問題の解答 189 周 2 例の ( 9. 田 ) , ( 9.59 ) 式を で置き換え ((P%) は ( 9.58 ) , ( 9.59 ) と同じもの ) , 要素召の節点′の座標を ( , ) とするとき , ( 9.6 の式を な ( 2a7 十豸十 ) 十わ ( 2 十十の 2 3 で置き換え , ( 9.61 ) 式を , この式と ( 9.61 ) 式の和で置き換える . あとは , 例と同様に行 えばよい . = 29 , 30 , 31 , 32 の場合に , (K$s) が , 1 スん 2 0 2 1 24 に変更され , 指定境界条件 ( 9.63 ) が除かれるほかは , 問 2 と同じである . 9.10 (). 76 ) 0 4 0 4 10.1 (). 77 ) 2 ん 2 24 24 6 1 人 0- 一 4 1 4 1 1 0- 1 画 1 よ 0 -0- 3 1 を解けばよい . 問解略 . 10.2 (). 79 ) 問 1 解略 . 問 2 滝 ( , , の = 町裔 + 可十可帽 ( , ぎ , の e の = 1 , , 川 ; れ : は 要素の節点におけるの値 ). 第 4 章固有値問題 11.1 ( p. 83 ) 工い。 + ゎ / 工 十 4 砂 Mij ( ⅱ ) 衂 = p ″ 2 イ 4 Ⅳ = 0 , K ″ = え″ + ク裔の dx ーの 1 の 1 叩 ( の , →河の , レエ ( ⅲ ) 町衂 = : わ + の da: + ら剱 ( の ーの 1 の ( の , の 11.2 (). 84 ) 問 1 K, M は , それぞれ ( 11.25 ) , P42 , Ku=kMu, ( 11.26 ) の K, 財とし , 1 行 1 列の成分のみが

翳 19. 連立常徴分方程式の差分近似解法′ 25 中央差分法による近似式 ( 19.25 ) に , 集中質量行列を採用した場合のノイマンの安定 したがって , 」一 = ん / c と選べば , ( 19.25 ) 条件は , c ・羽坙んであることが示される . と ( 19.28 ) によって , 0 2 0 1 0 1 1 0 0 1 0 ( 19.29 ) は , ( 19.19 ) の表示を用いれば , が得られる . ( 19.3 の ( 19.31 ) ( 19.32 ) ーこで , ( 19.31 ) 式は , 偏徴分方程式 : C24 ェェ = 4 “を偏差分方程式によっ と書ける . て置き換える , 差分近似法によっても得られることを注意しておこう ( [ 21 ] 工業数学Ⅱ : p. 83 の定理 18.1 参照 ). また , m=a での境界条件が ( 16.2 ) の最初の式の場合には , ( 19.30 ) の代わりに , で置き換える . æ=b での境界条件が 4 ェ ( わ , の ( 19.32 ) のままでよ = 0 の場合には , 一次元の波動方程式の境界値問題 : e ( 0 , 1 ) , 0 く一く ) , C2 ″ェェ ( 0 , の = 4 ( 1 , の = 0 , ( 0 ミ / 2 ) , öu の近似解を , Ⅳ = 5 , ん = 1 / 4 の場合に , 上に述べた方法で , 実際に求めてみよ . 問 1 で , 境界条件 ( 19.33 ) を 〃ェ ( 0 , の = ″ェ ( 1 , の = 0 で置き換えた場合の近似解を , 実際に求めてみよ . ( 19.29 ) ー 4 れ 1 0 1 0 2 0 0 0 ( 19.33 )

