121 特称肯定判断 121 同濃度 359 同等 359 同値類 356 同値関係 51, 188 , 355 到達可能性 31 導出線 216 導出 216 統語論 35 同型なモデル 334 同型性定理 334 同型写像 333 202 漸化式 27 前イ牛 34 選言 20 , 39 選言肢 34 選言的三段論法 44 , 全射 358 全称肯定判断 121 全称否定判断 121 全称量化子 16 全単射 358 前十是 3 前提規則 217 前提棒 216 像 356 双射 358 双条件法 42 63 多値論理 38 , 284 妥当式 151 ( 論証の ) 妥当性 1 。 , 62 タブロー 93 タブロー構成の攻略法 タブローの信頼性 1 。 2 , 189 100 段階 299 単射 357 単純命題 1 9 ターンスタイル 単調性 69 値域 356 254 429 99 ( タブローが ) 閉じて終わる トロジー 43 , 46 トロジーの判定 1 。 1 束縛されて現れている 束縛変項 124 存在記号 1 1 7 存在措定巧 5 存在量化子 17 存在例化 128 ー 29 チャーチのテーゼ 200 中概念 161 206 「ちょうど」 直観主義論理 292 直観主義的に妥当 3 。 3 直観主義数学 292 直積 354 超限基数 364 チューリングマシン 2 。。 展開規則の制約条件 128 展開規則 96 , 126 ー 29 デカルト積 354 停止問題 199 定義域 356 強い完全性定理 266 , 322 強い置き換えの定理 52 , 71 直観主義論理の決定手続き 3 。 4 直観主義論理の完全性 3 。 4 303 直観主義論理における意味論的帰結 ド・モルガンの法貝リ 44 , 51 , 117 トリビアルに成立する 83 第 1 階の衄 「コロロ 第 1 階の量化 第 1 階の理論 対応理論 3 1 5 大概念 161 339 340 329 た行 対角線論法 363 対偶 5 。 対偶律 44 , 51 対象言語 88 大小対当 159 大前提 161 代替案としての非古典論理 内包的文脈 181 中への写像 358 「ならば」 39 ー 40 2 項関係 166 2 項結合子 33 2 項述語 166 2 次下位導出 217 2 重ターンスタイル 2 重否定律 44 , 51 2 値原理 38 , 28 。 2 変数関数 357 認識史分析 3 。 4 濃度 36 。 どん詰まり 313 67 305 対当関係 158 第 2 階の ロロロ 339 第 2 階のペアノ算術 342 添加律 44 伝統的論理学 121, 158 同一者不可識別の原理 ー 63 204 は行 場合分けによる証明 64 排他的選言 39

430 排中律 背理法 索引 ( 事項 ) 44 , 232 70 , 296 フレームにおいて妥当な式 文 1 25 分析タブロー 93 分析的真理 46 分配律 44 , 51 文法形式 16 ー 分離規則 249 閉鎖経路 98 閉鎖タブロー 99 閉論理式 125 , 137 ー 38 ベキ集合 355 巾等律 44 , 51 ヘンキンの定理 268 , 323 変形規則 248 ( アサインメントの ) 変種 ( 付値関数 V の ) 変種 143 ( モデル M ) の変種 143 方針 S 141 方針 S における真理の定義 3 14 146 148 命題論理 メタ言語 メタ定理 1 1 2 88 2 2 2 派生規則 259 パースの法則 45 裸の個体定項 124 反証モデノレ 152 , 303 開いた式 125 , 137 表現定理 76 評価手続き 214 非排他的選言 39 否定式 44 , 63 否定 2 。 必然的真理 47 必然性演算子 3 。 5 必然化規則 3 。 6 非単調論理 7 。 ( 論証の ) 非妥当性 非古典論理学 28 。 非可算集合 36 。 反例 62 範疇的 335 反対対当 159 メタ論理的変項 26 メレディスの公理系 260 モデノレ 136 ー 37 , 152 モデル M の変種 143 モデノレ集合 105 モデルにおいて妥当な式 313 ー 14 モデルのもとでの真理 138 10 方針 T 141 枚挙 365 ま 行 ( タブローが ) 開いて終わる ヒンティッカ集合 105 , 194 フアジーな述語 287 99 ( モデル M はアサインメントびに よって論理式 A を ) 満たす 145 無限基数 364 無限集合 359 矛盾 4 , 58 , 151 ( シンタクス的に ) 矛盾している ( セマンティクス的に ) 矛盾してい 262 唯名論者 341 有限基数 364 有限充足可能 84 有限小数 351 郵便はがきのパラドクス 有理数 35 。 様相オペレータ 3 。 5 様相論理 3 。 5 様相論理の完全性 318 ライプニツツの原理 2 。 4 理性の真理 46 リテラノレ 34 理諞 329 理言侖のモデノレ 331 リンデンバウムの補助定理 や・ら・わ行 90 269 , フアジー言侖王里 286 付加律 44 不完全記号 210 複合命題 19 含み 381 付値関数 55 , 136 復活規則 2 1 8 復活はいつでも OK 部分集合 352 部分順序集合 299 部分論理式 34 普遍量化子 1 16 普遍例化 1 29 負リテラノレ 34 プール関数 75 フレーゲの公理系 フレーム 31 1 2 2 1 249 る 262 矛盾記号 234 矛盾規則 293 矛盾式 43 矛盾対当 158 矛盾の導出 227 矛盾の見つけ方 228 レモン・コード 309 連言 2 。 連言肢 34 連鎖推論のパラドクス 連続体仮説 364 連続体濃度 363 ロビンソン算術 329 論議領域 134 誦言正 3 論証の形式 13-15 論証の妥当性の判定 論証の内容 13-15 論理形式 16-17 論理結合子 2 。 323 287 101 矛盾律 44 無矛盾 4 , 263 無理数 350 命題関数い 4 , 166

