2. 線型偏徴分方程式 9 区分的に滑らかな曲線とは , 有限個の滑らかな曲線をつなぐことによって得られる 曲線といえる . 円周 , 楕円の周 , などは滑らかな曲線であり , 長方形 , 三角形 , 半円 , などの周は区分的に滑らかな曲線である . 曲線 C のパラメターの一つとして , C の始 点から ( の e C までの長さ s を採用するこ とができる : このパラメター s (()$s$$l) を C の弧長パ ラメターという . とくに , C が閉曲線ならば , 呶 0 ) = 叭 (I) , 叭 0 ) = 叭 sD である . 曲線 C 上 の線積分の積分変数として , 弧長パラメター s 図 2.2 が , しばしば採用される . ・ , 壕によって囲まれた平面領域を D 有限個の区分的に滑らかな単一閉曲線 , としその境界を C とする ( 図 2. の ; C = 十十・・・十 rm. 各 ( ン = 0 , 1 , ・ ) を D の境界成分という . 各境界成分 は , つねに領域 D に関して正の向き (D を左に見る方向 ) に向きづけられて いるものと仮定する ( 図 2.3 ). 本書で取 り扱う平面領域は , 今後そのようなもの に限るものとする . 領域 D にその境界 C を付加したもの の = D U C を閉領域という . さて , 領域 D の境界 C の二つの部分 CI, C2 への分割をつぎのように定義する : 各 CI, C2 は有限個の曲線 ( 閉曲線でなく てもよい ) からなり , C= CI 十 C2 であっ て , たかだか端点を除いて CI と C2 は共 通部分をもたない ( 図 2. の . こで , CI ま たは C2 が空集合 ( したがって , C2 または CI が全集合 C) であってもよいものとす る . C. 図 2.3 、 tO 0 CI : 太線 , C2 : 細線 図 2.4

ー 26 第 6 章 20. 線要素 1. 線要素の分類 有限要素モデル 一次元問題 ( 常徴分方程式 ) を解くための線要素は , 要素内の節点数 , 多項式の種 類 , 要素境界での滑らかさなどによって分類できる 1 ) : 要素内節点数 多項式の種類 二節点をもつ要素 , 三節点をもつ要素 , 一次多項式 , 二次多項式 , クラス CO に属する , 要素境界での滑らかさクラス CI に属する , 2. 線積分 スツルム・リウビル型の二階常徴分方程式を有限要素法で解く場合には , ( 20.2 ) ( 20.1 ) dx dm こで , 召は要素 , の型の線積分を求めることが必要となる 68 の 3 , い 1 の 1 参照 ) ; / , s は要素内節点番号 , 裔 ( のは基底関数の要素への制限として定義される線要素 である . 区間 [ 4 , わ ] の要素への分割が , 十分細かい場合には , ( 20.1 ) , ( 20.2 ) におい て , 関数〆の , 〆のが , 各要素 e で近似的に定数に等しいと仮定してよい . こでは , い 1 の 3 で定義した線要素 ( 11.27 ) は , 一応除外する .

