74 4 章光の回り込み (a) 回折格子 ルん sin 0 = え Sin 日 = ル個のスリット 図 4.19 暗線の現れる方向 書き直すと , Nhsin 〃暗 = ス である . 図 4.19 に示すように , / = 士応 / を満たす方向では , 下端のスリットからの回折 光と上端のスリットからの回折光の光路差はちょうど 1 波長 , 位相差に直すと 2 応に なっている . 途中のスリットからの回折光は , それぞれ -2 兀 / ルずつ位相がずれてい て , それらを集めると , すべてでうち消しあうような状況になっている . すなわち , そのような方向で回折光強度は 0 になる . IV. 7 回折格子の分解能 波長差の小さい 2 つの波長 , 応およびス 2 ( > 応 ) の光波の〃次回折光に対する分解 能を考える . すなわち , それぞれの光波のれ次主極大は , 図 4.20 に示すように , 2 の主 ( 応 ) = の方向に現れる . ス 2 > 応なので , んによる回折 光の方向の主 ( ス 2 ) は応による回折光の方向の主 ( 応 ) よりやや大きい角度の方向に現 2 〃応 れる . その角度差は小さく」の主 = の主 ( ス 2 ) ー主 ( 応 ) = である . た ん ん ん だし , 波長差を」ス = ス 2 一応とした . もし , んによる主極大が , 応による主極大のすぐ隣の暗線の場所に現れると , の関係は 4.8 節で述べたレイリー基準の条件を満たしている . 応による主極大のす ( 4.30 ) およびの主 ( ス 2 ) =

録 2 応 ( cos a—Epcos の となる . 〃(んCOS日十 Epcosß)=(Ecosa—Epcosa) となる . Ep(cos 住十〃 cos 印 = ん ( cos 住ー〃 cos 印 である . ・ ( ん qcos 住ーん cos 印 = ー Eq ・ ( ん qcos 住十ん pcos ん ( 〃 cos 住ー cos = - Ep ( 〃 c ( ) s 住十 cos これから , COS 住十〃 2 ー Sln 住 COS 住十〃 COS COS 住ーー〃 COS ー COS 住ー〃—Sin 住 ( 5.28 ) 式を変形して , 入射角住の関数として反射係数カを表すと , E C()S 住十〃 COS 、 Ep 」一 00 0 ー・・ 00 日 が得られる . 付 2 応 (んCOS日 + Epcosß)= さらに , ん / ん = 〃であるから , したがって , が得られる . を用いた PE = 〃 COS = 〃 COS2 = 2 S ln Sln 2 〃 2 ( 1 ー sin2 印 = ・ 2 〃ー〃 Sin2 = 〃—Sin 住 次に , H 波に対しては同様にして , ( 5.11) 式にん q , ( 5.13 ) 式に cos をかけて得られた 2 式を辺々ひくと , ん・ー kp ・ Ep = kq ・ Eq EiCOS 住十 Epcos a=Eqcos 扈 ん = ん p = 2 応 / 応 , 々 q = 2 応 / ス 2 を用いて , 2 応 COS さらに , 応 / ス 2 = 〃であるから , 2 て ー Ep ー - ー cos 住十一一一 cos ¯ncos 住十 COS 2 応 2 応 が得られる . PH を表すと , したがって , Ei H ncos 住十 C()S 87 ( 5.13 ) ( 5 . II) ( 5.30 ) ( 5.29 ' ) ( 5 . 29 ) ( 5.28 ) ( 5.29 ) 式を得たのと同様の手続きで , 入射角住の関数として反射係数

