4 第 1 章徴分方程式 一般に , 指定されるべき境界条件については , その問題の物理的な意味から決定さ など . として採用される . 例えば , こで , , , 伐 1 , は定数とする . また , これらの条件の混合した型も , 境界条件 雇 ( の十 P 4 ( の = P 1 ; が ( の十″ ( の = 嘶 , (iii) 境界点で , 解の値とその分係数の値との間の関係式が与えられている : 2. 随伴微分式 微分式 : ( 1.3 ) ん ] 三〆の雇十 7 は ) 雇十なの″ に対して , 微分式 : ( 1.4 ) ん * [ ⅵ三ゆ朝 ) れ } ″十 ( ー 1 ) { 〆のれ } ' 十 ( ー 1 ) ヤ ( の 4 を , 徴分式 4 の随伴微分式という ; こで , 既知関数盟は ) 曰 ( の , なのは , そ れそれ二回 , 一回 , 零回連続的敬分可能であると仮定される . 零回連続的徴分可能性 は , 単なる連続性を意味する . 今後 , 特にことわらなければ , 各係数関数は , 必要な 回数たけ , 連続的徴分可能であるものと仮定する . 徴分式ん * [ の随伴徴分式は , 耳であることは , 直接確かめられる ; すなわち , ん * [ 衂 = 耳衂であるとき , なを自己随伴微分式という . 定理 1.1 徴分式な衂が自己随伴であるための必要十分条件は , ( 1.5 ) 〆の = がは ) が成り立っことである . そのとき , ( 1.6 ) 証明 ( 1.7 ) な衂 = ん * [ 衂 = 朝は ) 4 ′ } / 十なの 4. ( 1.4 ) によって , 乙 * [ 衂 = ゆの″ー ( 7 の / 十 = に十 ( 2 が一の十ゆ″ー〆十わ〃 = 0. 自己随伴であるための条件は , ん [ ⅵ = ん * [ だから , ( 1.3 ) と ( 1.7 ) を比較して , これらの条件は , 条件 ( 1.5 ) と同値である . な 4 ] が自己随伴徴分式であるとき , 同次型徴分方程式 : 耳三 { 〆のが } ′十れの 4 = 0 ( 証明終 )

2. 線型偏徴分方程式紹 をみたす関数 4 を求める境界値問題を , それそれディリクレ問題 , ノイマン問題 , ロバン問題という ; こで , up, 9p, は , ″ , 臾 , の点 P における値を表し , (öu/ön)p は , 境界点 P における″の外法線方向微分を表す ( 図 2.7 ). なお , 今後 , 本書を通して , ö/ön は境界点での外法線方向徴分を表すものとする . ロバン問題の呼称は , ラフ。ラス方程式に限らず , ディリクレ問題 , ノイマン問題 , 他の楕円型偏徴分方程式の対応する境界値問題にも用いられる . 7. 随伴微分式 個の独立変数 , 係数とする二階徴分式 : , の既知関数 : のの店 ( れノ = 1 , öu ( 2.5 ) 耳衂三 に対して , 微分式 : ( 2.6 ) ん * 第 ] 三 ö2 ( の ) れノ = ー を = ö ( 店の十 を徴分式耳 4 ] の随伴微分式という . こで , 既知関数のノ ( / , ゾ = 1 , = のの , クを ・ , のは二回 ・ , のは一回連続的偏微分可能であると仮定される . 連続的偏徴分可能で , 朝 = 1 , 今後 , 特にことわらなければ , 各係数関数は必要な階数だけ , 連続的偏徴分可能であ るものと仮定する . 微分式 ( 2.6 ) の随伴徴分式は ( 2.5 ) であることは , 直接確かめ られる ; すなわち , ん * * [ 4 ] = 耳″ ]. ん * [ ″ ] = 耳″ ] であるとき , ん [ ″ ] を自己随伴微分式という . 定理 2. 1 ( 2.7 ) 徴分式 ( 2.5 ) が自己随伴であるための必要十分条件は , が成り立っことである . このとき , ( 2.9 ) ( 2.8 ) 証明 ( 2.6 ) から , öのノ Du 624 十 2 十 自己随伴であるための条件は , 耳 4 ] = ん * [ ″ ] であるから , ( 2.5 ) と ( 2.9 ) を比較し て ,

