蒸着型 拡散型 薄膜レンズ型 7.2 光導波路中の光のモード 結合型 埋め込み型 リッジ型 図 7.2 マクロ導波路の例 101 蒸着型 , リッジ型 , 拡散型 , 埋め込み型などいろいろな名前でよばれている . このほ かにも , 導波路の横方向や縦方向に屈折率分布をもたせた集光型 , 導波路の中心のみ 光を通す低損失型など , 多くの種類が考案されている . 導波路は自由に立体的に配置 できるので , 光集積回路をつくるのに都合がよい . 次節では , これらの基本となって いるスラブ線路について若干取り扱う . 5 章では , 導波路の太さは光の波長に比べて太い場合を考え , 光が境界面など壁に あたったとき , 幾何光学の反射 ( 全反射 ) 法則を適用して説明した . しかし , 光導波 路の太さが細くなると , マイクロ波の導波管と同じように , あるモードの光しか透過 しない性質を示すようになる . 詳細は省略するが , 一般に , 制限された空間を進む電 磁波 ( 光 ) の状態を求めるには , 2.1 節で示した自由空間のマクスウェルの方程式を 各空間で解き , その一般解を求める . それらのうち , 伝搬空間の境界面で , 境界面の 形で決まる電場 , 磁場に対する境界条件を満足する解を取り出す作業を行う必要があ る . その結果 , 制限された空間を進行する電磁波 ( 光 ) は , 次のような 4 種類のモー ドのものに分類できる ( 図 7.3 ) . 1 ) TEM モード (transverse electromagnetic wave mode) この波は名前のとおり , 電場 , 磁場両方とも , 波の進行方向に対して垂直な面内 のみにその成分を有する . 境界のない自由空間を伝搬する電磁波や , 同軸ケープ ル中を伝搬するマイクロ波はこの波である . 2 ) TE モード (transverse electric wave mode) 伝搬方向に電場 (E) 成分をもたない波 . すなわち , 電場は進行方向に垂直な成 分のみを有する波である .

要がある . 要素波のモードは波の存在している空間の境界条件で定まる . 要素波に は , 時間とともに波が空間的に移動する進行波と , 波が空間的に止まっている定在波 とがある . 定在波は , 振動数と振幅が等しく , たがいに逆方向に進む進行波の重ね合 わせで合成される . 一例として , 図 6.1 のような辺の長さがし , 乙 , 乙の立方体中に電波が閉じ込め られた場合を考える . この立方体中に存在しうる正弦波 E ( r ) = EO い々ー研 + のは , 空間べクトル r に対して次の周期的繰り返し条件を満たすことが境界条件となる . よって , 波数定数んェ , , んの満たすべき条件は , 6 . 2 モ ド 93 E(r 十んの=E(r)にれい=E(r) したがって , が必要条件となる . 2 んェ となる . すなわち , / ( たの / ( 々ノ . い 2 応 2 応 〃も〃ェ , 〃 , 〃 ~ = 0 , 土 1 土 2 土 3 ( 6 . 7 ) ( 6 . 8 ) ( 6.9 ) ( 6.10 ) ( 6. II) 波数定数 , , んは離散的な値しかとりえないことになり , 立方体中に存在しうる要素波のモードは離散的である . 々 = は・ん滝 = 2 兀 / スであるか ら , 立方体中に存在可能な要素波の波長が離散的であることがわかる . 上に述べたこ とからわかるように , 立方体中に存在する一般波はこれらの要素波の合成として表す ことができるので , 普通これらの要素波を基準波 ( 基準モード波 ) とよぶ . いまは電 波を考えたが , 電磁波は 1 対 1 に対応した同じをもつ電波と磁波から成立してい るのだから , 磁場についても当然同様のことがなりたっ . 閉じた空間では , 境界条件 によって離散的モードのみが存在することは , レーザー光の発生を考えるうえで非常 図 6.1 電波を閉じ込めた立方体