37 G(o) 3.1 光の波の長さ の = 明ー 2 兀 / % の = 十 2 / % 図 3.2 / ( t) の振動数分布 と考える . すなわち , 可干渉時間または可干渉長の部分を考慮するということである . このような波の振動数分布は〆の ) で求められる . ( 3.3 ) 式を ( 3.2 ) 式に代入して , 朝 / 2 れの一 30 d / 1 2 応ー / 2 e 2 sin[ ( の一の 0 屬 / 2 ] の一の 0 が振動数分布を表す . 光波の強度分布 G ( の ) は振幅の 2 乗 = の ) 尸であり , 2 sin2 [ ( の一の 0 ) / 0 / 2 ] 応 ( の一の 0 ) である . のの関数として G ( の ) を図 3.2 に示す . ( 3.4 ) ( 3.5 ) スペクトルの分布はの = の 0 で最大で , の = の 0 土 2 応 / / 0 で 0 になる . 図では , の = の 0 士 2 応々 0 の両側での G ( の ) の分布がかなりあるように見えるが , 実際にはほとん どの振動数はの = の 0 土 2 応 / / 0 の内側に分布している . すなわち , 図 3.1 で表される ような波束は主として振動数の 0 の波で構成されるが , の 0 にきわめて近いの 0 土 2 応々 0 以内の振動数の波も多少含んでいる . 周波数分布の幅土 2 / / 0 を」のとすると , この 」のが非常に狭い光波を単色光という . 気体 , たとえば水素からの線スペクトルはほ ば単色光といってよい . 単色光とは , 振動数がの 0 だけの光波ではなくて , の 0 にきわ めて近いの 0 士 2 / 0 以内の振動数の光波も多少含んでいる光波である . 振動数がの 0 だけの光波は存在しない . さて , 2 応 / / 0 を」のとすると , 」の = 2 応 / / 0 したがって , 」レ = 1 々 0 である . ( 3.6 ) 式から , 周波数幅」レをもつ光波の可干渉時間は , ん = 1 / 」レ ( 3.7 ) ( 3.6 ) である . 可視光の周波数幅」レは約 108S ー 1 なので , 可干渉時間 / 0 は約 10 ー 8s となる . この値は光波の通過時間として紹介した . このような光波が可干渉時間んの間に進 む距離は co / 0 なので ,

67 4.10 種々の色の光に分割 名主 ( 勾 = 名主の = 2 回折光強度 ル個のスリット による回折像 2 次 1 次 O 次 1 次 2 次 3 次 4 次 5 次 図 4.15 分光に用いられる回折格子による回折像 ス 2 射させると , その光の 1 次回折光はその光に対して / = 応を満たす研主 ( ス 2 ) = の 方向に現れるはずである . それらを図 4 . 15 に 1 次の回折として示す . 波長んが応 より長い場合 ( ス 2 > 応 ) は , 上述の仏主 ( ス ) に関する式から , 日 2 主 ( ス 2 ) > 研主 ( 応 ) であ る . すなわち , 図 4.15 の 0 次の明線に対して , 波長ス 2 による回折像は応の回折像 より離れたところに像を結ぶ . 応とス 2 の 2 ~ 5 次の回折光は図のように現れるが , そ の間隔はしだいに広がる . 分解能 次に , 波長応とス 2 による回折像の離れ具合 ( 分解能 ) について説明する . ス 2 一応 = 」スとすると , 応十ス 2 ( 4.18 ) をスリット数ル個の回折格子による , 波長スでの〃次の回折光に対する分解能とい スリット数が多いほど分解能はよい . たとえば , う ( 付録Ⅳ . 7 参照 ). すなわち , 黄色の光の波長はス = 0.5 m = 500nm である . これをル = 106 の回折格子で〃 = 5X 102 [ nm ] ス = ーーーーー 6 ー - ーーーーー = 5 x 10-4 [ nm ] の分解能 1 次の回折光を用いて分光すると , 」ス = 10 で分光できる . いいかえると , 500.0000 nm と 500.0005 nm の光を見分けることがで きるということである . 分光用回折格子の一例 実際に分光に用いる回折格子は , 図 4.13 のような光が回折格子を透過する透過型