目 ( 1 ~ 2 ) 序章 第 1 章 2. 第 2 章 3. 4. 5. 6. 第 3 章 7. ( 3 ~ 15 ) ( 16 ~ 4 の ( 41 ~ 79 ) 理論編 有限要素法とは何か 微分方程式 線型常徴分方程式・ 1. 初期値問題・境界値問題・・・ 3 冫欠 2. 随伴徴分式・・・ 4 3. スツルム・リウビルの固有値問題・・・ 5 線型偏徴分方程式・ 1. 方程式の分類・・・ 6 4. 平面領域・・・ 8 7. 随伴徴分式・・・ 13 変分法 2. 標準型・・・ 6 5. 空間領域・・・ 10 8. 固有値問題・ 3. 各型の代表例・・・ 7 6. 境界条件・初期条件・ ・・ 10 ・・ 15 一変数関数の変分問題・ 常徴分方程式の固有値問題・ 4. オイラーの徴分方程式 ( 三変数の場合 ) ・・・ 25 3. オイラーの徴分方程式 ( 二変数の場合 ) ・・・ 23 1. 変分・定常関数・・・幻 2. 変分学の基本補助定理・・・ 22 多変数関数の変分問題・ 3. 変分学の基本補助定理・・・ 78 4. オイラーの徴分方程式・自然境界条件・ 1. 変分問題とは・・・ % 2. 変分・定常関数・司 7 偏微分方程式の固有値問題・ 3. 定理 5.2 の逆・・・ 31 1. 等周問題・・・ 27 2. スツルム・リウビルの固有値問題・・・ 29 111 ・・ 18 ・・・ 21 ・・・ 16 ・・・ 27 1. 等周問題・・・ 33 3. 定理 6.2 の逆・ ツツ法 リツツ法の由来・ リツツ法とは・ ・・ 38 1. リ 2. 偏微分方程式の固有値問題・・・ 35 ・・・ 33 ・・・ 41 2. 本来のリツツ法・ ・・ 42

まえがき 有限要素法は , 最近 , 理工学の分野で顕著な発展をとげ , 徴分方程式の最も有力な 数値解法の手段として認識されつつある学問である . 本書は , 同時に刊行される・プログラム編 ' とともに , 大学の教養課程の徴分積分 学を修得した理工系の学生を対象として , 有限要素法の基礎と応用について , とくに 電子計算機を利用する実用的な方法に力を入れて , できるだけ平易に解説したもので ある . 徴分方程式の数値解法としては , 従来から差分法 ( 差分近似解法 ) がよく知られてお り , 理論と応用の両面で , 高度に発展をとげてきている . しかし , 差分法では , 領域 を規則正しいメッシュ ( 網目 ) に分割して徴分を差分でおきかえて計算するため , 複雑 な形状の境界上での取り扱いが煩雑であり , 汎用的な電子計算機用フ。ログラムの作成 は困難であった . これに対して , 最近発展してきた有限要素法では , 微分方程式の境 界値問題を , 変分問題に変換し , ノイマン型の境界条件などは , 自然境界条件として , 自動的に満足されるようにしたのちに , 領域を任意な形状のメッシュに分割して計算 するため , 境界条件の取り扱いが非常に容易であり , 汎用的なプログラムが容易にで きるため , 電子計算機の発達とともに , 急速に差分法にとってかわりつつある . さて , 有限要素法の解説書は , 最近 , 多く見うけられるが , その大半は構造技術者 のためのもので , 固体内の応力・ひずみ・変形などの用語で記述されているため , 他 の理工系の分野の者には理解しにくい . また , 有限要素法の数学理論に関する本もい くつかあるが , 内容が高度であり , 初心者向きではない . 本書の特色は , 有限要素法 を徴分方程式の数値解法の一つとしてとらえ , 基礎理論と応用を , 具体的な応用例を つけて , できるだけ平易に解説したことである . 本書の構成 : 第 1 章では , 第 2 章以降で必要となる徴分方程式の基本的な性質を述べる . 第 2 章 では , 変分法の考え方を概説する . これを受けて , 第 3 章 , 第 4 章では , 変分法に基 づく有限要素法 ( リツッ法 ) の定式化を述べる . とくに , 第 4 章では , 徴分方程式の固 有値問題のリツツ法による定式化を述べる . 楕円型偏徴分方程式 ( 常徴分方程式の場 合はスツルム・リウビル型の方程式 ) は , 変分法によって取り扱えるが , 放物型や双 曲型偏徴分方程式の場合には取り扱えない . このため , 第 5 章では , 重みつき残差法

