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検索対象: エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉
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1. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

問題の解答 189 周 2 例の ( 9. 田 ) , ( 9.59 ) 式を で置き換え ((P%) は ( 9.58 ) , ( 9.59 ) と同じもの ) , 要素召の節点′の座標を ( , ) とするとき , ( 9.6 の式を な ( 2a7 十豸十 ) 十わ ( 2 十十の 2 3 で置き換え , ( 9.61 ) 式を , この式と ( 9.61 ) 式の和で置き換える . あとは , 例と同様に行 えばよい . = 29 , 30 , 31 , 32 の場合に , (K$s) が , 1 スん 2 0 2 1 24 に変更され , 指定境界条件 ( 9.63 ) が除かれるほかは , 問 2 と同じである . 9.10 (). 76 ) 0 4 0 4 10.1 (). 77 ) 2 ん 2 24 24 6 1 人 0- 一 4 1 4 1 1 0- 1 画 1 よ 0 -0- 3 1 を解けばよい . 問解略 . 10.2 (). 79 ) 問 1 解略 . 問 2 滝 ( , , の = 町裔 + 可十可帽 ( , ぎ , の e の = 1 , , 川 ; れ : は 要素の節点におけるの値 ). 第 4 章固有値問題 11.1 ( p. 83 ) 工い。 + ゎ / 工 十 4 砂 Mij ( ⅱ ) 衂 = p ″ 2 イ 4 Ⅳ = 0 , K ″ = え″ + ク裔の dx ーの 1 の 1 叩 ( の , →河の , レエ ( ⅲ ) 町衂 = : わ + の da: + ら剱 ( の ーの 1 の ( の , の 11.2 (). 84 ) 問 1 K, M は , それぞれ ( 11.25 ) , P42 , Ku=kMu, ( 11.26 ) の K, 財とし , 1 行 1 列の成分のみが

2. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

52 第 3 章 を考えよう . ( 8.32 ) 式に ( 8.44 ) ( 8.46 ) ( 8.45 ) リツツ法 〆の = 4 ( の = これを代入すれば , (x ; e e dx dx dx 十 十ら , Ⅳー 1 ら 2 ら ( の . e dx dæ は , s = 1 , 2 ; e = 1 , の型の積分を計算すればよいわけで , 一次線要素に限らず , 一般な有限要素モデルの 場合でも , 事情は同じである ( 第 6 章参照 ). 3 , Q3s を計算しよう . ( 8.41 ) , ( 8.40 ) と積分公式 ( 8.38 ) を利用すれば , 裔 ( のが一次線要素 ( 8.18 ) である場合に , の線座標巛 , ( 2 ) を用いて , ( 8.47 ) ( 8.48 ) したがって , 要素行列 : 2 ・厖火 2 = ( ー 1 ) , + 3 2 ! 0 ! 1 ! 1 ! 3 he 0 ( ドん ( 2 = は , s 6 2 Qf 2 1 ( 8.49 ) ( 8.50 ) が得られ , ( 8.51 ) Qfl さらに , ( 8.44 ) , ( 8.45 ) , ( 8.46 ) K 豸 2 によって , はキ s ) = 1 , 2 ; 召 十ら , Ⅳー 1 0 ( の が得られる . も , 同様にして , ( 8.43 ) 式から , 的に定数 fe に等しいとみなせる場合 : 定理 8.1 の系において , さらに , / ( のが , 各要素召 = 1 , ・ , Ⅳー 1 ごとに , 近似

3. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

翳 21. 三角形要素 737 ( ( 32 ー ; 3 ( 1 ー ; 2 ( 3 ) = 3 ( ー ( 1 ー ( 2 十 3 ( 3 ) , ( 4 ( 2 ( 3 ) = 4 毎 3 ( 2 十伐 2 ( 3 ) , ( 4 ( 3 ( 1 ) = 4 ( 嘶 ( 3 十に 1 ) , ( 4 ( に 2 ) = 4 ( 伐 2 ( 1 十に 2 ). ( 21.22 ) を用いれば , についての偏徴分も同様にして得ら ( 21.23 ) において , の⑦ = 1 , 2 , 3 ) を霹に変史するだけでよい . ( 21.23 ) および同様なについての 偏徴分の公式を用いて , % 0 ・ , s=l, ・・ , 6 ) を計算すれば , 補助定理 9.2 によ。て , 2 = 2 員 E DX = 2 員 12 ( 3 ( 1 ー ( 2 ー ( 3 ) 2 十卩 12 ( 3 ( 1 ー ( 2 ー ( 3 ) 2 } ( ld ( 2 ( 3 12 十 3 2 ) , 3 72 = 2 員 —L イ ( 1 ( 2 = 2 2 ( 3 ( 1 ー ( 2 ー ( 3 ) ( ー ( 1 十 3 ( 2 ー ( 3 ) 十 ( 3 ( 1 ー ( 2 ー ( 3 ) ( ー ( 1 十 3 ( 2 ー ( 3 ) } ( 2 以下同様な計算によって , ( 21.16 ) が得られる . つぎに , Q;s s=l, ・・ , 6 ) を計算すれば , 補助定理 9.2 によ。て , ー ( 1 ( 2 ー ( 3 ( 1)2 イ ( 1 ( 2 = 1 ー ( 1 ( 2 ー ( 3 ( 1 ) ( ( 22 ー ( 2 ; 3 ー ( 1 ( 2 ) ( ld ( 2 = 以下同様な計算によって , ( 21.17 ) が得られる . ( 21.23 ) 5 Dy öy 180 2 2 180 ( 証明終 )

4. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

68 第 3 章 ( 9.36 ) F5 が得られる ; = 00 ァ リツツ法 十 6 ん 十 6 ん は , s = 1 , 2 , 3 ; 召 こで , 関数 2 曰 , / , 0 は , いず れも気 ( 2 , ( 3 の関数と解釈する ; 例えば , 図 9.17 = 〆 ( 1 十 ( 2 十 ( 3 , 十 42 ( 2 十仇 ( 3 ) , など . また , 4 夜”霹 , ん”などは , 一般には , 要素ごとに値がちがってくることに注 意すべきで , 本来は , , , , 鴈 , などと書くべきものである . 8. は , の , 〆の , / 朝 , のの近似 たは , 一次近似を用いることによって , 8 の 7 の場合と同様にして計算できる . そ 分については , ( 9.35 ) , ( 9.36 ) によって , 関数 , の線要素ごとの定数近似 , ま しよう . そのとき , 定理 9.1 の系において , ( 9.32 ) , ( 9.33 ) に現れる上の線積 さて , 一次三角形要素は , 三角形の各辺上では , 一次線要素に帰着することに注意 こで , 一応 , ( 9.37 ) 明の三 0 , なの三 0 ( ( 明の eC2) と仮定して , 残る上の面積分について , 近似計算をすることを考えよう . 定理 9.1 の系において , ( 9.37 ) の仮定のほかに , 係数関数朝 , の , 〆のが , 各要素 e=l, ( 9.38 ) ( 9.32 ) 式に ( 9.39 ) したがって , ( 9.4 の ( 9.41 ) ・ , 川ごとに , 近似的にそれそれ定数ル , に等しいとみなせる場合 : これを代入すれば , öy Dy 十 Dy Dy 紐 xd 鱶 の型の積分を計算すればよいわけで , 一般な有限要素モデルの場合でも事情は同じで ある ( 第 6 童参照 ).

5. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

22 第 2 章変分法 したがって , 一変数の場合と同様にして 3 の 2 参照 ) , 分 ) という . リ [ 4 ] = 0 をみたす関数″ , のを汎関数 / [ 衂の定常関数または停留 一般に , ( 4.4 ) のリ [ 衂を汎関数 / [ の変分 ( くわしくは , 第一変 ノ [ ″十鈿 ] リ [ 衂三 6 関数という . が得られる . ( 4.4 ) 義され , 境界条件 : 既知関数とし , は , , の , z@, , 2 ) を S2 上の既知関数とする . 閉領域わで定 境界を S とする . 境界 S を二つの部分 Sl,S2 に分割する . 〆 2 ) を SI 上の 有限個の区分的に滑らかな単一閉曲面によって囲まれた空間領域を D とし , その 同様な変分問題を , 三変数の関数の場合について公式化しよう . たない . 人〃 ] を最小にする関数 4 , のは定常関数である . しかし , 逆は必ずしも成り立 上の議論から , つぎのことがいえる : ( 4.5 ) ( ( y,z)eSl) 4 ( の = 〆 , 2 ) をみたす関数 4 は , , 2 ) eC2 の族をきとする . 七変数の関数 F ( 2 , 〃 , 竊らの eC2 に対して , きの中で汎関数 : を最大または最小にする関数″ ( , 2 ) を求める変分問題を , 二変数の場合と同様 をみたすすべての D 上の関数 y)eC2 に対して , 研の = 0 ( ( y)eC) 基本補助定理 4.1 平面上の閉領域 D で定義された / ( Y)GCO が , 境界条件 : 2. 変分学の基本補助定理 に考えることができる ; こで , dS は S2 の面積要素を表す . ( 4.7 ) の ( の / ( の dx イ = 0 をみたすならば , D で / ( の三 0 である . = { は , 月は一 2 十朝一の 2 < ( 」 D ) で /@, の > 0 であるような正数 > 0 定してよい . また , / , の > 0 と仮定してよい . / ( のの連続性によって , 円板 : うな点ミの e D が存在したとする . / ( のの連続性によって , , の e D と仮 証明基本補助定理 3.1 の証明とほぼ同様である . 仮にア , のキ 0 であるよ

6. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

8 第 8 章有限要素法の誤差 ( D2 の 2 ん / 2 ( 32.2 ) に注意すれば , こで , 不等式 : ( 32.3 ) ( ン = 1 , 2 , に注意し , が線型補間であるから , [ 0 , ん ] で D2 の = D2 ーの 2 = の 2 であることを 用いれば , ( 32.4 ) ( のの 2 ミ ( D2 の 2 イ = ( D2 の 2 0 任意の要素 = 1 , ・・・ , N 十 1 で , ( 32.4 ) と同様な不等式が成り立つから , (DO)) さて , は , 各要素召内では徴分可能であるが , 区間わ ] では微分可能でない . しかし , 定理 30.3 とその証明に注意すれば , なのは存在して , Ⅱな司 02 = ( 〃の 2 わ であることがわかる . したがって , ( 32.5 ) つぎに ( 32.6 ) 応 0 N 十 1 Ⅱな司 02 ミ ( 32.2 ) に注意すれば , Stn 0 ( 32.6 ) , ( 32.3 ) から , ( 32.4 ) と同様にして , ( の 2 イ読 したがって , ( 32.7 ) ( 32.5 ) , ( 32.7 ) から , ( 32.8 ) わ = ン = 1 0 ゆ ( 以の 2 十クの 2 } 0 ( なの ) 2 イ a: 十 % ( 証明終 )

7. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

78 第 3 章リツツ法 領域の場合 (S 9 の 2 ) と同様に定義できる . 素の頂点 ) の全体に番号をつけ , それをノ = 1 , ・・・ , Ⅳとする . ノは節点番号を表すと 同時に , 節点それ自身をも表すものとする . 要素 = 1 , ・・・ , 川に要素内節点番号は = 1 , 2 , 3 , 4 ) を導入する . 番号は , べクトル 1 ー 2 , 1 ー 3 , 1 ー 4 ( 1 ー 2 は節点 1 から節点 2 に向うべクトル ) が , その有限要素への分割の節点 ( 四面体要 この順序で 右手系をなすようにつけるものと規約する ( 図 10.1 ). は要素内節点番号を表すと同時に , その節点自身を も表すものとする . 一次元 , 二次元の場合と同様に , 基底関数の ( のけ = 1 , ・・・ , N ) を , 各要素ごと にわけて定義すると便利である ; すなわち , 要素に 図 10.1 おける要素内節点番号け = 1 , 2 , 3 , 4 ) の四面体要素裔 ( 4 , 2 ) を定義しよう . 最 も簡単な四面体要素は , 一次四面体要素であって , それは , つぎの条件によって定義 される : @, , 2 ) = 夜十再十 / 十の ( 10.9 ) ( ( 2 ) = その他の要素内節点 ). ・ , のにおける要素内節点番号を = な ( 1< $4 ) とするとき , 基底関数の ( いま , 節点を頂点にもっ要素の全体を , ・ , % とし , 節点の各 % ( ″ = 1 , のけ = 1 , ・・ , Ⅳ ) は , 一次四面体要素 ( 10.9 ) を用いて , 裔声 ( 明 , 2 ) ( 10.1 の ( ( 2 ) eG ー CJ 廴 1 ) , こで , G = の U ・・・ U em によって定義される ; そのとき , 定理 9.1 から , その系を導いたのと同様にして , 定理 10.1 から , つぎ 1) 22 の 1 参照 . の系が得られる : とする . G の境界のうち , S2 に対応する部分をとする . K;s,F; を の朝 = 1 , 2 , 3 , 4 ; 召 = 1 , ・・・ , 川 ) は , ( 10.9 ) によって定義される一次四面体要素 S2 上にある節点をノ = 1 , ・・ , ん , SI 上にある節点をノ = ん十 1 , ・・・ , Ⅳとする . は , 系空間領域のの四面体要素への分割を = 1 , ・・・ , 襯とし , のの内部および

8. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

証明面積座標を用いた三角形要素の場合の補助定理 9.1 と同様な方法によって , 証明できる . ただし , 三次元の場合のヤコビアンは , ö ( 2 22. ( 0 , 0 , 1 ) + 十 = 1 ( 0 , 1 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) 図 22.3 C1¯-X4 X2¯T4 X3¯X4 ー 44 ー 44 43 ー 44 四面体要素 ー 41 ( 既の ( ( 1 , ( 2 , ( 3 ) 6 ( 3 1 したがって , ( 22.12 ) が得られる . = 6 に ( 証明終 ) 補助定理 22.2 体積座標 , ( 2 , ( 3 , ( 4 ) に対して , つぎの積分公式が成り立つ : 証明は , 面積座標を用いた三角形要素の場合の補助定理 9.2 と同様であるので省略 ( た , / , 川 , 〃 : 負でない整数 ) . ( ん十 / 十川十”十 3 ) ! 0 ん ( 2 に 3 鷲 4 れ d ( ld ; 2 ( 3 = ( 22. 13 ) 3. 基底関数 する . 3 , 4 ) の一次四面体要素とする . そのとき , ( のは , 体積座標 ( ( 1 , ( 2 , ( 3 , ( 4 ) , のを , ( 10.9 ) によって定義される , 要素 e における要素内節点番号 = 1 , 2 , の ( のけ = 1 , ・・・ , N ) を , ( 10.1 のによって定義される基底関数とし , 朝 , 空間領域 D を四面体要素 = 1 , ・・・ , 川に分割し , 節点をゾ = 1 , ・・・ , N とする .

9. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

d02 ー 2 ( 1 , 2 この公式を利用すれば , ー 3 ( 1 十 ( 2 , ひ第 6 章有限要素モデル = 十″ 2 十〃 3. したがって , 線要素は ( 20.14 ) によって与えられる . ー ( 1 ( 2 ) ( ( 22 ー ( に 2 ) clC2= また , 関係式 ( 20.6 ) によって , イにに 2 ) 2 2 ー ( 1 十 3 ; 2 , ( 22 火 2 イ ( 2 3 = 4 に 1 ー ( 2 ). = 2 ( 2. したがって , 補助定理 8.1 を利用すれば , ん 0 d<2 イ ( 2 1 ( ー 3 ( 1 十 ( 2 ) 2 火 2 = ( ー 3 ( 1 十 ( 2 ) ( ー ( 1 十 3 ( 2 ) 2 = 1 1 1 以下同様な計算によって , ( 20.15 ) が得られる . つぎに , Q;s を求めれば , 補助定理 8.1 によって , 研 1 = ん Qf2=h 以下同様な計算によって , ( 20.16 ) が得られる . 1 1 ー ( に 2 ) 2 イ ( 2 = 0 0 4 30 30 ( 証明終 ) S 21. 1. 三角形要素 三角形要素の分類 二次元問題 ( 偏徴分方程式 ) を解くための平面要素には , 三角形や四角形の要素があ 要素内の節点数 , 多項式の種類 , 要素境界での滑らかさなどによって分類できる 1 ) : る . 本書では , このうち最も基本的な三角形要素についてのみ述べる . 三角形要素は , 要素内節点数 多項式の種類 三節点をもつ要素 , 六節点をもっ要素 , 一次多項式 , 二次多項式 , , こでは , い 2 の 3 で定義した三角形要素 ( 12.2 のは , 一応除外する .

10. エンジニアリングサイエンスのための有限要素法〈理論編〉

18. ( ( y)eC2, 0 く一く ) , 二次元波動方程式 117 ( 18.3 ) 初期条件 : ( 18.4 ) öu ön 4 ( の = 〆の , ( 既 0 ) = ん , の ( ( y)eD) のもとで解く問題を考える . 方法は , 前節の拡散方程式の場合とほぼ同様である . の ( のけ = 1 , ・・・ , ) は , 条件 ( 17.5 ) と ( 17.6 ) をみたす領域のにおける基底関数とし , 波動方程式の境界 値問題 : ( 18.1 ) , ( 18.2 ) , ( 18.3 ) , ( 18.4 ) の解は , のを ( 18.5 ) れ既の = 均 ( ののは , の の型の関数で近似する ; こで , 均①け = 1 , ・・・ , N) はオの未知関数である . まず , 境界条件 ( 18.2 ) から , 拡散方程式の場合と同様にして , ① = 窪① が得られる ; 知関数 : 41 ( の , ① = 9 , 既の ( , の = / = ん十 1 , , ( のを決定するために , 変数について , こで , 残りの未 ガラーキン法を 弱形式 : ( c2 」滝ーれ一 / ) 十 c2 がみたされるように , 未知関数″ 1 ( の , ・・・ , 4 石 ( のを決定する . 適用する . すなわち , 2. ニ階常微分方程式への帰着 定理 18.1 二次元波動方程式の境界値問題 : öü ー十ン , 赤 ön ( 18.1 ) , ( 18.2 ) , ( 18.3 ) , ( 18.4 ) の ガラーキン法による近似解 ( 18.5 ) の係数関数 : ″ 1 ① , ・・・ , ″Ⅳ①は , つぎの連立二階 常微分方程式の初期値問題の解である : ( 18.6 ) ( 18.7 ) ( 18.8 ) ( 18.9 ) こで , 一般には , 行列 : K ⅵの十財① = F ① , ① = ″ 1 ( の 4 Ⅳ① K=(Kij), M=(Mij), お① = ( ① ) 均⑨ = の = 0 , の , も⑨ = 妬 = んは , の 均 ( わ = % ① = 9 , わ は , それそれ