431 論理公理 33 。 論理式 2 。 論理式の定義 25 , 122 論理定項 14, 122 論理的帰結 3 , 67 , 151, 論理的真理 47 , 261 論理的同値 17, 49 ー 5 。 , 151 63 , 249 ード 89 , 1 4 1 20 , 38 20 , 38 96 ー 97 95 , 97 96 ー 97 deducible 254 deduction 254 deduction の有限性 271 domain Of discourse 134 260 Camestres 163 C 式 337 but 21 Baroco 389 Barbara 162 ー 63 at most one 206 asymmetric 188 antisymmetric 205 a11 P's are Q's 121 A 型に 1 , 158 ー 63 論理的に出てくる 3 , 16 , 67 論理的同値性の判定 102 E 型 121 , 158 ー 63 Euclidean 189 every P is Q ロ 9 , 120 everything is P い 9 ー 2 1 ex falso quadlibet I 型 12 158 ー 63 if and only if 42 iff 42 intransitive 188 irreflexive 188 65 just one 206 just tWO 207 modus ponens modus tollens MP 249 63 索引 ( 人名 ) nontransitive 188 nor 79 O 型 121 , 158 ー 63 one at least 206 only 119 only if 42 proof 222 , 250 reflexive 188 RS 249 serial 315 some P iS Q 119, 120 ー 21 some P'S are not Q'S 121 some P'S are Q'S 121 something is P 1 19 symmetric 188 theorem 222 , 250 there exists 1 1 8 thinning 69 transitive 188 two at least 207 Celarent 163 Cesare 163 contradiction ! cutting 70 アリストテレス ウェイソン 8 227 1 2 1 , 160 , 282 name-maker 319 nand 78 nonsymmetric 188 nonreflexive 188 no are 121 93 = レア 2 1 4 人 スマリャン こ ) ョンソン ゲンツェン B . unique readability theorem 名 8 ウカシエヴィッツ 284 ゲーデノレ クリプキ 323 クリュシッポス 282 90 , 299 , 310 30 ー 33 フィッチ プラウワー フレーゲ / 、ンキン・ ラッセノレ 2 14 292 249 , 280 267 , 323 2 IO, 280 タルスキ ノ、イティンク ヒンティッカ C . 292 , 298 93 言己 187 レモン 309 △ V V ◇ ロ 305 305 20 , 38 ー 39 20 , 38 一 40 39 ↓ ▽ 79 202 1 1 5 ー 16 Y xyz, ヨ xyz