3 微分方程式 S 1. 1. 第 1 章 線型常微分方程式 初期値問題・境界値問題 〃階の非同次線型常徴分方程式の一般な型は , ( 1. 1 ) では , 簡単のために , 二階の非同次線型常微分方程式 : こで , は ) , ・ , は ) , / は ) は既知関数で , 4 = ″ ( が未知関数である . 本書 ( 1.2 ) 可の″″十叭のが十は ) れ = / は ) について考えるが , 多くの結果は , 〃階の方程式 ( 1. 1 ) の場合に拡張される . 一般に , 与えられた常微分方程式の一意的な解を得るためには , その常徴分方程式 が定義されている区間の一端または両端での解の挙動について , ある条件を指定する 必要がある . 二階の線型常徴分方程式 ( 1.2 ) の一般解は , 二個の任意定数を含んでい るから , 一意的な解を得るためには , 二個の独立した条件が必要である . 初期条件 : ( , は定数 ) をみたす方程式 ( 1.2 ) の区間 ( 4 , ) における解を求める問題を常徴分方程式 ( 1.2 ) の初期値問題という . 区間第 , わ ] の両端での解の挙動について , 境界条件とよばれるある条件を指定し , その条件をみたす方程式 ( 1.2 ) の区間 @ のにおける解を求める問題を , 常徴分方 程式 ( 1.2 ) の境界値問題という . 境界条件としては , 例えば , つぎの条件が挙げられる : ( i ) (ii) 境界点での解の値が指定されている : 4 ( の = 伐 , 4 ( の = の 境界点で , 解の徴分係数の値が指定されている : が @ = 伐 , が ( の = の

川 2 第 8 章有限要素法の誤差 ( 29.18 ) と補助定理 29.3 ( ⅱ ) によって , ( 29.2 の ( , (z) 0 → ( 臾 , (z) 0 , (Dpn, わ 0 → ( 臾 , わ。 ( 29.19 ) , ( 29.20 ) から , ( 29.17 ) が得られる . 9 , e が@ のであって , 任意のに対して , ー 0 が成り立っとき , = D 盟 9 ( 証明終 ) で表して , Dw を微分 D の弱い拡張という . 定理 29.3 によって , 9 e が@ のに対 して , 以 9 が存在すれば , Dwp も存在して , の罅 = 9 である . 系 1 D 9 は一意的に定まる . したがって , 臾も一意的に定まる . 証明任意の zeCt に対して , が成り立っと仮定すれば , 辺々引くことによって , 最後の等式が , 任意のに対して成り立つから , 系 2 peC1 ならば , な 9 = D 9 = D 臾 . 定理 29.2 によって , ( 証明終 ) 証明定理 29.3 との盟 9 の定義によって , 任意の zeCt に対して , ( 29.21 ) ( 29.22 ) が成り立っ . 一方 , peCl に注意すれば , 部分積分法によって , ( 29.19 ) と同様にして , ー ( 仏わ 0 = ー ( D 測仏わ 0 ( 仏 (z) 0 ( 臾 , のわ 0 ( 29.21 ) , ( 29.22 ) によって , 任意の xeCöに対して , ( 9 ー D わ。 = ( の罅ー D 臾 , z)o=0 が成り立つ . したがって , 定理 29.2 によって , な 9 = 〃 = D 二階徴分の拡張は , な 9 三な ( なの , 孱 9 三 D 盟 (Dwp) ( 証明終 ) によって定義される . 同様に , 高階徴分の拡張が定義されるが , 本書では必要でない ので省略する . 今後 , 〃 E ー内積 , 〃 2 ー内積 , 汎関数 / [ 可などは , 一階徴分〃 階徴分 D2 を , それそれ一階徴分の強い拡張な , 二階徴分の強い拡張なで置き換 えたものに対しても定義されているものと仮定する . 問公式なの = ( な 9 洋十曾なを証明せよ .

