パラメター - みる会図書館


検索対象: エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉
29件見つかりました。

1. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

数 / は時間を表す ) : 2 ö2 ″ö2 ″ öx2 二次元の場合 : 非同次項 / のある波動方程式 : öx2 2 a24 62 ″ 4. 平面領域 も双曲型である . Dx2 a24 8 第 1 章微分方程式 双曲型偏徴分方程式の最も代表的なものは , 波動方程式で , 一次元の場合 ( 独立変 ( 4 = 4 ( , の ; c : 定数 , ( 4 = 4 ( の ; c: 定数 , c キ 0 ) ; c キの . 区間 / / 坙 T で定義された , 一対の連続関数叭の , ①をもって , ( 2.4 ) C= { は① , 叭の ) , によって表される平面上の点集合 C を曲線 ( 連続曲線 ) といい , 変数ーを曲線 C のパ ラメター , ( 2.4 ) を曲線のバラメター表示という ( 図 2.1 ). ( 叭 % ) , 叭 % ) ) , @(T), y(T)) をそれそれ曲線 C の始点 , 終点といい , 両者を総称して C の端点という . 始点と終点が一致する曲線 C を閉曲線という . 自分自身と交わらない閉曲線を , 単一閉曲線とい う . 円 , 楕円 , 長方形 , などの周は , 単一閉曲線 である . 曲線 C はそのパラメター表示 ( 2.4 ) に よって , おのずから , その向きが定義される . 今 後 , 曲線はつねに , その向きをもっているものと 仮定する . 叭わ , 叭わが連続的微分可能であるとき , 曲 線 ( 2.4 ) は滑らかであるという . 滑らかな曲線と 図 2.1 は , 接線が連続的に変化する曲線であるといえる . 区間 t0$tST の有限個の点によ って区切られた各部分閉区間で叭わ , 叭のが連続的徴分可能であるとき , 曲線 C は 区分的に滑らかであるという .

2. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

2. 線型偏徴分方程式 9 区分的に滑らかな曲線とは , 有限個の滑らかな曲線をつなぐことによって得られる 曲線といえる . 円周 , 楕円の周 , などは滑らかな曲線であり , 長方形 , 三角形 , 半円 , などの周は区分的に滑らかな曲線である . 曲線 C のパラメターの一つとして , C の始 点から ( の e C までの長さ s を採用するこ とができる : このパラメター s (()$s$$l) を C の弧長パ ラメターという . とくに , C が閉曲線ならば , 呶 0 ) = 叭 (I) , 叭 0 ) = 叭 sD である . 曲線 C 上 の線積分の積分変数として , 弧長パラメター s 図 2.2 が , しばしば採用される . ・ , 壕によって囲まれた平面領域を D 有限個の区分的に滑らかな単一閉曲線 , としその境界を C とする ( 図 2. の ; C = 十十・・・十 rm. 各 ( ン = 0 , 1 , ・ ) を D の境界成分という . 各境界成分 は , つねに領域 D に関して正の向き (D を左に見る方向 ) に向きづけられて いるものと仮定する ( 図 2.3 ). 本書で取 り扱う平面領域は , 今後そのようなもの に限るものとする . 領域 D にその境界 C を付加したもの の = D U C を閉領域という . さて , 領域 D の境界 C の二つの部分 CI, C2 への分割をつぎのように定義する : 各 CI, C2 は有限個の曲線 ( 閉曲線でなく てもよい ) からなり , C= CI 十 C2 であっ て , たかだか端点を除いて CI と C2 は共 通部分をもたない ( 図 2. の . こで , CI ま たは C2 が空集合 ( したがって , C2 または CI が全集合 C) であってもよいものとす る . C. 図 2.3 、 tO 0 CI : 太線 , C2 : 細線 図 2.4

3. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

ヒルベルト空間・徴分の拡張 0 = 0 , ・・・ , N 十 1 ) 去Ⅳ十 1 の ( の = ら , の ( の = 型基底関数の性質 : 翳 29. をみたすものは , の ( の = ( の = 0 に注意すれば , 一次結合 : の = / ののうちで , 境界条件 : 1 5 ( 28.4 ) 0 ( の = 丐の ( の に限る . こののを汎関数 ( 28.3 ) の可のに代入し , ノ [ のを最小にする未知パ ラメター丐 = 均け = 1 , ・・・ , N ) を定め , それを ( 28.4 ) に代入したものを ( 28.5 ) とする . は ) = 均のは ) 最終的な有限要素法の誤差は , 境界条件 ( 28.2 ) のもとで , ( 28.3 ) の / を最小 にする = 4 ( の e C2 と , ( 28.5 ) のれのとの差である . なお , こでは , ( 28.5 ) の未知パラメターを求めるための , 連立一次方程式を解くときに発生する , 数値計算 上の誤差は , 考えないものとする . 29. ヒルベルト空間・微分の拡張 1. 内積とノルム 区間 , わ ] でクラス CO に属する関数 9 ( の , のに対して , 9 ( のとのの 君 0 ー内積を ( 29.1 ) 〆の焚は ) dx ( 臾 , 0 によって , 臾朝 ) の〃 0 ーノルムを ( 29.2 ) Ⅱ可 0 = ( 臾 , の 0 によって定義する 1 ). このような内積およびノルムの定義された関数 9 ( の e CO の族 をお 0 で表す . お 0 は関数の集合としては , CO と同じものである . 区間 [ 4 , でクラス CI に属する関数 9 ( の , のに対して , 9 ( のとのの 〃 1 ー内積を 1) 一般には , ( 29.1 ) , ( 29.2 ) は , それぞれん 2 ー内積 , ん 2 ーノルムとよばれているが , 積 , ノルムの呼称との統一のため , このようによぶ . こでは , 他の内

4. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

Z99 単一閉曲面・・・ ・ 157 断熱条件・・・ 0 8 1 三角不等式・・・ し 自己随伴微分式・・・ 自己随伴徴分方程式・・・ 自己随伴偏微分方程式・・・ 自然境界条件・・・ 四面体要素・・・ 弱形式・・・ 重心座標・・・ 集中質量行列・・・ 終点・・・ H. A. ) の不等式・ シュワノレッ (Schwarz, 初期条件・・・ 初期値問題・・・ ・・・ 4 , 13 ・・・ 14 中央差分法・・・ 中線定理・・・ ・・・ 18 調和関数・・・ ・・・ 98 定常関数・・・ ・ 85 , 92 デイラク (Dirac, P. A. M. ) の関数・・ ディリクレ (DirichIet, P. G. L. ) 問題・ ・・ 157 停留関数・・・ ・・・ 3 , 11 ち ・ 123 ・ 173 ・・・ 12 て ・ 17 , 22 ・ 168 ・・・ 13 ・ 17 , 22 と 等温条件・・・ 等周問題・・・ 閉じている・・ ・・・ 11 ・ 27 , 34 ・ 158 す 随伴徴分式・・・ スツルム・リウビル (Sturm, J. C. F. , Liouville, J. ) 型徴分方程式・・・ スツルム・リウビルの固有値問題・・・ せ ・・・ 4 , 13 な 彳丁 ・・・ 5 , 20 滑らか ( な曲線 ) ・・・ 滑らか ( な曲面 ) ・・・ ーチェ (Nitsche, J. ) の技巧・ 熱伝導方程式・・・ ノイマン (Neumann, C. G. ) 間題・ は 8 正規化条件・・・ 正規直交系・・・ 整合質量行列・・・ 線型空間・・・ 線型補間・・・ 線座標・・・ ・・・ 29 ・ 85 , 92 ・・・ 45 , 56 , 59 , 76 , 78 ・ 157 ・ 177. 179 ・ 182 ・・・ 13 波動方程式・・ ノくラメタ パラメター表示・・ ・ 159 汎関数・・・ 8 《 0 8 ( し そ 双曲型偏微分方程式・・・ 測度零の集合・・・ た ひ 徴分式・・・ ・ 17 , 22 徴分 D の強い拡張・・ ・ 138 微分 D の弱い広張・ ビラミッド型関数・・・ 第一変分・・・ 体積座標・・・・ 楕円型偏微分方程式・・・ 単一閉曲線・・・・ ・ 161 ・ 162 ・・・ 64

5. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

第 3 章 ツ法 リツツ法の由来 リツツ法とは リ ッ 第 2 章では , 微分方程式の境界値問題を変分問題に帰着させる方法について述べた . 本章と次章では , その変分問題の解を , 有限要素法によって , 近似的に求める方法を 述べる . ある許容関数の族き = { 4 } 1 ) の中で , 汎関数ノ [ 衂を最小 ( あるいは最大 ) にする関 数 4 の近似解を , つぎの手順 ( i ) , ( ⅱ ) , (iii) , ( ⅳ ) で求める . この方法は , 本 来 , リツツによるもので , リツツ法とよばれる . (i) 自然数に対して , 基底関数とよばれる N 個の一次独立な関数 : の 1 , 4 Ⅳをえらぶ . ( ⅱ ) のの一次結合で定義される関数 : 意である ). をつくる ( 7.1 ) の許容条件にもとづいて , 適当な制限がある ( 許容条件が何もなければ , まったく任 こで , 係数均け = 1 , ・・・ , N) は未知パラメターで , e きであるため に述べる . したがって , ″ = ″ ( のまたは 4 = ″ , の , 4 = 4 朝 , 既のと解されたい . こでは , 独立変数がいくつの場合も議論は同じであるので , 関数の独立変数は書かないで , 総括的 るための必要条件に基づいて , ・ (N) の関数 ( Ⅳ変数の関数 ) と考える . そのとき , 微分積分学における極値であ ( ⅳ ) / ] を最小にする均を求めるために , れ衂を未知パラメター均 0 = 1 , 似解とする . 均の定め方は , つぎの ( ⅳ ) による . = 1 , ・・・ , Ⅳ ) を定め , それを ( 7.1 ) の係数に代入することによって得られるを近 (iii) 許容のの族の中で , 人衂が最小になるように , 未知パラメター均け

6. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

728 第 6 章有限要素モデル 3 ・ ニ節点をもつ一次線要素 これは最も簡単な線要素で , すでに , 8 の 3 で導入 したものである . この要素による近似関数は , 要素の 両端で関数値 41 , 42 を未知パラメターにもち ( 図 20.1 ) , 要素境界での滑らかさは , CO である . 未知関数 4 は , 一次多項式 : ( 20.9 ) で近似される ; こで , ( ( 1 , ( 2 ) は , 要素 e における線 座標である . したがって , 線要素裔は , ( 20.10 ) は = 1 , 2 ; 図 20.2 ). この要素の Q 3 は , ( 8.47 ) , ( 8.48 ) によって , 1 1 ん 0 火 2 dC2 図 20.1 1 2 ( ー 1 戸 + 3 図 20.2 以上の結果を , 定理として挙げておこう . 定理 20. 1 二節点をもつ一次線要素は , は = 1 , 2 ) であって , ( 20.11 ) ー〃ワ 0 ん、 6 0 ⑦キ s ) s = 1 , 2 ). 4. 三節点をもつニ次線要素 この要素による近似関数は , 要素の両端とその中点における関数値 , ″ 2 , を未知パラメターとしてもち ( 図 20.3 ) , 要素境界での滑らかさは , CO である . 未知 関数 4 は , 2 項での注意に基づいて , 二次多項式 : ( 20.13 ) = 2 十の ( 22 十〃 3 ( 1 ( 2 で近似される ; こで , 碼 , の , 碼は未定係数である . ( 20.12 )

7. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

常徴分方程式 ( 13.13 ) 13. れ吶 = 均の ( の 99 で近似する問題を考える ; ここで , の ( のけ = 1 , ・・・ , N) は , 区間 [ 4 , における 基底関数で , け = 1 , ・・・ , ) が未知パラメターである . とりあえず , 基底関数系 { のは ) け = 1 は , 条件 : ( 13.14 ) の ( の = 魵 , の ( の = らⅣ をみたすものと仮定する . ( 13.15 ) したがって , 境界条件 ( 13.11 ) の最初の条件は , まず , 境界条件 ( 13.11 ) の最初の条件に基づいて , ( 13. 13 ) と ( 13. 14 ) によって , で置き換えられる . 本来ならば , 境界条件 0 ) ( の = 0 をみたすすべてのの ( の eC2 に 対して , 弱形式 ( 13.12 ) がみたされるべきであるが , 近似解を得るために , は ) の ( 13.13 ) のは ) を ( 13.12 ) に代入し , 区間 , における有限個の基 代わりに , ・・ , Ⅳは ) によって生成される関数 : 底関数 ( の , は ) = のは ) は任意定数 ) であって , 境界条件 : ( 13.16 ) あ ( の = 0 をみたすすべての関数のは ) に対して , 弱形式 : ( 13. 17 ) { 一″十′十十月るイ十〆の { 雇 ( の十れの一 } 研の = 0 がみたされるように , 未知パラメター〃 2 , ・・・ , 4 Ⅳを決定しようというわけである . この方法を重みつき残差法といい , は ) を重み関数という . とくに , 重み関数研のとして , は ) = のは ) ガラーキン法という ; は , 数であり , 逆に , よって , 〃 1 = 0 である . と選ぶ方法を , ( 13.18 ) ( のは任意定数 ) こで , 条件 ( 13.14 ) と境界条件 ( 13.16 ) に さて , ガラーキン法において , ( 13.18 ) での = ( のけ = 2 , ・・・ , Ⅳ ) も許容関 ( 13.18 ) の任意の研のは , 朝 ) 朝 = 2 , ・・・ , Ⅳ ) の一次結合で表 せるから , ( 13.18 ) のすべてのは ) @= 0 ) に対して , ( 13.17 ) がみたされること

8. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

13 イ第 6 章有限要素モデル 伐 3 十鷭 佖 2 十 2 十 2 3 十ß2P3 22 十 伐 32 十 P32 夜 2 十鷭ß2 3 十鷭 2 ( 21. 12 ) 12 こで , , 霹 0 ・ = 1 , 2 , 3 ) は ( 9.21 ) によって与えられる定 によって与えられる ; 数である . ( 証明終 ) 証明翳 9 の 8 で , すでに証明された . 4. 六節点をもつニ次三角形要素 三角形の頂点における節点のほかに , 各辺の中間点に節点をもっ三角形要素で , の要素による近似関数は , 各節点での関数値 : , ・ , 〃 6 を未知パラメターにも ち ( 図 21.4 ) , 要素境界線上での滑らかさは , である . 未知関数 4 は , 二次多項 式 : = 碼 ( 12 十の ( 22 十 43 ( 32 十 44 ( 2 ( 3 十 45 ( 3 ( 1 十 46 ( 1 ( 2 ( 21.14 ) によって , 近似される ; ( 21. 13 ) こで , ( ( 1 , ( 2 , ( 3 ) は面積座標 , , ・・・ , 46 は未定係数である . 社 3 社 4 5 2 6 3 5 4 2 6 図 21.4 定理 21.2 六節点をもつ二次三角形要素 = 1 , ・・ , 6 ) は , ( 21.15 )

9. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

〆の , 〆の , 〆のを区間 Ca, 切で定義された既知関数で , するとき , スツルム・リウビルの固有値問題 : 80 S 1 1 ・ の定常関数となるのは , 固有値問題 : ( 11.1 ) , ( 11.2 ) , ( 11.3 ) の固有関数 ( の ( た = 0 = 1 , 第 4 章 リツツ法による近似解 常微分方程式の固有値問題 固有値問題 可の > 0 , 〆の > 0 と ( 11.1 ) ( 11.2 ) ( 11.3 ) 朝 ( のが } ′十 { 一〆の十ス P ( の = 0 4 ( の = 0 , が ( の十″ ( の = 0 のリツツ法による近似解を求める方法を述べよう . 定理 5.2 の系および定理 5.3 によって , 境界条件 ( 11.2 ) をみたす許容関数 4 ( の の中で , レイレー商 : ( 11.4 ) 斑衂 = } な 4 ′ 2 十 2 ) イ十ß〆の″ ( の 2 = 1 , 2 , ・・・ ) に限り , ( 11.5 ) は = 1 , 2 , 斑 ] = 石 こで , 石は , 固有関数 ( のが属する固有値である . である ; この定常関数の , 7 の 1 で述べた一次結合 : ( 11.6 ) れの一均のは ) こで , 4 プは未知パラメター の型の近似解を求めよう ; れのに対する許容条件は , 境界条件 ( 11.2 ) に基づいて , の ) は基底関数である . ( 11.7 ) れの = 修の ( の である . 基底関数として , 条件 : ( 11.8 ) の ( の = ら , け

10. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

イ寸 S 33. 積分定理 1. グリーンの公式 定理 33.1 ( グリーンの公式 ) に平面 上の , 有限個の区分的に滑らかな単一閉曲 線によって囲まれた領域を D とし , その 境界を C とする ( 図 33.1 ). = ( の , Q = Q , のは D 十 C 上で定義されたク ラス CI の関数と仮定する . そのとき , öu 売 öu öv DY öy öP öQ ~ 83 図 33. 1 dxdy— (Pdy—Qdx)= D öy が成り立っ . こで , s は C の各成分の弧長パラメター 十 Q@既ン , ö/ön は C における外法 証明は , 例えば , [ 20 ] 工業数学 I : 5 , p. 28 ー p. 32 参照 . 線方向徴分を表す . 系 ( グリーンの公式 ) 関数とする . そのとき , 担öx が成り立つ . ( の , 叭のを D 十 C 上で定義されたクラス C2 の u—d s 十 4 」 dxdy= c Dn 02 証明定理 33. 1 において , とおけばよい .