722 第 5 章ガラーキン法 とおけば , ( 19.18 ) は , ( 19.2 の -1 っ 0 1 つ 41 ( 02 十 1 ) 」の = ーー { ″ 1 ( 小」の十 2 ″ 2 ( 〃・」の } , と書ける . こで , ( 19.21 ) 式は , 偏徴分方程式 : C24 ェェ = を偏差分方程式によっ て置き換える , 差分近似法によっても得られることを注意しておこう ( [ 21 ] 工業数学Ⅱ : æ=a での境界条件が ( 15.2 ) の最 p. 78 の ( 17.8 ) 式で / = 1 / 3 とおけばよい ). また , 初の式の場合には , ( 19.2 のの代わりに , で置き換える . æ=b での境界条件が ( わ , の = 0 の場合には , ( 19.22 ) のままでよ 一次元の拡散方程式の境界値問題 : は e ⑨ 1 ) , 0 く / < ) , C2 ″ェ の近似解を , 「 = 5 , ん = 1 / 4 の場合に , 上に述べた方法で , 実際に求めてみよ . 問 1 で , 境界条件を 4 ( 0 , の = 0 , ″ェ ( 1 , の = 0 で置き換えた場合について , 同様に行え . 4. 中央差分法 連立二階常徴分方程式 ( 19.2 ) の初期値問題の近似解を求めるための , 中央差分法 を述べる . 連立二階常微分方程式 ( 19.2 ) の差分近似式として , 差分方程式 : 定理 19.2 K ″①十 M. 十」の一 2 “①十は一」の ( 19.23 ) ( 」の 2 ( 19.23 ) を採用した場合 , つぎの誤差評価が成り立つ : を採用できる . ICu ①十 M ①ー F ① K 膨①十 M. 0 十」の一 2 可の十は一」の ( 羽 ) 2 上 = たとおいて , 微分積分学のテイラーの定理を利用すれば , 証明 ( 19.21 ) ( 19.22 )

参考書 [ 11 ] R. H. Gallagher: Finite Element Analysis—Fundamentals, Prentice—Hall, 1975. ( 邦訳 ) 川井忠彦監訳 : 有限要素法の基礎 , 丸善 , 1976. [ 12 ] 日本鋼構造協会編 : コンビュータによる構造工学講座 , 培風館 , 1970. などがある . 有限要素法の最新の動向を知るには , 論文集 ( 月刊 ) として , ー 97 [ 13 ] O. C. Zienkiewicz and R. H. Gallagher (Eds. ) : Methods in Engineering, John Wiley & Sons. を読むとよい . また , 我が国では , 二年に一度の論文集 : [ 14 ] 日本鋼構造協会編 : マトリックス解析法研究発表論文集 . および , 1979 年より毎年開かれているシンポジウムの報告集 : [ 15 ] 日本科学技術連盟編 : 流れの有限要素法解析シンポジウム報告集 . がある . 微分方程式 , 変分法 , 差分法 , 数値計算 , ヒルベルト空間 , ルべーグ積分 , などの分野で , 本 書で引用または参考にした書物を挙げれば , lnternational Journal for Numerical [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] R. Courant and D. Hilbert: Methods of Mathematical Physics, V01. 1 , lnterscience Pub. , 1953. 寺沢寛一編 : 自然科学者のための数学概論 ( 応用編 ) , 岩波書店 , 1960. 小松勇作 : 変分学 , 森北出版 , 1975. 小松・及川・水本 : 精解演習応用数学 I , Ⅱ , 広川書店 , 水本久夫 : 工業数学 I ( 物理数学 ) , 森北出版 , 1976. 水本久夫 : 工業数学Ⅱ ( 数値計算法 ) , 森北出版 , 1977. 小松勇作 : ルペーグ積分 , 第 2 版 , 共立出版 , 1980. 南雲道夫 : 近代的偏徴分方程式論 , 共立出版 , 1957. 山内・森ロ・一松編 : 電子計算機のための数値計算法 I, 培風館 , 一松信 : 数値計算 , 至文堂 , 1963. 水本久夫 : 多様体上の差分法 , 教育出版 , 1973. 森ロ繁一 : JIS FORTRAN 入門〔上〕 , 東京大学出版会 , 1964 ー 65. 1968. 1965.