8. 9. 当 10. 第 4 章 g11. 12. 第 5 章 13. 14. 15. 16. iv 理論編目次 例・・・ 89 例・・・ 83 ( 97 ~ 125 ) ヨ・・・川 9 一変数関数のリツツ法・ リツツ法による近似解・・・ 43 3. 行列 K, の要素行列への分解・ 5. 積分公式・・・ 50 6. ICfrs, Fe 7. 〆の , 〆の , / ( のの近似・・・ 57 二変数関数のリツツ法 リツッ法による近似解・・・ 56 1. 1. 2. 有限要素と基底関数・・・ 45 ・・ 47 4. 線座標の導入・・・ 50 r の線座標による表示・・・ 51 4. 面積座標に関する積分公式・・・ 62 6. 行列 K, の要素行列への分解・・・ 65 8. い , の , 〆既の , / , のの近似・ 8. 例・・・ 53 2. 有限要素・・・ 58 3. 面積座標・・・ 60 5. 基底関数・・・ 64 7. Kfrs, の面積座標による表示・ ・・ 63 9. 例・・・ 70 2. 行列 K, の要素行列への分解・・・ 77 10. 差分近似法との関係・ 三変数関数のリツッ法・ リツッ法による近似解・ 1. 固有値問題 ・・ 76 ・・ 74 1. リツッ法による近似解・・・ 86 偏徴分方程式の固有値問題・ 例・・・ 85 1. リツッ法による近似解・・・ 80 常徴分方程式の固有値問題・・ ( 80 ~ 96 ) 2. 2. 3. 集中質量行列・ 3. 集中質量行列・ ・・・ 43 ・・・ 76 ・・・ 86 ・・ 91 4. 例・・・ 92 ガラーキン法 常徴分方程式・・ 1. 弱形式・・・ 97 3. ガラーキン法による近似解・ 偏徴分方程式・ 1. ガラーキン法・ 2. 重みつき残差法・ガラーキン法・ 4. 例・・・ 102 5. 行列の固有値問題の解法・・・ 94 ・・ 98 ・・・ 97 ・ 104 ・・川 4 一次元拡散方程式・ 一次元波動方程式・ 一階常徴分方程式への帰 ガラーキン法の特徴・・・川 8 2. 3. 1. 2. ガラーキン法による近似解・・・川 5 ・ 111 108 2. 拡散方程式に対するガラーキン法・・・ 108 1. 波動方程式に対するガラーキン法・ 二階常徴分方程式への帰着・・Ⅲ 2

翳 2. 8. 固有値問題 線型偏徴分方程式 15 偏徴分方程式に対しても , 常微分方程式の場合と同様 , 固有値問題が考えられる . 二変数の場合について述べる . 有限個の区分的に滑らかな単一閉曲線によって囲まれ た平面領域を D とし , その境界を C とする . 領域 D における , 自己随伴偏徴分方 程式 : ( 2. 1 の の解であって , 境界条件 : ( 2. 11 ) 〆明のの十の ö″は , の = 0 ーーゆ″ , ) 十の一ゆ ) 十 ( ー十の 4 = 0 ( は , の eC; に十キ 0 ) ( 4 = 4 は , の ) をみたす″ ( のを求める問題が偏徴分方程式の固有値問題である ; こで , D 上 同時に , その定数倍翩も固有関数になるので , 一意性を保っために , 必要に応じて , での方程式 ( 2.10 ) の固有値 , そのときの解〃をスに属する固有関数という . と る . 〃キ 0 である解が存在するようなパラメタースの値を , 境界条件 ( 2.11 ) のもと で > 0 , p>0 とし , スは定数 , 9 , は C 上に与えられた区分的に連続な関数とす ( 2. 12 ) P ( の 4 @, の 2 d.t イ = 1 によって正規化しておく . 偏徴分方程式の固有値問題 ( 2.10 ) , ( 2.11 ) の固有値の列を 広 } 7 = 1 : とし , 各固有値石 ( = 1 , 2 , ・・・ ) に属する正規化された固有関数を ( , のとする . そのとき , 固有関数系 { ( 明の } : = 1 は , 領域 D で重み〆のに関して正規直 交系をなす ; すなわち , ( 2. 13 ) ( 吩 ( [ 20 ] 工業数学 I : 16.3 , p. 185 ー p. 187 参照 ) ; 12 ) である . こで , のノはクロネッカーの記号 ( 1.

