94 6 章光のエネルギー , モーメント , モードおよび強度計測 に重要である . また , 定在波はたがいに逆に進行する振動数 ( または波長 ) と振幅の等 しい波でつくられるのだから , 存在可能なモード数は進行波のモード数の半分である . 普通 , 光の存在する空間は光の波長 ( 数百 (m) に比べてはるかに大きいと考えら れる . そこで , んん L 》スとして , その空間中に存在する光のモード密度を求め る . すなわち , んェ , ん , ん ~ 》スなので , んを準連続な量として扱うことができる . い ま , ん空間を考え , 半径んとん十」んとの間の球殻中の体積を求めると , 4 2d んで 4 兀ん 2d ん x 2 である . 2 倍したのは , 光が あるから , この球殼中のモード数は ( 2 兀 ) 3 んェんん z 横波であるから , その偏光の自由度 2 をかけた . いま , んに対するモード密度を 体 = ー一一プの関係になる . よって , 角振動数に対するモード密度の とすれば , んェんん ~ 兀 2 んェん y ん ~ 2C0 6.3 光の検出 光を定量的に計測するためには , 光のエネルギーをほかの形のエネルギー , たとえ ば熱エネルギーや電気量などに変換する必要がある . その方法として , 光のエネルギ ー密度を測定するには , 気体や液体を用いる場合もあるが , 特別な場合を除き一般的 には固体が用いられる . すなわち , 固体中の電子またはイオン双極子が光の電場と相 互作用し , 光のエネルギーを吸収する . そのとき , 電子が励起状態になったり , イオ ン双極子の振動状態が変化する現象を利用する . 固体中のイオンの振動エネルギーは 低く , 赤外光のエネルギーと同程度なので , 可視光の計測には適さない . 可視光の計 焦電効果利用 ( 接合型もあり ) 無接合型 光音響効果利用 気体の熱膨張利用 ( ゴレーセルなど ) 熱電堆 ( 熱起電力利用 ) 熱電対 ( 熱起電力利用 ) 光電子放出 ( 外部光電効果 ) 利用 ( 光電管 , 光電子増倍管など ) 無接合型 光電子伝導 ( 内部光電効果 ) 利用 ダイオード型 ()n 接合 , ms 接合など ) 接合型 - 光起電力効果利用工 トランジスター型 (pnp 接合 , npn 接合 , mis 接合など ) 光子計数法 ( 光量が小で光子数の数えられるとき ) 図 6.2 定量的光検出器の分類 2 は 光一熱変換素子 接合型 子 素 変 気 電 光 定量的光検出器
演習問題 4 章 123 [ 1 ] 直径が 10cm , 830Cm の円形反射鏡をもっ望遠鏡の理論的分解能を視角で表 し , 比較せよ . 用いる光の波長は 0.5 gm とする . [ 2 ] 波長 10cm の電波を用いた直径 100m の円形電波望遠鏡と , 波長 0.6 〃 m の光 を用いた直径 5m の円形反射望遠鏡では , どちらが星の位置を正確に決められるか . それぞれの視角で表した理論的分解能を用いて比較せよ . [ 3 ] 幅わの単一スリットがある . そのスリットに波長スの平行光線を入射させた ところ , スリット後方の距離にあるスクリーン上に回折像が観測された . スクリ ーン中央の明るい像の両側の暗線の間隔を求めよ . ただし , 回折角は小さく , 近似が なりたつものとする . [ 4 ] 幅 10 cm の光学平面の全面にわたって , 1 mm につき 1200 本の線をひいた平 面回折格子がある . その回折格子の 2 次回折光を用いたときの分解能はいくらか . ま た , 波長 500 nm の光を用いたとき , 分解できる最小波長幅はいくらか . [ 5 ] 1 mm あたり 500 本のスリットをもつ回折格子がある . 波長 600 nm の光の単色 光を入射させた場合 , 1 次回折光の進む方向を求めよ . 