石 8 第 8 章有限要素法の誤差 ( 29. 10 ) ( 9 , e 〃 ) によって , 関数臾との距離を定義する . 補助定理 29.1 の性質 ( ⅳ ) によって , ( ⅱ ) ーに 0 であって , ー刺 = 0 が成り立つのは , 三の場合に限る . また , 補助定理 29.2 の性質 ( ⅱ ) によって , ( ⅱ ) と (iii) は , 距離の性質を特徴づけるものである . 関数列 { } 買 = 1 ( 〃 ) に対して , Ⅱ % ー 9 訓→ 0 ( 襯 , 〃→ のとき , { 標 = 1 は基本列またはコーシー列をなすという . ( 9 れ″ ) に対して , 任意の基本列 { } 買 = 1 ( 29.11 ) ⅳれ一可→ 0 ( 〃 - → CO) となる関数 9 が , 〃の中に常に存在するとき , 〃は完備である , または閉じている という . さて , 先に定義した関数族戸 , , , Ff は , いずれも , 線型空間ではあるが , 完備でない ( 0 参照 ). それでは , これらの関数族に , ( 29.11 ) の意味での , 基本列 の極限関数をすべて付加して , 閉じた関数族にする ( 完備化する ) ことができるであ ろうか ? 内積の定義に現れる積分をルべーグ積分と解釈し , FO, , 飃 , おをを , 切で定義されたルペーグの意味で積分可能な関数 ( 可測関数という ) の全体の部 分集合と考えれば , これらの関数族は , 常に完備化できることが示される ( リース・ こで , 徴分積分学で定義さ フィッシャーの定理 ; 例えば , 小松勇作 [ 22 ] p. 193 参照 ). れる積分 ( リーマン積分とよぶ ) の意味で積分可能な関数は , ルべーグ積分も可能で あって , 両種の積分の値は一致することが示されることを注意しておこう . さて , 上のような意味で , FO, おも , Få, Ff を完備化したものを , それそれ〃 0 , 〃 〃 , ″で表す . こで , 〃 & 〃 6 , 〃をの関数に対しては , 微分の意味を拡張してお かないと , ( 29.3 ) , ( 29.6 ) , ( 29.8 ) の内積が定義できない . そこで , 5 項で , 徴分の 拡張について述べる . 一般に , 線型空間であって , 補助定理 29.1 の (i), ( ⅱ ) , (iii), ( ⅳ ) の性質をみたす内積が定義された閉じた関数の族〃は , ヒルベルト空間とよば れる 1 ). 一般に , ヒルベルト空間〃の部分集合 M が , 線型空間であって , 〃で定義され たノルムに関して閉じているとき , M を〃の閉部分空間という . そのとき , 明らか " ルべーグ積分 " を未修得の読者は , このパラグラフ ( 文節 ) の事実 , および 4 項の前半の事実を認め た上で , あとを読んで戴ければ , 理解できるであろう .

( 19.3 ) を採用できる . ( 19.4 ) 19. 連立常徴分方程式の差分近似解法〃 ー ( / ) ーおは十」わ十 F(t ) K. は十」わ十 4 は ) 十 c. ″は十」わ 2 ( 19.3 ) を採用した場合 , つぎの誤差評価が成り立つ : Ku ー十一一十 C 要十 K. は十」わ十 ( / ) 十 C. は十」わー ( わー F は十」わ十 F ( わ こで , 一般に , んの関数 ( べクトル関数でもよい ) / ( ん ) に対して , ん = 0 の近く でげ ( の / ん引 M となるような定数 M が存在するとき , / ( ん ) はん = 0 の近くで がのオーダーであるといい , / ( の = 0 ( が ) で表す . 証明簡単のために , 山 = たとおいて徴分積分学のテイラーの定理を利用すれば , ( 19.5 ) ( 19.6 ) ( わ = 4 / 十 十た ) = / 十 十 ー - ⅲー十一一十言ー 十一一找ー十一一十 ( 19.5 ) と ( 19.6 ) を加えて 2 で割れば , ″は十ん ) 十″ ( わ 2 ( 19.7 ) 3 ! 1 ( 19.8 ) ″は十た ) ー 4 ( わ ( 19.6 ) から ( 19.5 ) を引いてんで割れば , た 2 23 / 十 -7 ーの ( 0 くの < 1 , 0 くのく 1 ) . 十 0 ( た 3 ) = 0 ( ん 2 ) . 十ー十一〃 2 t 十 = 0 ( ん 2 ) . 公式 ( 19.7 ) をお①に適用すれば , ( 19.9 ) F は十ん ) 十 F ( わ 2 = 0 ( ん 2 ) . ( 19.7 ) , ( 19.8 ) , ( 19.9 ) によって , ( 19.4 ) の誤差評価が得られる . 差分方程式 ( 19.3 ) を 4 ( / 十」わについて解けば , ( 証明終 ) K C ー 1 ( 19.1 の K 2 C 一十豸ー ) 。① -IF は十」の十 F ( の 2