86 5 章平らな境界面での反射と屈折 V. 2 境界面での電場と磁場の関係 電磁波の電場 E と磁場〃の間には , ( 2.11 ) 式から得られる , 1 2 応 / ス ″の べクトルの振幅とすると , 入射光 , 反射光 , 透過光の磁気べクトルとの間に , の関係がある . したがって , 盻 , 塒 , Eq をそれぞれ入射光 , 反射光 , 透過光の電気 ″ 2 応レ ″スレ ーーを : 入射光 , Hp= 1 1 kp ・ Ep : 反射光 , Hq 1 —kq ・ Eq : 透過光 の関係がある . したがって , 本文 ( 5.9 ) 式 は , V. 3 となり , ″ cos 住ー〃 1 1 々・ cos 住ー さらに kq ・ Eq cos kp•Ep C()S 住 = 1 pCOS a=HqC()S ね・ cosa ーん p ・ Epcos 住 = ん q ・ Eqcos ( 5.25 ) ( 5.26 ) ( 5.27 ) と書くことができる . 同様の手続きにより , ( 5.12 ) 式から ( 5.13 ) 式を得る . 反射係数と反射率 率ルの関係は川 < 〃 2 で , 〃 = 〃 2 / 川は媒質 I に対する媒質Ⅱの比屈折率とする ( 図 を消去して反射係数を求める . 光学的に粗な媒質 I の屈折率川と密な媒質Ⅱの屈折 E 波の場合 ( 5.8 ) と ( 5.10 ) 式 , H 波の場合 ( 5.11 ) と ( 5.13 ) 式を用いて 5.2 参照 ) . まず , E 波の場合 十 Ep=Eq ん・ cos 住ーん p ・ Epcos 住 = ん q ・ Eqcos ( 5.8 ) 式にん qcos をかけて , この式から ( 5.10 ) 式を辺々引くと , ん q ・ cos 十ん q ・ Epcos = ん q ・ Eqcos ( 5.8 ) ( 5.10 ) が得られる . となる . ん = kp = 上式は , ん・ cos 日十ん q ・おßcos 日 = ん・ cos 住ーん p ・ Epcos 住 2 応 2 応 ( 応 , んは媒質 I および II 中の光波の波長 ) なので , 応 ん

57 4.5 単一スリットによる回折 回折光強度 : / 差 路 光 スリ . ッ , い 暗暗 スクリーン 3. 47 ル 2. 46 1.43 ル 3 2 ・ sinæえ 9 な 2 3 ー 1. 43 ル ー 2. 46 ル ー 3. 47 ル (a) b•sin91= え b•sin91 = 3 ル 2 図 4.7 単一スリットによる回折像 る . この両側に明暗の縞模様が現れる . 暗い縞 , すなわち強度が 0 になるのは , ( 4.8 ) 式からわかるように , = 士石士 2 石・・・を満たす〃の方向である . これを暗 線という . 明るさの極大 ( 明線 ) は , これらの暗線の間で起こる . 結果として , 図 4.7 に示すように , 回折像は中央の極大とその両側の明暗の縞模様となる * 1. 第 1 番目の暗線の現れる方向をもう少し詳しく検討してみよう . ( 4.8 ) 式で = 〃兀とおくと , 強度 / は 0 となる . すなわち , 最初の強度 / が 0 となるのは〃 = 1 1 の場合で , = 応を満たす方向仏である . の定義式日 = ー舳・ sin 砿に日 = 応の 2 条件を入れると , 研は , sin 研 = ス / わ と求められる * 2. 書き直すとわ sin 研 = スとなり , 図 4.7 に示すように , スリットの 料回折像の第 1 番目の暗線は図の P 点の辺りに現れるが , 図の都合上 , 明暗の縞の間隔を縮めて表 現してある . * 2 = ー舳・ sin 0 = わ・ sin = ーわ・ sin 広一方 , 日 = 応であるから , ーわ・ sin 日 = 応 Sin 〃 = ス / わ ( 4.9 ) 1 2 応