5 章 [ 1 ] 反射係数と反射率の相違を述べよ . [ 2 ] 太陽電池では , 太陽光の反射をできるだけ小さくしたい . 屈折率 3.5 のシリコ ンの表面に屈折率 1 .45 の酸化シリコンを被膜して , 空気中の波長 600 nm の光の反 射をなくしたい . 被覆膜の厚さはいくらにすればよいか . 空気の屈折率を 1 とする . [ 3 ] 水 ( 屈折率 1 . 33 ) の中の魚からは , その目を頂点とする逆の円すい内にある 水面上のものしか見えない . 円すいの頂角はいくらか . [ 4 ] 屈折率が 1.38 の MgF2 の表面に垂直に光が入射している . この表面での反射 率はいくらか . [ 5 ] p. 84 の図 5.8 のような , 端面がファイバーの軸に直角な光ファイバーに光を 入射させ , コア内での全反射で光を送りたい . コアの中心線 ( 軸 ) に対して何度以下 の角度で光を入射させればよいか . コアとクラッドの屈折率をそれぞれ〃 2 , 〃 1 とする . 6 章 [ 1 ] 特殊相対論の結果を用いて , 波動としてのエネルギーの流れを示すポインティ ングべクトル S と , 光子としての運動量との間の関係を求めよ . [ 2 ] TEM 波 , すなわち電界と磁界が波の進行方向と直交している平面波の , ポイ ンティングべクトル S を求めよ . [ 3 ] 内部光電効果と外部光電効果の差を説明せよ .
付 録 2 COS 住 . Ei E C()S 住十〃 COS さらに , 〃 = S1n 住 を用いて , が得られる . が得られる . となる . 2 COS 住 S 1 n 住 Sin CIE = 2Sin ßCOS 住 sin(a + 印 さらに COS 住十 Sin ( 5.35 ) 式から入射角住のみの関数として , COS 2 COS QE = 2 COS 住 H 波に対しては , から Ep を消去して , COS 住十〃 COS COS 住十〃 2 ー SIII 同様にして , EiCOS 住十 Epcos a=Eqcos ん・ーん・ Ep = kq ・ Eq が得られる . n=sina/sinßを用いて , 2 COS 住 C/H = S ln 住 2 COS 住 ncos 住十 COS 2 COS asin 扈 Sin acos 住十 Sin ßCOS となる . さらに COS 住十 COS Sin 日 ( 5.38 ) 式から人射角のみの関数として , QH = 〃 COS 住十〃ー•SIII 2 〃 COS 住 89 ( 5 . 34 ) ( 5.39 ) ( 5.38 ) ( 5 .37 ) ( 5 . 13 ) ( 5.11) ( 5.36 ) ( 5 . 35 ) が得られる . である . 日 = 〃 COS 十〃 2 - sm 2 〃 COS COS 住十 n2—sin 住 2 COS 住 QE = 透過係数 , をまとめると , こで , ( 5.29 ' ) 式から得られる cos = ー 〃ー S ln 住 を用いた . ( 5 . 36 ) ( 5 . 39 ) ( 5.36 ) , ・透過率は入射波と反射波の強度比 ( 振幅比ではないことに注意 ) であり , ( 5.39 ) 式を用いて ,
68 4 章光の回り込み のものと , 回折格子の溝以外の部分で反射された光を用いる反射型のものがある . 前 者は波長が数百 m 以上の遠赤外光の分光に有利であり , その回折光は図 4.13 ~ 4.15 に示したようなものである . 後者は , 波長約 150nm の真空紫外光から 可視光および数十 m の赤外光に用いられる . こでは後者の反射型のものについ て述べる . 実際の反射型の回折格子は , 図 4.13 の溝でない部分に相当するものとして , 図 4.16 ( a ) に示すような反射面からの光の反射を用いる . きわめて平らに表面を研磨 したアルミニウム合金の板に , 図 4.16 ( b ) のようなのこぎりの歯形の断面の溝を約 1 m 間隔で長さ数 cm, 幅数 cm にわたってひいて反射面をつくる . したがって , 数 一口田 (a) 反射面 長さ数 cm lmm に約 1000 個の溝 ( スリット ) 白色光 白色光 ① ② ③ 約 1 m 球面の一部 図 4.16 分光用回折格子