9 ・ 二変数関数のリツツ法 63 3 ( ェ 3 , 1 : 1 = 0 = 1 + = 1 E ( 2 一 —const. h=const. = 0 h=:const. 2 ( ェ 2 , Y2 ) ・ 十 = 1 const. 0 1 1 ( 工 1 , ) 図 9 9 したがって , ( 9.23 ) が得られる . ( 証明終 ) ここで , 有限要素法でよく用いられる積分公式を補助定理としてあげておく . 補助定理 9.2 面積座標 ( ( 1 , ( 2 , ( 3 ) に対して , つぎの積分公式が成り立っ : ( 9.25 ) 評 ( 2 駕 3 れ 1 火 2 = ( / , 川 , 〃は負でない整数 ). ( / 十襯十〃十 2 ) ! 証明徴分積分学における面積積分の累次積分への変換公式と補助定理 8.1 を利 用すれば , ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( ( 1 , ( 2 ) ーエ 3 2 ー = 2 . 評 ( 2 3 れ d ( 1 2 ( 2 3 ' ・イ ( 2 評 ( 図 9.1 の ( 2 当 1 ー ( 1 ー ( 2 ) れ火 2 評 d<) ( 8.37 ) ) ・ ( 8.38 ) ) 1 0 0 川 ! 7 戸 0 ( 川十〃十 1 ) ! 1 ・ ( 1 ー ( D + れ + 1 ( dt.l 0 1 / ! ( 川十〃十 1 ) ! 川 ! 7 い ( 川十十 1 ) ! ( / 十川十〃十 2 ) ! / ! 川リ 2 ! ( / 十川十〃十 2 ) ! ・ 図 9. 1 0 ( 証明終 )

50 第 3 章リツツ法 いて表示せよ . 4. 線座標の導入 ( 8.8 ) のれのを , 屋根型関数の ( のの代わりに , ( 8.18 ) の裔 ( のを用 基底関数の記述を容易にするために , 要素内に線座標を導入しよう . 任意なーっの によって , 無次元量 ( 1 , ( 2 で表示することができる . ( 8.34 ) 2 ーの , 1 要素を , あらためては 1 , ] とする . 召の任意の一点の位置は , ー 1 1 そのとき , であって , ( 8.35 ) 0$ ; 1W1 , OS ( 2W1 ( 1 十 ( 2 = 1 なる関係をもっている . この ( 1 と ( 2 の組 ( ( 1 , ( 2 ) を有限要素における点の 線座標 , または簡単に , 要素召における線座標という . ( 8.35 ) によって , 線座標の ( 1 と ( 2 は一次従属であることを注意しておこう . 5. 積分公式 基底関数を記述するために線座標を用いる理由の一つは , 要素内での積分が容易に できることにある . 関数 / ( のを線座標 ( ( 1 , ( 2 ) を用いて表示した型を〆 ( 1 , ( 2 ) と するとき , ( 8.34 ) , ( 8.35 ) によって , ( 8.36 ) が成り立つ . 1 工 : 0 こで , 有限要素法でよく用いられる積分公式を補助定理としてあげておこう . 補助定理 8.1 つぎの積分公式が成り立つ : ( 8.37 ) ー ( 戸い火 = m 十れ十 1 ( 襯十”十 1 ) ! > 0 ; 川 , ”は負でない整数 ). とくに , 線座標 ( ( 1 , ( 2 ) について , つぎの積分公式が成り立つ : ( 8.38 ) ( 1 2 れ 2 = ( 襯 , 〃は負でない整数 ). ( 川十十 1 ) ! 叮〃ー ( 戸い 。 ( 川十〃十 1 ) { ( " 十 1 ) 十 " 。