88 〃 ー・ S1n である . 5 章 加 = 平らな境界面での反射と屈折 〃 COS 住十〃 ー〃 COS 住十〃 2 ー S 住 ¯Sln となる . 反射係数 PE, 加をまとめると , COS 住ー COS 住十 PE= ー S ln ー〃 COS 住十〃ー S ln 住 〃 COS 住十〃ー S ln 住 加 = これらは本文中の ( 5.16 ) および ( 5.17 ) 式である . 反射率は入射波と反射波の強度比 ( 振幅比ではないことに注意 ) であり , ( 5.31) 式を用いて , = 履 2 = Ei E ( 5.29 ) , ( 5 . 31) ( 5.29 ) ( 5.31) ( 5.32 ) ( 5.33 ) と表される . これらは本文中の ( 5.18 ) および ( 5.19 ) 式である . V. 4 透過係数と透過率 を消去して透過係数を求められる . E 波の場合 , E 波の場合 ( 5.8 ) と ( 5.10 ) 式 , H 波の場合 ( 5.11 ) と ( 5.13 ) 式を用いて , 十 Ep=Eq Ep ( 5.8 ) ( 5.10 ) ん・ cos 住ーん p ・ Epcos 住 = ん q ・ Eqcos 尸 から Ep を消去する . ( 5.8 ) 式に cos 住をかけて , が得られる . ん p ・ cos 住十ん p ・ Epcos 住 = ん p ・ Eqcos 住 この式と ( 5.10 ) 式をたすと , ん・ cos 住十ん p ・ cos = ん q ・ Eqcos 十ん p ・ Eqcos 住 となる . となる . である . 2 2 応 を用いて , ん 2 応 2E に一 - cos = Eq ーーー cos 十一一 cos 住 さらに , ス 2 / 応 = であるから , 2Ecos a=Eq(cos 住十〃 cos 印 応 2 兀 2 応 2 1 1 ん = ん p = これから ,

65 4.10 種々の色の光に分割 合もそれと同様の取り扱いで干渉縞を議論できる . ( 4.4 ) 式から得られる強度分布は , Sin 2 Sin Sln / —khsinO, ß=—kbsin0 である . 日 = 0 の となる ( 付録Ⅳ . 4 参照 ) . とき / = / 0 とする . スリットの数が 5 本の場合の例を図 4.13 に示した . この場合 , 中央に 0 次の明線 があり , その両わきに小さい明線がいくつか ( スリットが 5 本の場合は 3 個 ) 現れ , それに続いて鋭い 1 次の明線が現れる . その外側には , 小さい明線と鋭い明線が繰り 返し現れる . 鋭い明線は 1 , 2 , 3 , ・・・次の主極大とよばれている . それらが現れるの ・・・ ) を満たすの主 = 士ーの方向である は , ( 4.17 ) 式で / = 〃兀 : ( 〃 = 1 , 2 , 3 , ( 付録Ⅳ . 5 参照 ). この場合の〃を回折の次数という . 図 4.13 では , 2 次まで表示し 7 2 応 3 応 : ( 襯 = 1 , 2 , 3 , てある . 各主極大の間の暗線は , / = (N—I)A ス 2 ス の方向に現れる料 ルー 1) を満たす s in 日暗戔日暗 = 士 ー Nh ' それらの間の小さい明線は 2 次極大とよばれ , 暗線のほば中間に現れる . それらの方 ( 2 襯十 1 ) 応 3 応 5 応 ・・ ) を満たすおおよその次 : ( 襯 = 1 , 2 , 3 , 向は / = 士 2 2 、 ' ー 2A い ( 2 川十 1 ) ス の方向である * 2 2 ん ー 2 履ー 2 ル履 スリットの数を増やすと , 図 4.14 ( b ) のように , 0 , 1 , 2 , 3 , ・・・次の主極大の幅 は狭くなり , 回折像は鋭くなる . ところで , このような回折格子は赤外線領域から紫外線領域の広い波長領域で , 任 意の波長を選びだすための分光素子として用いられる . 実際に可視光領域の分光に は , 数センチにわたって 1 mm に 1000 個くらい ( したがって , スリット幅は約 1 (m) の割合でスリットを開けた回折格子を用いるので , スリットの数は 105 ~ 6 個 の式で〃 = 1 , ス = 0.54m , ん = 1 m , = 106 とする になる . この場合 , 暗 = と , 〃暗 10 ー 6 [ ラジアン ] となる . すなわち , 中央の 0 次の明線のすぐ隣に現れる このことは 0 次の明線の幅がきわめて狭 暗線は明線の非常に近くにあることになる . 2 ( 4.17 ) 1 十 1 2 兀 1 2 応 また付録Ⅳ . 6 参照 . sin 日暗戔日暗 = sin 日 2 次戔日 2 次 = ん・ sin = ー〃 = 1 の場合・ 2 〃 = 1 の場合・ ー勀・ sin 日 = ー勀 sin 〃 = 3 ス 2A ん s in =