722 第 5 章ガラーキン法 とおけば , ( 19.18 ) は , ( 19.2 の -1 っ 0 1 つ 41 ( 02 十 1 ) 」の = ーー { ″ 1 ( 小」の十 2 ″ 2 ( 〃・」の } , と書ける . こで , ( 19.21 ) 式は , 偏徴分方程式 : C24 ェェ = を偏差分方程式によっ て置き換える , 差分近似法によっても得られることを注意しておこう ( [ 21 ] 工業数学Ⅱ : æ=a での境界条件が ( 15.2 ) の最 p. 78 の ( 17.8 ) 式で / = 1 / 3 とおけばよい ). また , 初の式の場合には , ( 19.2 のの代わりに , で置き換える . æ=b での境界条件が ( わ , の = 0 の場合には , ( 19.22 ) のままでよ 一次元の拡散方程式の境界値問題 : は e ⑨ 1 ) , 0 く / < ) , C2 ″ェ の近似解を , 「 = 5 , ん = 1 / 4 の場合に , 上に述べた方法で , 実際に求めてみよ . 問 1 で , 境界条件を 4 ( 0 , の = 0 , ″ェ ( 1 , の = 0 で置き換えた場合について , 同様に行え . 4. 中央差分法 連立二階常徴分方程式 ( 19.2 ) の初期値問題の近似解を求めるための , 中央差分法 を述べる . 連立二階常微分方程式 ( 19.2 ) の差分近似式として , 差分方程式 : 定理 19.2 K ″①十 M. 十」の一 2 “①十は一」の ( 19.23 ) ( 」の 2 ( 19.23 ) を採用した場合 , つぎの誤差評価が成り立つ : を採用できる . ICu ①十 M ①ー F ① K 膨①十 M. 0 十」の一 2 可の十は一」の ( 羽 ) 2 上 = たとおいて , 微分積分学のテイラーの定理を利用すれば , 証明 ( 19.21 ) ( 19.22 )

ツ法 74 第 3 章リ 注意 : 各要素にの要素内節点番号 = 1 , 2 , 3 の付け方は , 召の境界を正の向きの順序に 付ける限り , 自由である . 要素内節点番号の付け方を変えれば , それに応じて , 要素行列 ( 9.58 ) , ( 9.59 ) , ( 9.61 ) の行と列の配置は変わるが , ( 9.62 ) の作り方からわかるように , 行 列 Ke, Fe は変わらない . 問 1 例において , 境界条件 ( 9.50 ) を境界条件 : ( 9.65 ) け 3 ; ßは定数 ) ön によって置き換え , 他の境界条件はもとのままにした場合の近似解を求める方法を述 べよ ( フ。ログラム 11 の例 11.2 参照 ). 問 2 例において , ラフ。ラス方程式 ( 9.48 ) を偏徴分方程式 : ( 4 = ″は , の ; ( の D; ス > 0 , のわは定数 ) ( 9.66 ) で置き換え , 境界条件はもとのままにした場合の近似解を求める方法を述べよ . で , ( 9.66 ) の右辺 / は , の = 側十切に対しては , 一次近似 ( 9.47 ) を採用せよ . 問 2 において , 境界条件を問 1 の境界条件に置き換えた場合の近似解を求 める方法を述べよ . 10. 差分近似法との関係 ( プログラム 2 の例 2.1 参照 ) 正方形領域 : 〃 = { 0 く < 1 , 0 く < 1 } におけるラフ。ラス方程式の境界値問題 : ( 9.67 ) ( 9.68 ) ( 9.69 ) a24 ″ 0y2 け 2 IJ / 3 IJ ) の近似解を , 前項の例と同様な方法で求めた場合に , 要素行列 (K る全体行列 K は , どのような構造をもっているかを考えてみよう . 74 は ( 9.52 ) によって与えられ , 領域つの要素への分割は , 図 9.18 によって与え られると仮定する . で , 汽 , ・ から構成され が , 座標軸に平行な辺の隣接節点である場合に限り 0 でなくて , ノとたを節点にも ( ⅱ ) K の非対角成分 : 行列 K の ( えた ) ー成分けキた ) の値は , 節点ノと節点ん らの寄与の総和に等しい ( 図 9.21 ). る要素からの寄与が 1 , 節点ノでの頂角が 45 。である要素からの寄与が 1 / 2 , それ ( i ) K の対角成分 : 行列 K の ( えカー成分の値は , 節点ゾでの頂角が直角であ れる : ( 9.58 ) , ( 9.59 ) によって , つぎのように解釈すれば , K の各成分は容易に構成さ