88 〃 ー・ S1n である . 5 章 加 = 平らな境界面での反射と屈折 〃 COS 住十〃 ー〃 COS 住十〃 2 ー S 住 ¯Sln となる . 反射係数 PE, 加をまとめると , COS 住ー COS 住十 PE= ー S ln ー〃 COS 住十〃ー S ln 住 〃 COS 住十〃ー S ln 住 加 = これらは本文中の ( 5.16 ) および ( 5.17 ) 式である . 反射率は入射波と反射波の強度比 ( 振幅比ではないことに注意 ) であり , ( 5.31) 式を用いて , = 履 2 = Ei E ( 5.29 ) , ( 5 . 31) ( 5.29 ) ( 5.31) ( 5.32 ) ( 5.33 ) と表される . これらは本文中の ( 5.18 ) および ( 5.19 ) 式である . V. 4 透過係数と透過率 を消去して透過係数を求められる . E 波の場合 , E 波の場合 ( 5.8 ) と ( 5.10 ) 式 , H 波の場合 ( 5.11 ) と ( 5.13 ) 式を用いて , 十 Ep=Eq Ep ( 5.8 ) ( 5.10 ) ん・ cos 住ーん p ・ Epcos 住 = ん q ・ Eqcos 尸 から Ep を消去する . ( 5.8 ) 式に cos 住をかけて , が得られる . ん p ・ cos 住十ん p ・ Epcos 住 = ん p ・ Eqcos 住 この式と ( 5.10 ) 式をたすと , ん・ cos 住十ん p ・ cos = ん q ・ Eqcos 十ん p ・ Eqcos 住 となる . となる . である . 2 2 応 を用いて , ん 2 応 2E に一 - cos = Eq ーーー cos 十一一 cos 住 さらに , ス 2 / 応 = であるから , 2Ecos a=Eq(cos 住十〃 cos 印 応 2 兀 2 応 2 1 1 ん = ん p = これから ,
66 4 章 光の回り込み 0 次 場折 の回 5 の 回折光強度ー sin 1 次 3 , 2 次 5 次 4 次 ー 5 ルー 4 ル ール 0 ー 3 ルー 2 ル ール 2 次 3 次 4 次 5 次 の回 の 回折光強度ー 2 sin 18 / 0 次 5 次 4 次 3 次 2 次 ー 5 ルー 4 ー 3 ル ー 2 ルール 0 ール 2 次 4 次 5 次 2 ル 3 ル 4 ル 5 ル《ー / 図 4.14 スリット数ル = 5 , ル = 18 の回折格子による回折像 く , 鋭いことを意味する . このような場合 , 〃次の明線の幅もきわめて狭い . 後述す るように , この幅は , 波長差がきわめて少ない 2 つの光を分光する能力 ( 分解能 ) と 密接な関係がある . 分光用の回折格子 プリズムや回折格子を用いて白色光や種々の波長を含む光から任意の波長の光を選 びだすことを , 分光という . そのような分光に用いられる回折格子について述べる . 実際に用いられる分光用の回折格子では , スリット数は 10 ← 6 個である . そのよ うなスリット数による回折像は図 4.15 のように , きわめて鋭いものである . もし , 回折格子に人射する光の波長が応とすると , その光の 1 次回折光は / = 応を満たす 研主 ( ス 1 ) = の方向に現れるはずである . また , 同時に少し波長の長いス 2 の光を入 ん