1 章 はじめに 光に関する参考書をみると , 幾何光学 , 波動光学 , 量子光学に大別されているよう である . 本書では , このうち波動光学を主体とした記述をしているが , 全体像の理解 に役立てるため , まずそれらの間の関係を概観する . 1 . 1 光を光線として取り扱う幾何光学 宇宙飛行士の語るところによれば , 宇宙は暗黒で , そのなかに地球が青白く浮かん でいるという . 宇宙には光を遮るものが何もないのだから , 太陽からの光が満ち満ち ているはずである . それなのに暗黒なのはなぜだろう . それは光が見え , 明るく感じ るためには , 光が目に到達する必要があることによる . したがって , 宇宙が暗黒なの は光を遮るものがなく , 光が直進していて目に入らないためであると考えられる . す なわち , 光が目に見え , 明るさを感じるためには , 光が物体にあたって散乱された り , その進行方向が変えられて , 目に到達する必要がある . たとえば , 戸のすきまか ら光が入ってくるところに線香を立てれば , 光の道筋が見える . それは , 光が煙の粒 子によって散乱され , 目に入ってくるからである . そのとき見える光の道筋は直線で ある . これらのことからわかるように , 光にとって一様な媒質中では光は直進する . 一様な媒質とは , 光が進む速さが一定の空間または物質である *. 図 1.1 のように , 4 方向に広がりをもつ光束が , 4 方向に速さの分布をもつ空間を ェ方向に進むと , その進行方向は曲がってくることは明らかである . 日常生活でも , しんきろう 光の道筋が曲がることは観測される . たとえば , 富山湾魚津の浜で見られる蜃気楼 や , 夏の日ざしの強い日にアスファルトの道路上に見られる逃げ水の現象がある . 蜃 気楼とは , 海上にあるはずのない都市が見えるという幻想的な現象であり , 逃げ水と は , 道路上に水たまりが見え , それに近づくにつれ , 水たまりが逃げていく現象であ る . これらは光が直進するとしたら説明できない . 空気は温度によってその密度が変 わる . もし空間の一部分が暖められれば , 空間に密度分布ができる . 光の速さが密度 * 2.1 節で述べるように , 屈折率が一定の空間 .

102 TEM モード 7 章マイクロ光学素子 TE モード 図 7 . 3 電磁波のモード ( 進行方向〃 TM モード 3 ) TM モード (transverse magnetic wave mode) 中を進む光を例にして , 制限された空間を進む光のモードについて説明する . 折率 ( 〃 2 ) の小さい平板透明板 ( クラッド ) で挟んだ , いわゆるスラブ (slab) 線路 はじめに , 図 7.4 に示すように , 屈折率 ( 川 ) の大きい平板透明板 ( コア ) を屈 7.3 スラブ線路 ッドモード波になっている場合が多い . 存在することが多いが , 円筒形のファイバー中では境界面が円筒面のため , ハイプリ 次節で述べるスラブ線路では , 境界が平面なので , TE ・ TM モードでの波のみが 分をもつ . 名前のとおり TE 波と TM 波の混ざった中間の波で , 電場も磁場も進行方向の成 4 ) ハイプリッドモード (hybrid wave mode) 成分のみを有する波である . 伝搬方向に磁場 ( 〃 ) 成分をもたない波 . すなわち , 磁場は進行方向に垂直な 真空中を 2 方向に進む波の波動方程式は , 2.1 節で示したように である * 「 2E 十の 2 ″ oEoE = 0 「 2 〃十の 2 〃 = 0 〃 = 〃 ( 々。←研 ) である . いま , コア中の〃 ~ = 0 ( 7.1 ) 1 ö2E 0 第戸 ーの / の EO. Eo に ' は or ーむ雇 ) ーの / の Eo お 「 2E 十の 2 EoE = 0 , 「 2 〃十の 2 Eo 〃 = 0