によって表すことができる . 6. 行列 K, おの要素行列への分解 分類する ( 必要ならば , 適当に番号をつけなおして ) : 領域 D の三角形要素への分割召 = 1 , ・・・ , 川の節点ノ = 1 , 翳 9. こで , , 再 , は ( 9.21 ) によって定義される . 要素における要素内節点 = 1 , 2 , 3 に対応する広域節点番号 ( 領域 D 全体で ・ , のにおける , 要素内節点番号を = な ( 1$ な $3 ) とするとき , D におけ ・ , のとし ( 図 9.12 ) , 節点ノの , 各 ( いま , 節点ノを頂点にもつ要素をの , る基底関数のは , の朝 = 1 , ・・・ , N) は , 一次三角形要素 ( 9.26 ) を用いて , 二変数関数のリツッ法 65 ( 9.27 ) ( の のは , の一 ( ( の eG ー CJ 1 ; ノ = 1 , ・ , N を , つぎのように D の内部にあるもの : C2 上にあるもの : CI 上にあるもの : ノ = 1 , ゾ = ん十 1 , ・・・ , ノ = / 十 1 , ( 1 く / ん $N ). 領域 D は , 近似的に , 閉領域 G=CJt=re で置き換えられ , 境界部分 C2 は , 近似 的に , 境界部分で置き換えられる ; る部分をとする ( 図 9.14 ). C2 図 9.14 ーこで , G の境界おのうち , C2 に対応す 図 9.15 定理 9.1 において , 基底関数の ( のけ = 1 , ・・・ , N) として , 5 項で定義したビ 一次元の場合には , この計算を各要素ごとに分けて行うと便利であることを知った . ド刑関数を採用した場ムに フミッョニ 二次元の場合も事情は同じである . ( 9.13 ) の行列 K, F を計算する方法を述べよう .

一変数関数のリツツ法 6 8. 0 十 0 55 6 ( ー 2 ) 3 ー 4 これらの K, おを用いて , 連立一次方程式 ( 8.11 ) の解均け = 1 , ・・・ , N) を求めれ ば , 近似解 ( 8.8 ) が得られる . こで , 行列 K , F の第一行は不要である . 問 1 ( i ) ( ⅱ ) (iii) ( ⅳ ) ( v ) (vi) つぎの徴分方程式の境界値問題のリツツ法による近似解を求めるための要 素行列 ( 8.51 ) , ( 8.56 ) を求め , 近似解を求める方法を述べよ : れ″ー 44 ー れ″ー 44 4 ″ー 4 〃 4 ″十 4 ″ ″″十 44 4 ″十 4 ″ー ( i ) は e ( 0 , 1 ) ) , は e ( 0 , 1 ) ) , は e ( 0 , 1 ) ) , が⑨十⑨ = が ( 0 ) 十 4 ⑨ = 嘶 , が⑨ = 4 ( 1 ) = が ( 1 ) 十 Pu ( 1 ) = PI ; —sinrx は ( 0 , 1 ) ) , ″⑨ = 0 , ″′ ( 1 ) 十 P ″ ( 1 ) = ßl. 例において , 境界条件が 4 ⑨ = 0 , 雇 ( 1 ) = ー 1 / 4 であって , N=3, ん = 1 / 2 の場合に , 実際に近似解を求めてみよ . = 1 / 3 とした場合に , 実際に近似解を求めてみよ . (i) において , 境界条件を″⑨ = 0 , ″ ( 1 ) = ー 1 / 4 で置き換え , N=4, ん に , 実際に近似解を求めてみよ . (i) において , 境界条件を⑨ = ー 1 / 4 , ( 1 ) = ー 1 / 4 で置き換えた場合 を採用した場合の要素行列 (K;s) を求めよ . 問 3 定理 8.1 の系において , 〆の , 〆の近似として , 一次近似式 : 1 の例 1. 1 を参照 . 注意 : 問 2 ( i ) , ( ii ) , (iii) の理論解は , いすれもれ ( の = ー 4 である . なお , プログラム 〔前頁の注〕 1 ) この例では , / ( のの一次近似式は / ( の自身である

