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検索対象: エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉
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1. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

2. 線型偏徴分方程式 7 ö2 ″ 十川駕のー十 , 駕の : 生十 " , , の " = / 、 ( 6 , の、 (iii) ( 2. 1 ) が放物型ならば , öu öu 3. 各型の代表例 楕円型偏徴分方程式の最も代表的なものは , ラブラス方程式とよばれるもので , ö2 ″ 62 ″ ( 2.2 ) 山ィ三 ( ″ = ″は , の ; 二次元の場合 ) , D2 〃 a24 a24 ( 2.3 ) 」″三 ( 〃 = ″ ( 明 , 2 ) ; 三次元の場合 ) 十 2 十 622 こで , 偏徴分作用素 ( 偏徴分オペレータ ) : によって表示される . 2 十 ( 二次元の場合 ) , 」 = 622 は , ラブラシアンとよばれる . さらに , 代表的なものとして , ボアソン方程式 : ヘルムホルツ方程式 : 」 4 十ス 4 = ( 三次元の場合 ) 2 十 2 十 ö2 ″ 624 Dx2 a24 ö2 ″ öm2 などが挙げられる . 放物型偏微分方程式の最も代表的なものは , 拡散方程式または熱伝導方程式とよば れるもので , 一次元の場合 ( 独立変数まは時間を表す ) : 2ö切 6 ″ ( 4 = 4 は , の ; c : 定数 , c キの ; öæ2 ( 4 = @, の ; ス : 定数 , えキ 0 ) 十一可十え 4 = 0 二次元の場合 : 2 ö2u 62 ″ ( 4 = 4 の ; c : 定数 , c キの . 非同次項 / のある拡散方程式まナは熱伝導方程式 : 2 62 ″ öu ö2u も放物型である .

2. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

6 ・ 偏微分方程式の固有値問題 35 ( ″十 ) 叫十色ー F 十@!?LF イイ十 2 曾″叫イ s 叫 G 。十ー G 十 ? ー G 十ス dxdy = ″叫冫ーー十を ? 既 ds 十 叫 Fu 十 2 砌 s 十ス叫 Gu ーー十 G ? 既 ds 十。 . Gu ö ( ・ . ・グリーンの公式 ) 0 , ″お。ーー十 F ? 既十 2 " 十ス Gu ー: 十 G ? ds ö D —Fuv) 十 2(Gu 十叫″ Fu —Gu したがって , 叫 ( の 0 = 1 , 2 ) の任意性によって , 基本補助定理 4.1 , 基本補助定 理 3.1 を利用すれば , 定理が得られる . ( 証明終 ) ミー = ミ 2 = 0 ( 6.9 ) , ( 6. 1 の ) ö D D ö ö 2. 偏微分方程式の固有値問題 2.8 で導入した偏徴分方程式の固有値問題 : ( 6. 11 ) 一一ゆ″ェ ) 十一一ゆ与 ) 十 ( ー ? 十 2 の″ = 0 Du 94 十一一 ( ( y)eC; に十キ 0 ) ön を導びく変分問題を考える ; ここで , 閉領域 D で 2 > 0 , p > 0 とし , えは定数 , 9 , は C 上に与えられた関数とする . は , の = 0 をみたす C の部分集合を CI とし , Q=C—CI とする . CI, C2 は , C の二つの部分への分割を定義すると仮定する . そのとき , 境界条件 ( 6.12 ) は , っ ぎの ( 6.13 ) , ( 6.14 ) によって置き換えられる : ( 6.13 ) れ ( の = 0 öu ( 6. 14 ) 十″ = 0 Dn ここで , ( 6.14 ) では , 9 厚をあらためて 9 とおいた . したがって , 偏徴分方程式 6 ( 6.12 )

3. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

第 1 章徴分方程式 2 ーを = 店 ー 2 彑 = 0. これらの条件は , 条件 ( 2.7 ) と同値である . 耳衂が自己随伴徴分式であるとき , 偏徴分方程式 : を自己随伴偏微分方程式という . 例題 1 つぎの偏徴分方程式が自己随伴であるかどうかを調べよ : Du ( 証明終 ) ( i ) (iii) (iv) ( v ) 解 (ii) ラブラス方程式 : ö2 ″ 62 ″ 耳 4 ] 三 ヘルムホルツ方程式 : ん ] 三 拡散方程式 : 耳″ ] 三 波動方程式 : 耳 4 ] 三 ö2 〃 62 ″ Dx2 2 62 〃 6 十 öm2 2 a24 十加 = 0 ( スは定数 ) ; (c は定数 ) ; (c は定数 ) ; 二次元ラブラス方程式 : 耳衂三 ö2 ″ 62 ″ö2 ″ a22 (i) ( 2.5 ) でれ = 2 , な , , = , = 1 , 2 = 4 , 1 = 0 , = 2 = 0 , = 0 の場合である . したがって , 定理 2.1 によって , 自己随伴である . ( ⅱ ) ( 2.5 ) で〃 = 2 , 1 = な 22 = 1 , な , 2 = の , = 0 , = = 0 , 4 = スの場合 . 定理 2.1 によ って , 自己随伴である . ( 2. ので = 3 , 4 = な 22 = c2 , 212 = の , = 0 , の 3 = 00 = 1 , 2 , 3 ) , 21 = 2 = 0 , 3 = 〃 = 0 の場合 . 定理 2.1 によって , 自己随伴でない . ( ⅳ ) ( 2.5 ) で = 3 , 1 = な 22 = c2 , 433 ー 1 , のノ = 0 0 キの , = 2 = 3 = 0 , = 0 の場 合 . 定理 2.1 によって , 自己随伴である . (v) ( 2.5 ) で” = 3 , 4 , 、 = の 2 = な。。 = 1 , 4 リ = 0 (i キの , 角 = 2 = = 0 , ? = 0 の場合 . 定 理 2.1 によって , 自己随伴である . ( 解終 ) 111

4. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

8 第 8 章有限要素法の誤差 補助定理 30.2 によって , 〃 < c くわのとき , Dsec=1c であることがわかった . それ では , な 1 。 = えとなるような ze ん 2@ のが存在するであろうか . いいかえれば , q/'neCl であって , 条件 : Ⅱー lc Ⅱ 0 → 0 , Ⅱのー 40 → 0 をみたす関数列 { 広 } 買 = 1 が存在するであろうか . この問題に関しては , 否定的に つぎの補助定理が成り立っことが示される . 証明は省略する . 補助定理 30.3 4 く c くわであるとき , 以 1 。 = z となるような ze ん 2@ のは存 在しない . それでは , Dt!'n の極限関数は , 如何なる関数であろうか . ( 30.16 ) のな三 D2 臾ル について考えてみよう . ( 30.16 ) によって , 1 / れ ( 30.2 の ( 30.21 ) 〃 0 十 1 ) イ十 ( の→ 0 一般に , 条件 ( 30.20 ) , ( 30.21 ) をみたす ( 〃 = 1 , 2 , ・・・ ) の極限関数 (@) をディ ラクのö関数という . 関数ö ( のは , 条件 : 工 : ö ( の dx = 1 , ö ( の = 0 キ 0 ) をみたすものとして , 特徴づけられるもので , われわれが知っている普通の関数の概 念からは , かけはなれたものであるが , 理論 , 応用の両面で非常に重要なものである . 補助定理 30.3 は , ら ( の三一 c ) 守ん 2@ の ( 〃 < c < のを含んでいる . によって表される関数広のの族をとする . ( は実定数 ) の =. 洋。ノの ( の の ( のけ = 0 , ・・・ , N 十 1 ) を 28 で定義した屋根型基底関数とし , 一次結合 : 3. 基底関数によって生成される空間ヨ を用いて , も , まったく同様である . 屋根型基底関数 : の ( のけ = 1 , ・・・ , N) は , 関数 ( 30.17 ) よって , / は〃の閉部分空間でもある . イが〃 0 の閉部分空間であることの証明 証明 / が〃の閉部分空間であることを証明する . そのとき , 定理 30.2 に ヒルベルト空間〃 0 , 〃に〃の閉部分空間である . 定理 30.3 関数族 / は , 〃 0 ー内積 , 〃 1 ー内積 , 〃 E ー内積に関して , それそれ ,

5. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

2. 線型偏徴分方程式紹 をみたす関数 4 を求める境界値問題を , それそれディリクレ問題 , ノイマン問題 , ロバン問題という ; こで , up, 9p, は , ″ , 臾 , の点 P における値を表し , (öu/ön)p は , 境界点 P における″の外法線方向微分を表す ( 図 2.7 ). なお , 今後 , 本書を通して , ö/ön は境界点での外法線方向徴分を表すものとする . ロバン問題の呼称は , ラフ。ラス方程式に限らず , ディリクレ問題 , ノイマン問題 , 他の楕円型偏徴分方程式の対応する境界値問題にも用いられる . 7. 随伴微分式 個の独立変数 , 係数とする二階徴分式 : , の既知関数 : のの店 ( れノ = 1 , öu ( 2.5 ) 耳衂三 に対して , 微分式 : ( 2.6 ) ん * 第 ] 三 ö2 ( の ) れノ = ー を = ö ( 店の十 を徴分式耳 4 ] の随伴微分式という . こで , 既知関数のノ ( / , ゾ = 1 , = のの , クを ・ , のは二回 ・ , のは一回連続的偏微分可能であると仮定される . 連続的偏徴分可能で , 朝 = 1 , 今後 , 特にことわらなければ , 各係数関数は必要な階数だけ , 連続的偏徴分可能であ るものと仮定する . 微分式 ( 2.6 ) の随伴徴分式は ( 2.5 ) であることは , 直接確かめ られる ; すなわち , ん * * [ 4 ] = 耳″ ]. ん * [ ″ ] = 耳″ ] であるとき , ん [ ″ ] を自己随伴微分式という . 定理 2. 1 ( 2.7 ) 徴分式 ( 2.5 ) が自己随伴であるための必要十分条件は , が成り立っことである . このとき , ( 2.9 ) ( 2.8 ) 証明 ( 2.6 ) から , öのノ Du 624 十 2 十 自己随伴であるための条件は , 耳 4 ] = ん * [ ″ ] であるから , ( 2.5 ) と ( 2.9 ) を比較し て ,

6. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

36 第 2 章変分法 ( 6.11 ) の境界条件 ( 6.13 ) , 6.14 ) のもとでの固有値問題を導びく変分問題を考えれ ( まよい . 定理 6.2 ( 6.15 ) と正規化条件 : 境界条件 : ″は , の = 0 ( ( の eCl) ( 6.16 ) のもとでの , ( 6. 18 ) ( 6. 19 ) ( 6.20 ) ( 6. 17 ) P42 イ xd = 1 汎関数 : 切 ( 十 ) 十 42 } xd!/ 十 の定常関数 4 ( のは , 偏徴分方程式の固有値問題 : 臾″ 2 イ s = 4 ( 明の ; , の e D) , ーーゆ ) 十一一ゆ ) 十 ( ー 4 十スの 4 = 0 ( は , の GCI), ( は , の eC2) ön ーー十 4 = 0 öu 〃は , の = 0 の固有関数であって , 4 は , のが属する固有値をスとするとき , 定理 6.1 において , 〆のをあらためて , 〆の 9 は , のとおき , れ衂 = 2 証明 である . G ( , ″″″ ) = —p 42 十 1 とおいて , 定理 6.1 を利用すればよい . 付帯条件 ( 6.2 ) は明らかにみたされる . D ö ー 2p ″キ 0 であるから , 条件 ( 6.4 ) もみたされる . 偏徴分方程式 ( 6.5 ) をつくれば , ö D ーー十イ G 。 ö D = 2 ク 4 ー 2 ーー ( ″ェ ) ー 2 ーー ( 4 の一 2 え pu = 0. これは , 方程式 ( 6.18 ) にほかならない . 境界条件 ( 6.2 のについては , 一重十 ? 既十 2 9 ″十ス Gu 一色十 G ? = 2 4 , ーー十 2 ″ ? 既十 2 4 リön ön

7. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

6 第 1 章微分方程式 ([20] 工業数学 I : 14 , p. 159 ー p. 165 参照 ) ・ こで , のノはクロネッカーの記号であ る : ( 1. 12 ) ( キの . 2. 1. 線型偏微分方程式 方程式の分類 二個の独立変数の二階の非同次線型偏微分方程式の一般な型は , a24 a24 ( 2.1 ) 耳 " ] = 。 ( 明の誓十 2 わ ( の 十 c , の Du こで , 4 , わ , ら 2 , の / は明の既知関数で , が十わ 2 十 c2 0 であって , 2. 標準型 こでは省略する . 独立変数が三個以上の線型偏微分方程式の場合も , 同様な分類が可能であるが , (iii) つねにーわ 2 = 0 ならば , 放物型 , ( ⅱ ) つねに“ーゲく 0 ならば , 双曲型 ; (i) つねに ac ーわ 2 > 0 ならば , 楕円型 ; 偏徴分方程式 ( 2.1 ) は , ac ーわ 2 の符号によって , つぎのように分類される : れ = 〃 ( のが未知関数である . れることが知られている ( [ 19 ] 応用数学 I , 20 参照 ) : = @, のをほどこすことにより , その型に応じて , つぎのように標準型に変換さ 二個の独立変数の線型偏徴分方程式 ( 2.1 ) は , 独立変数の変換 6 = ( の , ( ⅱ ) または , ② 1 ) が楕円型ならば , 62 〃ö2 ″ 2 十 ö2 ″ö2 〃 ( 2.1 ) が双曲型ならば , 2 十店駕 島を十駕のー十駕の 4 = / , ( 6 , の ; öu Du öu

8. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

70 第 3 章リツツ法 問アは , のの近似として , 一次近似 ( 9.47 ) の代わりに , 定数近似 : / ( の = ( , のの召 = 1 , ・・・ , 襯 ) を採用した場合の , 要素行列を求めよ . 9. 例 ( プログラム 11 の例 11.1 参照 ) 正方形領域 : D = { 0 くく 1 , 0 くぎく 1 } におけるラフ。ラス方程式の境界値問題 : ö2 〃 a24 」 4 三 ( 9.48 ) öu ( 9.49 ) ön ( 9.50 ) ()öは定数 ) ( 9.51 ) ön よる近似解を求める方法を述べよう ( いの 3 の例参照 ) ; のリツツ法に た = = 1 , 0 坙 $l } , ( 9.52 ) れ = = 0 , 0W4W1 } 定理 9.1 の系において , 2 は , の三 1 , 〆の三 0 , /@, の三 0 , ( 9.53 ) ( 9.54 ) ( ハ tJ た ) , け 3 ) , ( 図 9. 18 ). 13 乃 14 15 20 1 25 19 3 / 4 24 2 / 4 23 1 / 4 22 17 16 12 11 10 1 3 / 4 2 / 4 0 図 9.18

9. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

第 7 章水理学への応用 と書ける . とおけば , 月ーれ = 、召れ = ゆえに , 148 = ん ( 月 e ーれ一おり = 0. ーこ ( 定義 ) ( 24.16 ) は , ( e 中 + の十中 + の ) = DcoshÆ ( 2 十 I ) つぎに , 境界条件 ( 24.9 ) を変形しよう . ( 24.10 ) を ( 24. のに代入すれば , さらに , Z ⑨ = 1 より , D=1/coshKI となり , ( 24.12 ) が得られる . ・ ucos の = ん tanh ん / ・ ucos のな ( 24.9 ) の左辺ー イ 2 = 0 2 ( 24.9 ) の右辺 = 里ー〃 cos . したがって , ( 24.13 ) が得られる . 25 ・自由表面をもつ流体内の物体の振動 1. 問題設定 自由表面の静水面 SO, 壁面 Sw, 振動す る物体表面 Ss で囲まれた , 非圧縮性の完 全流体の渦なし運動を考える ( 図 25.1 ). 物 体が振動数で振動するとき , つぎのラ プラス方程式の境界値問題が成り立つ : 静水面 So 流体 D 物体 図 25.1 ( 証明終 ) St0 ( 25.1 ) ( 25.2 ) ( 25.4 ) ( 25.3 ) 」の = 0 6 の ön öの Dn öの Dn 0 こで , の ( 明 2 ) は速度ポテンシャル , 重力の加速度である 623 の 1 参照 ). 聞 ( 2 ) は法線方向の振動速度 , 0 は

10. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

62 第 3 章 ( 9.21 ) ( 9.22 ) と書ける . と解釈する . リツツ法 ァ十 1- ーァ十 2 3 」 = ァ朝ァ + 1 ーァ + 2 ) = 2 ア = 1 ァ十 2 - ー - ァ十 1 ァ十 14 ァ十 2 ー・ァ十 2 ァ十 1 = 1 , 2 , 3 ) , こで , 叫 , 耨の添字が 3 より大きい場合は , (p 三 r (mod 3 ) ; 1$PS3) 「 = ァ = Yp 4. 面積座標に関する積分公式 三角形要素において , 基底関数を記述するために , 面積座標を用いる理由の一つは , 要素での面積分が容易にできることにある . 補助定理 9.1 関数 / ( のを面積座標 ( ( 1 , ( 2 , ( 3 ) を用いて表示した型を 〆 ( 1 , ( 2 , ( 3 ) とする ; すなわち , ( 9.19 ) によって , gC1, ( 2 , ( 3 ) 三 / ( ( 1 十 2 ( 2 十 ( 3 , ( 1 十 42 ( 2 十仇 ( 3 ) ・ そのとき , ( 9.23 ) / , の dY = 2 み〆 ( 1 , ( 2 , ( 3 ) 1 2 ーでは三角形要素召の面 が成り立つ ; こ , 積 , E は , ( 1 ( 2 ー平面で , ( 1 ー軸 , ( 2 ー軸 , 直線 : ( 1 十 ( 2 = 1 によって囲まれた三角形閉領域であ る ( 図 9.8 ). 証明 ( 9.18 ) に基づいて , ( 9.19 ) の を ( 1 , ( 2 で表せば , 1 十 = 1 0 1 図 9.8 ( 9.24 ) = 1 ー ) ( 1 十 ( ー ) ( 2 十 = 朝 1 ー仇 ) ( 1 十朝 2 ー仇 ) ( 2 十・ これを ( 1 ( 2 ー平面からに平面への変換と考えれば , 閉領域 E を閉領域に一対 ーに写像していることがわかる ( 図 9.9 ). はヤコビアンである . ö ( ( 1 , ( 2 ) 〆 ( 1 , ( 2 , ( 3 ) 微分積分学における , 二変数の積分変数の変換公式によって , こで , D(), の / ö ( ( 1 , ( 2 )