2 章 光の伝わり方 2.1 透明で均質な物質の中での光の伝わり方 地球から 10 億光年 , 100 億光年離れた銀河や恒星 , あるいは近くではわれわれの 太陽からの光 , さらにもっと身近では懐中電灯や蛍光灯からの光は , どのような形で 空間を伝わってわれわれの目に認識されるのか . また最近では , 7.4 節で述べる光フ ァイバーを使って , 国内の都市間はいうに及ばず , 太平洋や大西洋を越えての国際電 話や通信が盛んに行われている . その光ファイバーは石英 ( 水晶 ) のきわめて細い線 でできていて , その中をレーザー光が伝わっていろいろな信号が送られているのであ るが , 石英のような物質中では光はどのように伝わるのか . 19 世紀後半までは , 光 を伝える特別な物質 ( ェーテル ) が真空や物質を含めた全宇宙に充満していて , それ が光を伝えると考えられていたが , 現在ではその考えは否定されている . 実は , 電磁 波である光が恒星 , 蛍光灯やレーザーなどの光源から , 目 , 光電管などの光検出器ま で到達するには , 恒星と地球間のように何もない ( 実際には , ほとんどないというほ うが正しい ) 真空 * 1 であっても , 水 , ガラスといった物質中であってもさしつかえ ないのである . 電磁波である光は何の介在物 ( ェーテルのような ) がなくても , 真 空 , 水やガラスといった空間を伝わることができる . ただ , 光の通り道にあるそれら の物質と相互作用をするので , 光の通り道によってその伝わり方が異なる現象が現れ る . この章では , そのような光の伝わり方について述べる . 真空以外の媒質 * 2 中では , 光の進む方向によって屈折率 , いいかえると光の速度 が異なったり , 偏光面 ( 2.1.2 項参照 ) が変化したりする場合があるが , こでは , 水やガラスのように光に対する性質が光の進む方向に関係なく一定である , いわゆる 等方的で均質な媒質中での光の伝わり方について考える . また , 媒質中での光の吸収 料恒星間のような真空と思われている空間には , 原子や電子のような素粒子の数はきわめて少ない が , 電磁波が充満していると考えられている . * 2 光が伝わる空間を媒質とよぶ .

36 3 章光の波の重ね合わせ / ( のまたは ) ェまたは t または % 時間 % の間 , 主として振動数で振動している波束 図 3.1 光子としての波束 う . したがって , 2 波が可干渉であるためには , この程度の同時・同場所性が求めら れる . ちなみに , 以上のような光波を模式的に表現すると , 図 3.1 に示すようなもの であろうと考えられる . 中央部分は , いままで考えてきた余弦波の形をした電磁波と してよい . この部分の長さを可干渉長といい , 可視光の場合約 1 ~ 3m ということで ある *. その両端は徐々に振幅が小さくなり , 振動数も中央部とは異なる種々の振動 数の波の合成と考えてよい . このような波はもちろん波の性質を備えているが , ひと かたまりの波とみると粒子と考えてもよい . このような光波を光子とよぶ . 以上のように , 光子の中央部は単一の振動数の 0 の波とみてよいが , 両端では振動 数も振幅も複雑に変化している . すなわち , この波の振動数は , の 0 を中心として , 有限の広がり ( 線幅 ) 」のをもっていると考えてよい . その振動数の分布を調べてみ る . このような波の振幅 / ( t) の時間的変化は , 振動数のの関数として , 1 2 応ー ( 3.1 ) と表すことができる . / ( t) と関数 0 ( の ) の間にはフーリエ (Fourier) 変換の関係 ( 3.2 ) がある . することができる . この時間 / 0 を可干渉時間という . いま考えている波束の振幅は , 振動数の 0 でかっ同じ偏光面をもつほかの波束がこの点にやってくると , 両者は干渉 の波束は , この時間の間に空間のある点を通過する . 前述したように , この時間内に 図 3.1 に示すように , / ( t) は主として時間 / 0 の間の 0 で振動しているとする . f(t) っ 0 2 2 その他の区間ではほば 0 になる ( 3.3 ) ・エ方向に進む光波をある時刻に瞬間的に観測できたとすると , 横軸のェ点での電場の振幅は縦軸 の / ( ェ ) で表される . 一方 , あるェ点での電場の時間的変化を見ていると , 図 3.1 の / ( t) のよう に変化する .