川 0 第 8 章有限要素法の誤差 llap 十 P lla 可。十 0 = トⅡ 0 十トⅣⅡ 0 く ゆえに , 十 P e 乙 2 @ の . したがって , が @ のは線型空間である . さらに ん 2@ のは完備であることが示される ( リース・フィッシャーの定理 ). したがって , ん 2 ( 〃 , のはヒルベルト空間である . これをが一空間という . [ 4 , でクラス CO の関数であって , 条件 : 9 ( の = 0 0 + ( の で無限回徴分可能な関数のクラス C - を定義する . こで , あたらしく , 区間 ( レ = 0 , 1 , Cä=cvncg る . さらに , 関数のクラス : こで , ö(p) は関数 9 に関係する正数であ をみたす関数 9 の全体を C8 で表す ; 図 29. 1 ) 6 図四 . 1 を導入しよう . そして , 関数のクラス c;=&ncg を定義する . 定理 29.1 任意のん 2 ⑦ , のに対して , lim 腫 ,. ー可 0 = 0 ( 9 れ eC わ れ→ をみたす関数列 { 臾。が存在する ; すなわち , C; はが @ ので稠密である . こで , Cj は Cä ( ン = 0 , 1 , ・・・ ) で置き換えてもよい . この定理は , ルべーグ積分の基本定理の一つである . 証明は省略する . 明らかに , 関数の集合として , C ー c ″ 0c ん 2 @ のであるから , 定理 29.1 によっ て , ヒルベルト空間〃 0 は , ん 2 ー空間と一致することがわかる : 〃 0 = が @ の . が成り立つ . こで , Ct は Cä ( ン = 0 , 1 , ・・・ ) で置き換えてもよい . 〆の = 0 e が@ のとするとき , 任意の tibeCj に対して , ならば , ( 29.14 ) 定理 29.2 ( 証明終 ) したがって , 補助定理 29.1 ( ⅳ ) によって , こで , ( 29.14 ) によって , ( 9 , ) 0 = 0 であるから , Ⅱ可 02 れ→ lim(), 9 れ ) 0 = ( 臾 , の 0 = Ⅱ可 02. す関数列 { } が存在する . そのとき , 補助定理 29.3 ( ⅱ ) によって , 証明定理 29.1 によって , 9 れ eC であって , れ一可 0 → 0 ( 〃→ ) をみた

翳 29. ヒルベルト空間・徴分の拡張 に , M はヒルベルト空間である . 759 今後 , よく利用される , ヒルベルト空間からの , つぎの補助定理を準備しておく . 補助定理 29.3 ( 〃 = 1 , 2 , ・・・ ) が 9 にノルム収東すれば , すなわち , 椏Ⅱくをみたす , 任意のに対して , れ一可→ 0 ( 〃→ ) ならば , つぎの ( i ) , ( ii ) が成り立つ : ( ⅱ ) ( ⅱ ) 証明 ( , の→ ( 9 , の , ⅡⅡ 2 のいずれでもよい . (i) 三角不等式によって , % または ( れⅡミ砂れ一十Ⅱ可 , 腫Ⅱゅー店Ⅱ十訛 0 引 ( , ー ( 9 , のトー臾 , の腫れ一可・Ⅱ刺→ 0 シュワルツの不等式によって , 0 引れⅡー旧引ゆれ一可→ 0 ( 証明終 ) 4. が一空間 区間わ ] で可測 ( ルべーグの意味で積分可能 ) であって , ( 29.12 ) 9 ( の 2 イく である ( 実数値 ) 関数〆のの全体をん 2@ ので表す . 臾 , e が@ のに対して , 内積 , ノルムをそれそれ ( 29.1 ) , ( 29.2 ) によって定義すれば , この内積とノルム に対して , 補助定理 29.1 と補助定理 29.2 が成り立つ . こで , ノルムの存在は , ( 29.12 ) によって保証されるが , 内積の存在も , ノルムの存在とシュワルツの不等式 によって , 保証される . また , 補助定理 29.1 ( ⅳ ) の等号が成立する場合については , 三 0 は , 殆んどいたるところ (almost everywhere) 9 = 0 で置き換えられる ; すな わち , ( 29.13 ) 伊 = 0 a. e. で置き換えられる . ( 29.13 ) は , ルべーグの意味で , 測度零の集合を除いて , = 0 であることを意味する . が@ のでは , ( 29.13 ) の関数 9 は , 9 三 0 である関数と 同じものとみなす . さて , 9 , e が @ のならば , 任意の実数 , P に対して , 三角不等式と補助定理 29.1 ( ⅱ ) によって ,