演習問題解答 無視レンズ a a 2 * * 1 * * レンズ a b 129 注 : 像から出た光のうち , レンズを通り結像に有効な光がどのくらいかで , レンズ の明るさが定義される . その量を F ナンバーという . F ナンバーの定義式はレンズ の口径 a と焦点距離 f を用いて F = f/a と表せる . [ 2 ] スラブ線路を用いて説明する . 下図 ( a ) はコア中を進む波長応の平面波光 A と B の進行方向を実線で , それらの等位相面を点線で示している . また 1 点鎖線 はコアの中心を示している . 図 ( b ) は光線 A, B の進行方向 OOA, 00 B に沿って の電場の振幅と位相を示している . 両光線の位相がこのようであれば , 図 ( a ) 中の 02 点では図 ( b ) にみられるように光 A の位相は応で B の位相も兀であるから , 両光線は同位相で , 干渉の結果 2 つの光は強めあう . P3 点では光 B の位相は 3 応 / 2 で光 A の位相は 2 で逆位相であり , 干渉の結果 2 つの光は弱めあう . Q3 点では逆 に光 B の位相は 7 / 2 で光 A の位相は 3 応 / 2 であり , 同じく干渉の結果弱めあう . 2 つの光の電場の振幅が等しければ 02 点では振幅は 2 倍に , P3 , Q3 点では 0 になる . この位相差の様子はコアの厚さ方向の位置が同じであればすべて同じである . たとえ ば , 中心線上の OO,O ぃ 02, ・・・では同位相 , コア・クラッド界面上の PO , P ぃ P2 ・・ Q5 0 Oo 2 01 Po PI を 01 ・イ 02 ーン : -03- 04 P2 P3 P4 P5 P6 02 P2 3 2 2 03 04 P3 P4 (a) 波長んのときの光 A , B の進行方向と等位相面 (b) 波長応のときの光波 A, B の振幅と位相

107 7.4 光ファイノヾー 同位相面 dsin0 光 率 . 率 率 れ折折 屈屈 屈 板 基 ス ッ ク 図 7 . 7 回折格子によるスラブ線路への光の導入 2 応 2 応 とする必要がある . で , それぞれプリズムとコア中での ~ 方向への伝搬定数である . この条件を , 位相整合 (phasematching) 条件という . 一方回折格子を用いる方法は , 図 7.7 に示すように , スラブ線路面上の一部に格子 定数の回折格子をつけ , そこに人射角日で光を入射させる . 各回折格子点は光を 散乱して線光源となり , その光はスラプ中へ導入される . 隣りあった格子点へ入射す 2 応 る光の位相は , 図 7.7 を参考にして , 一一 sin である . また , 散乱光がスラプ中 を隣の格子点にまで進むための位相の遅れは盪である . この両者の差が 2 応川なら ば , 隣りあった点で散乱される光の位相は同位相になり , スラプ中を伝搬する光の振 幅が強められる . すなわち , 2 兀 ノ s in 〃ー砒 = 2 襯 ( 〃 2 = 1 , 2 , 3 , の条件を満足するようにすればよい . この条件を満足する格子点が多数並んでいれ ば , 大きな結合効率が得られる . 7 . 4 光ファイバー 5.4 節で述べたように , 光ファイバーは一般的には屈折率の高い円筒形のコアを , 屈折率の低いクラッド , すなわち被服部で囲んだものである . 図 7.8 に示すような半径方向に屈折率分布をもったものがよく用いられている . 図 ( a ) で示したものは , 屈折率にステップがあるので , ステップインデックス型とよ