94 6 章光のエネルギー , モーメント , モードおよび強度計測 に重要である . また , 定在波はたがいに逆に進行する振動数 ( または波長 ) と振幅の等 しい波でつくられるのだから , 存在可能なモード数は進行波のモード数の半分である . 普通 , 光の存在する空間は光の波長 ( 数百 (m) に比べてはるかに大きいと考えら れる . そこで , んん L 》スとして , その空間中に存在する光のモード密度を求め る . すなわち , んェ , ん , ん ~ 》スなので , んを準連続な量として扱うことができる . い ま , ん空間を考え , 半径んとん十」んとの間の球殻中の体積を求めると , 4 2d んで 4 兀ん 2d ん x 2 である . 2 倍したのは , 光が あるから , この球殼中のモード数は ( 2 兀 ) 3 んェんん z 横波であるから , その偏光の自由度 2 をかけた . いま , んに対するモード密度を 体 = ー一一プの関係になる . よって , 角振動数に対するモード密度の とすれば , んェんん ~ 兀 2 んェん y ん ~ 2C0 6.3 光の検出 光を定量的に計測するためには , 光のエネルギーをほかの形のエネルギー , たとえ ば熱エネルギーや電気量などに変換する必要がある . その方法として , 光のエネルギ ー密度を測定するには , 気体や液体を用いる場合もあるが , 特別な場合を除き一般的 には固体が用いられる . すなわち , 固体中の電子またはイオン双極子が光の電場と相 互作用し , 光のエネルギーを吸収する . そのとき , 電子が励起状態になったり , イオ ン双極子の振動状態が変化する現象を利用する . 固体中のイオンの振動エネルギーは 低く , 赤外光のエネルギーと同程度なので , 可視光の計測には適さない . 可視光の計 焦電効果利用 ( 接合型もあり ) 無接合型 光音響効果利用 気体の熱膨張利用 ( ゴレーセルなど ) 熱電堆 ( 熱起電力利用 ) 熱電対 ( 熱起電力利用 ) 光電子放出 ( 外部光電効果 ) 利用 ( 光電管 , 光電子増倍管など ) 無接合型 光電子伝導 ( 内部光電効果 ) 利用 ダイオード型 ()n 接合 , ms 接合など ) 接合型 - 光起電力効果利用工 トランジスター型 (pnp 接合 , npn 接合 , mis 接合など ) 光子計数法 ( 光量が小で光子数の数えられるとき ) 図 6.2 定量的光検出器の分類 2 は 光一熱変換素子 接合型 子 素 変 気 電 光 定量的光検出器

1 . 4 量子光学 7 の波が同時刻に同じ場所に来ると , その場所の波の振幅は 2 つの波の振幅を位相を考 慮してたし算したものになるという規則が成立する ( 3 章参照 ). もし , 2 つの波が同 じ振動数でかっ連続して続いているならば , それぞれの波の位相も当然連続して変化 するから , 2 つの波の相対的位相差は一定である . したがって , 合成された波は一定 の初期位相をもった連続した波となる . この現象を干渉という * 1 レーザー光は , 8 章で述べるように , ある光に同期させた形で誘発させた光なの で , 単色性 ( 波長の一定性 ) がよい . また , レーザー光は時間的にも空間的にも長い 一連の波で , かっ位相は連続しているので , 干渉できる時間が長く続き , かっ干渉で きる場所も広い . 波動光学で , レンズによる結像作用や光コンピューティング作用に フーリエ変換・たたみこみによる空間周波数フィルタリング技術をよく用いるが , の方法はレーザー光を扱うときにより有効である . このような解析手段による光学を フーリエ光学とよぶこともある . 一方 , 普通光はランダムに起こる個々の発光の集合なので , 単色性が悪く若干波長 の異なった多くの光を含んでいる . すなわち , 普通光の場合 , 単色光といっても有限 の波長幅をもっている . したがって , ひと続きの波の継続時間が短く , 通常それは約 3 x 10 ー 9 s であり , 一連の光波の長さとしては約 1 m である . そのため , 一定の干渉 効果の継続時間は約 3X10 ー 9s と短く , 通常の観測方法では異なった光源から来る 2 つの波の干渉効果は観測できない . 通常 , 普通光の干渉を観測するには , 3 章で述べ るように , 1 つの波を 2 つに分け * 2 , それらの 2 つの光を干渉させる方法をとらなけ ればならない . すなわち , 1 つの波を分割すれば , もとの波の位相が変わっても , 分 割された 2 つの波の相対位相差は一定なので , 干渉効果としては一定のものが得ら れ , 観測可能となる . 最後に , この本ではほとんど扱わないが , 通常光学 ( 幾何光学および波動光学 ) と 量子光学 ( レーザー光学 ) との相関についてひと言ふれておく . 扱う物質や空間が小 さくなり , 極微の世界に入ってくると , 物質や現象は量子として扱うべきであること はよく知られている . 光も例外ではなく , 粒子性と波動性を有する光子 (photon) として取り扱われる . この光子は質量をもたない . 光が光子として扱われるとき , 振 動数レの光波はエネルギール , 運動量ルな = ん / スの粒子 ( 光子 ) である . んはプランク (Planck) 定数とよばれる作用量子量で , ん = 6.63X10 ー 27 [ erg ・ s ] であ る . 光をこのように扱うと , 振動数レの光波の強度とは , ルのエネルギーの光子が単 料振動数が等しくなくとも干渉は起こる . 振動数が近い場合に干渉により、、うなり " を生じる . この 場合 , 振動数の大きい波が振動数の小さい波で変調された波となる . * 2 波面分割と振幅分割がある .

