高校数学でわかるフーリエ変換 : フーリエ級数からラプラス変換まで

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・ラブラス変換が活躍している分野 理工系大学生がほば必修として習う数学に、フーリエ変 換によく似たラブラス変換があります。「どうしてラブラ ス変換が必修なのか ? 」と、理工系学生の多くが疑問に思 うことでしよう。ラブラス変換の活躍の場はフーリエ変換 より集中していて、主に電子・電気工学や制御工学の分野 です。 電気回路を扱うときには、微積分方程式を解く必要があ り、また制御工学でも微積分方程式を解く必要がありま す。先ほどの疑問に答えると、ラブラス変換は「これらの 微積分方程式をスラスラ解くのに役立っ」のです。現代の 工学において、電子・電気工学や制御工学は極めて重要な ので、ラブラス変換の習得も同しく重要であるということ になります。このため、通常大学の理工系学部では、フー リエ変換と同じ講義で必修科目として教えています。本章 と次章では、このラブラス変換に取り組みましよう。 ・ラブラス変換とは ラブラス変換は、フーリエ変換に形がよく似ています。 ある関数 / ( ののラブラス変換 F (s) は、次のような式で 表します。 F ( s ) 三望 [ / ( 叨 / ン ( の。→切 ( 6 ー 1 ) こで、記号望は数学者ラブラスの頭文字でラブラス変 跖 6

第 6 章ラブラス変換 換を表します。指数関数の肩に乗っている s は複素数で す。積分範囲は、フーリエ変換が、一から十であっ たのに対して、ゼロから十までです ( 本書では触れま せんが、一から十まで積分をとる両側ラブラス変換 もあります ) 。ラブラス変換をする前の元の関数 / ①を おもて 表関数 ( または、関数 ) と呼び、変換後の関数 F ( s ) を 裏関数 ( または、 s 関数 ) と呼びます。 ラブラス変換で用いる関数の中で、簡単でかつ重要なも のをこれから 5 つほど求めてみましよう。 1 つ目は、 / ① = 1 です。関数が 1 とは何だろう ? と 疑問に感じると思いますが、ラブラス変換では、積分がゼ 口から始まるので、これは図 67 のように時間ゼロで 1 に なり、その後はずっと 1 のままの単位階段関数を表します。 この階段関数は、例えば電気回路では、時間ゼロで突然 一定の電圧をかけるときなどに使います。時間ゼロで電源 のスイッチを入れたとして、そのときの回路の応答がどう 階段関数 うら 1 0 図 6 - 1 時間一 単位階段関数 16 /

なるか考えるわけです。 この / ( の = 1 をラブラス変換してみましよう。 s 三住十 とします。 1 ・ e 市 —at t → ( 6 ー 2 ) となります。こで、 3 行目の第 1 項が→でゼロに なるのは住 > 0 の場合のみです ( 住く 0 なら発散します ) 。 なので、住 > 0 という条件を付けます。 2 つ目は、階段関数と関係が深いデルタ関数ö ( / ーの をラブラス変換してみましよう。 この積分はデルタ関数の 性質である ( 4 ー 9 ) 式を使うと、 ー a.S となります。ただし、積分範囲である 0 との間にデル タ関数が存在する場合です ( 0 < 〃 < ) 。 3 つ目として、 / ( の = をラブラス変換してみましょ 768