124 7 章 [ 2 ] c = んの関係から , ス = をレに数値を代人して , 演習問題解答 [ 1 ] 光速度 c , 波長ス , 振動数レの間には。 = スレの関係があるから , 題意の数値 2 章 や , 光を遮る物体の大きさが大きい場合には , 幾何学的に扱える . [ 2 ] 扱う光の波長や光束の太さに比べて , 光が進行する媒質や , 媒質間の境界面 の光速 ) [ 1 ] 応 = 650nm では〃 = 1.132 , ん = 550nm では〃 = 1.142 ( 0 = co / 〃 , c は物質中 演習問題解答 [ 1 ] レーザー発振は短波長ほど困難である . その理由を説明せよ . 8 章 はいくらか . [ 4 ] Ge の屈折率は , 赤外光領域では 4.0 である . この光に対するプルースター角 きいか 径で曲げた . 1 が & より大きいとして , 光の損失はどちらの光ファイバーが大 [ 3 ] 2 本の光ファイバーのうち , 1 本は曲率半径んで曲げ , ほかの 1 本は曲率半 波数があることを , 平面波の干渉を用いて概念的に示せ . [ 2 ] 光ファイバー中を進む光の周波数には , ファイバーの太さによりカットオフ周 〇〇〇〇〇 〇〇〇〇〇 〇〇〇〇〇 〇〇〇〇〇 〇〇〇〇〇 イクロレンズの占める面積はパネル面積の 3 / 4 とする . また , 反射損失は無視する . 明るさを 1 としたとき , 各像の明るさはどのくらいになるか . ただし , パネル内でマ ルを用いて下のような矢印の像を作ったとき , 像はいくつできるか . またもとの像の [ 1 ] 図のように , 縦横 5 個ずつ配列されたマイクロレンズバネルがある . このパネ 3 . 0 X 108 を用いて , レ = 0 . 6 X 10 ー 6 104 [cm-l] である . 1 = 5X1014 [ s ー 1 ] である . また , ん = スー 0 . 6 x 10--6 1 1 .67 X
12 2 章光の伝わり方 が得られる *. すなわち , 媒質中の光速は真空中の光速 co の 1 / 〃になることがわか る . たとえば , 水中やガラス中では , 可視光の光速はそれぞれ真空中の光速の約 1 / 1.33 や 1 / 1.5 になる . こで注意すべきは , として静電場の比誘電率を用いる ことはできないことである . なぜなら , 光の電場は静電場とは異なり非常に速い振動 数で振動していて , そのような速く振動する電場に対する比誘電率は , 静電場のそれ とは異なるからである . 可視光領域では , 光の振動数が高くなると屈折率が大きくな るので , 光の振動数の高い青や紫の光の光速は , 振動数の低い赤の光の光速よりわず かに遅くなる . 光速 c は , 次項で紹介する光波の波長スと振動数レを用いて c = スレと書くことが こで , スは媒質中の光の波長である . 真空中での光速 co は , 真空中の光 できる . の波長ス 0 を用いて , co = ス 0 レと表される . 光波の振動数レは真空中でも媒質中でも 変化しない . 2.1.2 光の波の形を数式で表示 媒質中を伝わる光の電場および磁場を表す数式は , それを波動方程式 ( 2.5 ) およ び ( 2.6 ) に入れた場合 , それぞれの式の両辺が等しくならなければならない . その ような数式 ( 関数 ) として , 余弦関数 E = Eo cos ( ん・ r - (t) , 〃 = 〃 0 cos ( ん・ r— wt) ( 2 . 9 ) が適切な関数の 1 つである . このような関数は , 図 2.1 に示すように , E や〃の大 きさが時間や場所とともに変化しながら , んの方向 ( 図 2.1 ではェ方向 ) へ進む波 * 屈折率〃と比誘電率は , 図 2.1 電磁波としての光波の進み方 〃 = 言の関係があることがわかる .