8. 9. 当 10. 第 4 章 g11. 12. 第 5 章 13. 14. 15. 16. iv 理論編目次 例・・・ 89 例・・・ 83 ( 97 ~ 125 ) ヨ・・・川 9 一変数関数のリツツ法・ リツツ法による近似解・・・ 43 3. 行列 K, の要素行列への分解・ 5. 積分公式・・・ 50 6. ICfrs, Fe 7. 〆の , 〆の , / ( のの近似・・・ 57 二変数関数のリツツ法 リツッ法による近似解・・・ 56 1. 1. 2. 有限要素と基底関数・・・ 45 ・・ 47 4. 線座標の導入・・・ 50 r の線座標による表示・・・ 51 4. 面積座標に関する積分公式・・・ 62 6. 行列 K, の要素行列への分解・・・ 65 8. い , の , 〆既の , / , のの近似・ 8. 例・・・ 53 2. 有限要素・・・ 58 3. 面積座標・・・ 60 5. 基底関数・・・ 64 7. Kfrs, の面積座標による表示・ ・・ 63 9. 例・・・ 70 2. 行列 K, の要素行列への分解・・・ 77 10. 差分近似法との関係・ 三変数関数のリツッ法・ リツッ法による近似解・ 1. 固有値問題 ・・ 76 ・・ 74 1. リツッ法による近似解・・・ 86 偏徴分方程式の固有値問題・ 例・・・ 85 1. リツッ法による近似解・・・ 80 常徴分方程式の固有値問題・・ ( 80 ~ 96 ) 2. 2. 3. 集中質量行列・ 3. 集中質量行列・ ・・・ 43 ・・・ 76 ・・・ 86 ・・ 91 4. 例・・・ 92 ガラーキン法 常徴分方程式・・ 1. 弱形式・・・ 97 3. ガラーキン法による近似解・ 偏徴分方程式・ 1. ガラーキン法・ 2. 重みつき残差法・ガラーキン法・ 4. 例・・・ 102 5. 行列の固有値問題の解法・・・ 94 ・・ 98 ・・・ 97 ・ 104 ・・川 4 一次元拡散方程式・ 一次元波動方程式・ 一階常徴分方程式への帰 ガラーキン法の特徴・・・川 8 2. 3. 1. 2. ガラーキン法による近似解・・・川 5 ・ 111 108 2. 拡散方程式に対するガラーキン法・・・ 108 1. 波動方程式に対するガラーキン法・ 二階常徴分方程式への帰着・・Ⅲ 2

イ寸 S 33. 積分定理 1. グリーンの公式 定理 33.1 ( グリーンの公式 ) に平面 上の , 有限個の区分的に滑らかな単一閉曲 線によって囲まれた領域を D とし , その 境界を C とする ( 図 33.1 ). = ( の , Q = Q , のは D 十 C 上で定義されたク ラス CI の関数と仮定する . そのとき , öu 売 öu öv DY öy öP öQ ~ 83 図 33. 1 dxdy— (Pdy—Qdx)= D öy が成り立っ . こで , s は C の各成分の弧長パラメター 十 Q@既ン , ö/ön は C における外法 証明は , 例えば , [ 20 ] 工業数学 I : 5 , p. 28 ー p. 32 参照 . 線方向徴分を表す . 系 ( グリーンの公式 ) 関数とする . そのとき , 担öx が成り立つ . ( の , 叭のを D 十 C 上で定義されたクラス C2 の u—d s 十 4 」 dxdy= c Dn 02 証明定理 33. 1 において , とおけばよい .