84 第 4 章固有値問題 0 0 ・ 0 ここで , K, 財は , ともに , ル行Ⅳ列の行列であるが , K, M ともに , 第一行は不 要であって , それらを省略した ( N ー 1 ) 行 N 列の行列をあらためて K, M として , 行列の固有値問題 ( 11.17 ) を解けば , 定理 11.1 によって , 固有値問題 ( 11.23 ) の 近似解が得られる . 問 1 例において , ( 11.23 ) の境界条件を , つぎの境界条件で置き換えた場合に , 例にならって , それぞれ近似解を求める方法を述べよ : ( i ) ( ⅱ ) (iii) 雇 ( の十伐 ( の = 0 , れ ( の = 0 ; ( ⅳ ) の = 0 , ( の十 P 〃 ( の = 0 ; ( v ) ( の十〃 ( の = 0 , が ( の十 4 ( の = 0. (vi) 例において , 〃 = 0 , わ = 1 , N=3, ん = 1 / 2 の場合に 問 2 , 実際に , 近似解を求 めてみよ . 3. 集中質量行列 通常の有限要素法では , 行列 K と M を定義するための基底関数のけ = 1 , ・ Ⅳ ) としては , 同一のもの ( 例えば , 屋根型基底関数 ) を使用するわけであるが , 理 論的にも , 数値実験からも , この場合の固有値石は = 1 , ・・・ , N ) は , もとの徴分方 程式の固有値よりも , 常に大きめになることが知られている ( str g - F ⅸ [ 1 ] の 6 章 , お よびプログラム 3 の例 3.1 参照 ). そこで , もとの徴分方程式の固有値よりも , 常に小さ めの固有値が得られる方法を述べよう . 行列 K はもとのままにして , 行列 M を定義する基底関数を , 区分的に定数であ る関数で置き換える . 要素召 = 1 , ・・・ , N—I) ごとに述べれば , 今までの一次線要 素 ( の = 1 , 2 ) の代わりに , つぎの線要素 ( の = 1 , 2 ) を採用する : 0 -1 0 1 -4 1 4 1 ワ ~ 1 0 6 M= ( 11.26 ) 0 1 りん 1 ・ 4 1 -4 1 0 1 0 0

724 第 5 章ガラーキン法 れェ ( 0 , の = ″ェ ( 1 , の = 0 で置き換えた場合に , ル = 3 , ん = 1 / 2 , c ・羽 = んⅣを 実際に近似解を求め と選んで , てみよ . 5. 集中質量行列 一次元の波動方程式の境界値問題 : ( 16.1 ) , ( 16.2 ) , ( 16.3 ) において , 簡単のため に , ア ( わ三 0 , の三 0 , なわ三 0 と仮定しよう . 前項で述べた中央差分法において , 行列 M として , 集中質量行列 ( い 1 の 3 ) を採 用した場合を考えてみよう . そのとき , ( 19.25 ) において , K, M の要素行列は , そ れぞれ 1 1 (K;s)=c2(Pfrs)= であるから , 0 -1 0 1 0 2 M は対角行列であるから , M-I が簡単に求まり , 0 1 0 1 ワ 3 1 ワ】 1 1 -1 0 M= ん K= ・・ 0 1 0 0 1 / 2 0 1 0 0 0 2 0 ・ 0 0 2 0 2 / ー ( 」の 2 財 -IK = ( 19.28 ) 2 0 0 0 0 1 0 1 ワ 3 ワっ朝 -1 ワ 3 1 0 c2 ( 」わ 2 0 ー 1 2 ー 1 0 ー 2 2