に , E 波に対しては , 電場 磁場 上式から , 電場 磁場 上式から , 80 Ei E 5 章平らな境界面での反射と屈折 件を満たさなければならない . これを適用すると , 図 5.3 および 5.4 からわかるよう さて , 前節で述べたように , 境界面では電場と磁場の接線成分が連続という境界条 Ei 十 Ep=Eq Hcos a—Hpcos 住 = 〃åcos ね・ cos ーん p ・ Epcos 住 = ん q ・ Eqcos の関係があるはずで ( 付録 V. 2 参照 ) , 一方 , H 波に対しては , Ei cos 住十 Epcos a=Eq cos ね・ーん p ・ Ep = ん q ・お q ( 5.11) ( 5.12 ) ( 5.13 ) ( 5.8 ) ( 5.9 ) ( 5.10 ) の関係がある . 以下 , 境界面での光波の反射および透過を考えるが , 簡単にするた いて , E 波に対する反射係数カ E と透過係数 , H 波に対する反射係数加と透過係 入射光の電場 E に対する反射光の電場あるいは透過光の電場の振幅比を用 め , 各べクトルの絶対値を用いることにする . 数を次のように定義する . 反射係数 透過係数 反射光の反射係数と反射率 であることがわかる ( 付録 V. 3 参照 ). 〃 COS 住十 n2¯sin 住 加 = ー〃 COS 住十〃 2 ー・ S1n 住 COS 住十〃 2 ー・ S1n 住 PE = COS 住ーーー SIII 住 の関数として整えると , E 波と H 波の反射係数として , こで , ( 5.8 ) と ( 5.10 ) 式 , ( 5.11 ) と ( 5.13 ) 式を用い , さらに入射角住だけ ( 5.14 ) ( 5.15 ) 反射率は入射波と反射波の強度比 ( 振幅比ではないことに注意 ) であり , ( 5.17 ) 式を用いて , = 聞 2 = = 履 2 = ( 5.16 ) , ( 5.16 ) ( 5.17 ) ( 5.18 ) ( 5.19 )
106 7 章マイクロ光学素子 ( 7.16 ) / ノ = ーて cot て ( ての 2 + けの 2 = い ( 7.17 ) となる . その様子を図 7.5 ( b ) に示す . この図にみられるように , 偶数モードでは , コア・クラッド境界面で , 磁場のク成分である既がほば 0 になるのにして , 奇数モ ードはコア・クラッド境界面で私が最大 , すなわち電場の 2 成分がほば 0 である . 図 7.5 からわかるように , レ < の条件が成立していると , 偶数 TMO モード 1 つだけが伝搬可能である . このモードはより若干小さいので , て = - 6 とお 2 くことができ , コア中のは図 7.5 ( a ) のなかに挿入されているような強度分布を もち , ( 7.18 ) 〃 = cos と書くことができる . = 0 , すなわちレ = 1 / 2 以外では , 既は境界面で完全には 0 にはならず , クラッド中へしみだし , 振幅は ( 7.8 b) , ( 7.10 b) 式で示すように指 数関数的に減少する . / = 0 のときには , クラッド全体に光が充満する . すなわち , 光が全部コアから漏れだしてしまう . このてのところをカットオフ (cut off) と よぶ . このことから , 適当な周波数をもった光を導入すれば , 1 つのモードのみにェ ネルギーを集中させて光を伝搬することが可能であることがわかる . 光通信では , を小さくして , 偶数 TMO モードのみを搬送可能にすることがよく用いられる . スラブ線路に光を導入するには , 線路の端面から , コア・クラッド境界面の反射角 が全反射角以上になるような角度で人射させる直接的方法がある . そのほかに , プリ ズムや回折格子を用いる方法がよく用いられる . プリズム法は図 7.6 に示すように , コア面中とスラプ中の 2 方向の伝搬定数んを等しく , 応 / 2 ー ( 7.19 ) 出力プリズム 屈折率 : 入力プリズム 屈折率 : クラッド板 れ 2 くーく 7 光 屈折率 : れ 2 驃屈折率 : 第 3 、 , 屈折率 : れ 2 クラッド板 ( 基板 ) 図 7.6 スラブ線路への光の導人