52 4 章光の回り込み た光や水の波はまっすぐ進むだけで , P 点のような陰の部分では波は観測されない . しかし , 水の場合には , 岩の陰に波が回るのと同じように , 水門の陰にも波紋が広が るのはよく知られている事実である . 水門の陰にも波が広がるのは , 3 章で述べたホ イへンスの原理でも理解できる . 光の場合にも注意深く観察すると , スリットの陰に なっている P 点で光が観測される . この回折現象はわれわれの日常生活では , 望遠 鏡で遠い星を観測するときの像や顕微鏡の像の解像力などに深く関わっている . ま た , 一般的ではないが , 光の波長ごとの吸収率や発光のスペクトル分布を測定する分 光学に用いる回折格子として , 光の回折は重要な役割をもっている . 空間のある点 P で起こっている回折現象を調べることとは , P 点をとりまくあら ゆる方向からやってくる光が P 点にどのように作用するかを検討することである . いいかえると , あらゆる方向から P 点にやってきた光波の重ね合わせを検討するこ とである . 回折現象の定性的な様子はホイへンスの原理で説明できるが , Fresnel と Kirchhoff は P 点に及ばす光の全作用を数学的に取り扱い , フレネル・キルヒホッフ (Fresnel-Kirchhoff) の表式として知られている精密な数学的表現で光回折の原理 を説明した . この章では , その結果を用いて種々の開口部による回折現象を紹介する . 4.2 光の回り込みを表す式 ( フレネル・キルヒホッフの表式 ) 図 4.2 に示すように , 空間のある点 P に及ばす光の作用を考える . 実際の場合に は , P 点を含み , かっ開口部に平行なスクリーン上にどのような光の模様 ( 回折像 ) ができるかを検討することになる . 前節で述べたように , P 点にやってくるすべての 光の作用を考慮しなければならないが , 多くの場合 , 開口部以外は遮へいされている 開 部 (S) 遮へい部 リ ン・ (S) 図 4.2 観測点 P への光の作用

を得る . べクトルの公式「 x ( 「 x お ) = 「・ ( 「・ E) ー「 2 E を用いる . 電荷のない真空 中や媒質中では , ( 2.1 ) 式で p = 0 なので , 「・の = E 「・ E = 0 である . E 手 0 だから , 「・ E = 0 としてよい . すなわち , 「 x ( 「 x E) = 「・ ( 「・ E) ー「 2E で「・ E = 0 として よい . したがって , ( 2.49 ) 式の左辺は「 x ( 「 x E) = ー「 2E となる . 同様に , 「 x ( 「 x 〃 ) = ー「 2 〃である . したがって , ( 2.49 ) および ( 2.50 ) 式は , 30 exp[i(k ・ r—wt)] = ー/の・ exp[i(k ・ r—wt)] 2 章光の伝わり方 本文 ( 2.3 ) と ( 2.4 ) 式の両辺に左から「 x を作用させると , Ⅱ . 1 波動方程式 き , 紙面に垂直な面内で振動する電気べクトルをもった直線偏光が得られる . る . 一方 , 異常光線は全反射の臨界角以下で境界面に入射するので , 境界面を通過で 界面で全反射するような角度で空気との境界面に入射させると , 常光線は全反射され である . この場合は , 常光線の屈折率が異常光線のそれより大きいので , 空気との境 その不便のないのが , 図中のグランプリズム (GIan prism) である . 間隙は空気 にないので , 光学測定にはなにかと不便が生ずることもある . に紙面内にある . このニコルプリズムでは , 入射した光線と出てきた光線が一直線上 との境界を通り抜けるようにすることができる . 異常光線の偏光面は図に示したよう öL7 x 〃 ö[7 x E ö2 E ( 2.49 ) ( 2 . 50 ) öx ö2 D2 「 2 〃 ö2 E 2 2 1 ö2E c2 房 2 1 ö2 〃 c2 öt2 ( 2.51) ( 2.52 ) と書くことができる . これは波動方程式とよばれるものである . こで , 。 = 1 / 朝言 とおいた . これらの式は , E と〃がその大きさ ( 強さ ) を時間とともに変化させな がら , ェ , , 2 で表される空間を伝搬する様子を表している . Ⅱ . 2 ん , E, 〃べクトルの方向 ( 2.10 ) 式で表される平面波 E = exp / は・ r—wt) を , ると , 時間および空間で微分す ( 2.53 )