索引 ( 記号 ) 432 97 97 97 96 ー 97 97 97 97 127 127 127 127 [UI] [EI] 8 6 8 8 9 9 6 6 8 —IL ートー 6 ←導入規則 、→ intro, 226 Yelim, V 除去規則 236 Vintro, V 導人規則 237 , 240 ヨ除去規則 ヨ elim, 241 ヨ導入規則 ヨ intro, 236 △を目指すには 224 V からスタートしたなら v を目指すには 229 →を目指すには を目指すには 249 254 255 267 351 351 CJ 353 n 353 C 353 C 352 U An 353 A x B 354 A2 An D2, L)n 354 P(A) 355 230 d f 2 2 1 227 129 129 205 204 Vintro への但し書き 239 V を目指すには 3elim への但し書き 241 -- 42 ヨからスタートしたなら 243 •V, ヨからスタートしたなら 246 240 ( △ ) (V) 106 106 106 105 106 = 除去規則 =elim, 246 = 導入規則 = intro, 246 139 177 139 140 142 143 n=0 106 106 106 106 106 195 195 195 195 【 TI 】 【 T 1 ' 】 【 T2 】 【 T 2.9 】 【 T2.99 】 【 T2.999 】 【 T3 】 【 S 0.9 】 【 S 1 】 【 S 1' 】 【 S 2 】 【 S 3 】 / 356 f(a) 356 / : A → B 356 f(A) 356 144 146 148 177 146 147 B 358 B 358 B 358 B 358 △除去規則 Aelim, 223 △導入規則 △ intro, 223 v 除去規則 Velim, 230 v 導入規則 V intro, 229 →除去規則 ー elim, 2 19 →導入規則 ー今 intro, 2 19 除去規則 ¯nelim, 227 ¯lelim* 導入規則 ¯lintro, 227 ¯lintro* ←除去規則 ←み , 226 onto intO 1 50 50 , 52 167 98 , 130 67 , 1 5 1 A 359 凱ー 36 。 364 235 360 360 235 ト

433 364 364 31 293 25 1 2 2 180 A / 引 , B / 引 246 A / の = 1 = 1 = 1 ド 0 AB A(a) 127 , 142 V(aD VM(P) VM(A) V(A)=O V(A) = 1 136 137 138 138 138 ND PAI PA2 PPL 索引 ( 記号 ) 260 293 342 342 173 ー 74 VM,6(A)= 1 VMI(A) =VM2(A) 180 145 0 329 SOL 340 148 177 177 306 307 307 B 307 B ( の / 引 C[A] 52 123 r, △ , ⑧ , ・ D DN 136 235 K 306 M/a N 351 P, Q, R, PI, P2, P3, 143 173 幻 7 Prem R 351 Q 351 182 25 25 , 122 VM,61(A)=VM, の (A) VM,6(r)= 1 V/a 143 1 5 1 290 VM , び ( 中了 1 了 2 ・・・ ) VM ( 中 n の・・・碼 1 177 3 い T 4 5 中 Z M= く D,V> 35 1 3 ロ 1 2 2 31 1 137 M=<m,V,IF> m = くび 0 , S, ミ > 351 300 3 1 1 300 び び び 列 了 270 320 139 173 145 352 146 341 321 299 122 ー 23 123 333 RAA Reit Rep S 5 T V V(P) V(A) v(Pi) 296 2 1 8 2 18 307 307 AFOL APL B FOL FPL K L MPL 2 322 250 307 320 289 202 306 2 2 342 342 1 2 2 min {x, y) max {x, y) 306 56 = 1 = 1 theorem 1 theorem 2 theorem 3 , 4 , 5 theorem 6 theorem 7 , 8 , 9 55 136 D I—D 13 290 290 251 252 257 258 259 259

《著者紹介》 とだやまかずひさ 戸田山和久 1958 年生 1989 年 現在 著書 東京大学大学院人文科学研究科修了 名古屋大学情報科学研究科教授 『知識という環境』 ( 共著 , 名古屋大学出版会 , 1996 ) 『科学を考える』 ( 共著 , 北大路書房 , 1999 ) 『知識の哲学』 ( 産業図書 , 2002 ) 『論文の教室』 ( 日本放送出版協会 , 2002 ) 他 2000 年 10 月 10 日 2003 年 10 月 10 日 論理学をつくる 初版第 1 刷発行 初版第 4 刷発行 著者 発行者 定価はカバーに 表示しています 戸田山和久 岩坂泰信 発行所財団法人名古屋大学出版会 電話 ( 052 ) 781 ー 5027 / FAX ( 052 ) 781 ー 0697 〒 464 ー 0814 名古屋市千種区不老町 1 名古屋大学構内 ⑥ Kazuhisa TODAYAMA, 2000 印刷・製本クイックス 乱丁・落丁はお取替えいたします . く日本複写権センター委託出版物 > Printed in Japan ISBN4 ー 8158 ー 0390 ー 0 本書の全部または一部を無断で複写複製 ( コヒ。ー ) することは , 著作権 法上での例外を除き , 禁じられています . 本書からの複写を希望される 場合は , 日本複写権センター ( 03 ー 3401 ー 2382 ) にご連絡ください .