第 5 章ガラーキン法 ー ( り = C2 éiéjdxdy, 3 3 イ , イ十の、のイ , } öy DY ( の / xd 十 c2 Zéids 着される . 拡散方程式の境界値問題は , 連立一階常徴分方程式 : ン法によって , 有限要素近似させることができ , 連立常徴分方程式の初期値問題に帰 動方程式 ) など , 時間に依存する系の問題は , い 5 ~ 18 で述べたように , ガラーキ 放物型偏徴分方程式 ( 例えば , 拡散方程式 ) や , 双曲型偏微分方程式 ( 例えば , 波 1. 連立常微分方程式の初期値問題 S 19 ・連立常微分方程式の差分近似解法 問定理 17.1 の証明にならって , 定理 18.1 を証明せよ . 証明は , 定理 17.1 の証明とほぼ同様であるので省略する . ん行 N 列の行列 , F(t) はん行 1 列の行列と考える . においては , 行列 K, M, お①の第 ( ん十 1 ) 行以下は不要であって , K' M はともに を成分とするⅣ行 N 列 , N 行 N 列 , Ⅳ行 1 列の行列として定義されるが , ( 18.6 ) ( 19.1 ) K ①十 C ① = F ① の初期値問題に帰着し ( 定理 15.1 , 定理 17.1 ) , 波動方程式の境界値問題は , 連立二階常 微分方程式 : ( 19.2 ) Ku ①十 M ① = F(t) の初期値問題に帰着される ( 定理 16. 1 , 定理 18. 1 ). これら連立常徴分方程式の初期値問題を , 差分近似法によって解く一つの方法を紹 介しよう . 簡単のために , 行列 C , M の各成分はもちろんのこと , 行列 K の各成分 も , まに関係しない定数であると仮定する . 2. クランク・ニコルソン法 連立一階常徴分方程式 ( 19.1 ) の初期値問題の , クランク・ニコルソンによる差分 近似解法を述べる . 定理 19.1 連立一階常徴分方程式 ( 19.1 ) の差分近似式として , 差分方程式 :

Z99 単一閉曲面・・・ ・ 157 断熱条件・・・ 0 8 1 三角不等式・・・ し 自己随伴微分式・・・ 自己随伴徴分方程式・・・ 自己随伴偏微分方程式・・・ 自然境界条件・・・ 四面体要素・・・ 弱形式・・・ 重心座標・・・ 集中質量行列・・・ 終点・・・ H. A. ) の不等式・ シュワノレッ (Schwarz, 初期条件・・・ 初期値問題・・・ ・・・ 4 , 13 ・・・ 14 中央差分法・・・ 中線定理・・・ ・・・ 18 調和関数・・・ ・・・ 98 定常関数・・・ ・ 85 , 92 デイラク (Dirac, P. A. M. ) の関数・・ ディリクレ (DirichIet, P. G. L. ) 問題・ ・・ 157 停留関数・・・ ・・・ 3 , 11 ち ・ 123 ・ 173 ・・・ 12 て ・ 17 , 22 ・ 168 ・・・ 13 ・ 17 , 22 と 等温条件・・・ 等周問題・・・ 閉じている・・ ・・・ 11 ・ 27 , 34 ・ 158 す 随伴徴分式・・・ スツルム・リウビル (Sturm, J. C. F. , Liouville, J. ) 型徴分方程式・・・ スツルム・リウビルの固有値問題・・・ せ ・・・ 4 , 13 な 彳丁 ・・・ 5 , 20 滑らか ( な曲線 ) ・・・ 滑らか ( な曲面 ) ・・・ ーチェ (Nitsche, J. ) の技巧・ 熱伝導方程式・・・ ノイマン (Neumann, C. G. ) 間題・ は 8 正規化条件・・・ 正規直交系・・・ 整合質量行列・・・ 線型空間・・・ 線型補間・・・ 線座標・・・ ・・・ 29 ・ 85 , 92 ・・・ 45 , 56 , 59 , 76 , 78 ・ 157 ・ 177. 179 ・ 182 ・・・ 13 波動方程式・・ ノくラメタ パラメター表示・・ ・ 159 汎関数・・・ 8 《 0 8 ( し そ 双曲型偏微分方程式・・・ 測度零の集合・・・ た ひ 徴分式・・・ ・ 17 , 22 徴分 D の強い拡張・・ ・ 138 微分 D の弱い広張・ ビラミッド型関数・・・ 第一変分・・・ 体積座標・・・・ 楕円型偏微分方程式・・・ 単一閉曲線・・・・ ・ 161 ・ 162 ・・・ 64