26 2. 運動の法則 となる . ( 2.4 ー 1 ) , ( 2.4 ー 2 ) を質点の運動 方程式とよぶ . ( 2.4 ー 1 ) を言葉でいえば , 質点に力が働くときには , 質 点は慣性系に対して , 力の方向 に , これに比例し質量に反比例 する加速度を持つ ということができる . これを運動の第 2 法則とよぶ . 力学の問題では , カ ( X , Y, / ) が質点の位置の関数として与えられ , ( 2. 4 ー 2 ) の微分方程式を解いて , 位置仕 , 必の を時刻ーの関数として求めるものが多い . 運動の第 2 法則は直接実験から導き出した 法則というよりも , 力と加速度の関係を取り (d) きめた , つまり定義を導入した形になってい 2.4 ー 1 図質点に働くカ る . このようにしてきめた力を扱いながら , 惑星の運動のようなものを論じることにな る . 万有引力のような距離の 2 乗に反比例する力も自然界に現われるのであ る . しかも万有弖 -. I 力の - 法胆ドよって , 惑星の運動や人工衛星の運動を計算する と実測ときわめてよく一致する結果が得られる . これが運動の第 2 法則の正し いことの験証と考えてよい . 力の単位は ( 2.4 ー 1 ) または ( 2.4 ー 2 ) によってきまる . CGS 制では = 1 g, ス = 1 cm s-2 をとってそのときのカの大きさを 1 ダイン (dyne, 記号 dyn) カ ( 2.4 ー 2 ) 張られた糸 カ (c) カ 面からの 抗力

第 1 章 問 題 17 と書くこともできる . 3r [ 注意 ] r は位置べクトル , / = イ / イ 2r は速度べクトル , ス = 2 は加速 度べクトルで , 3 には名前がついていない . それは , 力学では加速度がカとの関 3r 係で大切な量であるからで , 3 は重要な意味を持たないからである . [ 例 3 ] 地球のまわりに , 表面すれすれに大円を描いて等速円運動を行う点の加速 度が 9.80 m s-l であるためには , 1 回りするのにどれだけの時間がかかるような速さ でなければならないか . 地球の半径は 6.37 x 106m である . ( 答 84.4min ) 第 1 章問 題 1 . 2. 空間の 1 つの点の位置の極座標を乙日 , とする . 乙 0 方向け方向は日を 一定にしてだけが増すような方向 , 他も同様である ) の方向余弦を求めよ . 3 つのべクトル , お , C を 1 つの点 O から引くときこれらが一平面内にあるた めの条件を求めよ . 3. 2 つの点 A, B の位置べクトルをス , 召とする . A, B 両方の点を通る直線の方程 式は r = ( 1 ース ) 十 AB, であることを証明せよ . ス : パラメター 4. 1 つの平面は , 平面 ) 内にあるべクトルスの成分が Ax = cos , ッ とは互いに直角になっている ス sin ( ス , のは定数 ) で与えられるときスと ことを証明せよ .

は , 単位時間に何回往復するかを示すもので振動数とよぶ . 振動の数で角振動数とよばれる . [ 例 1 ] 振幅 10cm , 振動数 2s ー 1 , 初相 0 の単振動を式で表すと , % = 10COS ( 4 ) となることを示せ . し , 半径 / の円周上を一定の角速度ので運動する点 P の座標は 等速円運動の加速度を求めておこう . 1.4 ー 2 図のように , 原点 0 を中心と 影の運動は , 単振動ェ = cos ( ) であることを示せ . [ 例 2 ] 半径の円周上を一定の角速度ので運動する点の , 1 つの直径上の正射 16 となる . = の ( 1.4 ー 21 ) 1. べクトル速度加速度 T ー 2 兀 ( 1.4 ー 19 ) のは時間 2 の P ( ェ , の P00 O Q = sin ( の十 ) % = cos ( の十 ) , で表される . 加速度を求めれば ( 1.4 ー 16 ) と同 ( 1.4 ー 20 ) となる . したがって つまり , P から 0 の方に向いてい と一致することがわかる . また ( 1.4 ー 20 ) の右辺 まず加速度の方向は半径 OP の方向 となるから , 1.4 ー 2 図等速円運動と単振動 に負の符号があることから OP と逆向き , ることがわかる . 大きさは で与えられるから である . また , P の速さ / は 2 2 1 / 2 2

10 1.2 ー 9 図 2 つの座標軸 1. べクトル速度加速度 4 ( 1.2 ー 12 ) を使って , あるべクトルスを 2 つのちがう座標系で表すときの成分の間 の関係を求めよう . 座標系を (), ェ , 必名 ) と (O', , ぎ ) とする . 座標軸の間の関 係は , 各軸間の角の cosine が与えられれ ばきまるのであるが , これを表にしてお ( 1.2 ー 12 ) で s を ' , , ぎと考えれ ば , x / 3 十ッ襯 3 十考 x / 2 十ッ襯 2 十スル ス x / 1 十ッ 1 十 ~ ( 1.2 ー 13 ) となる . 仕 , 必名 ) と仕 ' , ぎ ) の役割を交換すれば x ・ / 1 十 , / 2 十 / 3 x ・ 1 十 2 十 3 ズ , 〃 1 十ッ喞 2 十考 3 ( 1.2 ー 13 ) ' 工 ッ 名 工 ム / 2 / 3 ア 2 名 〃 2 3 となるが , これは ( 1.2 ー 13 ) をスズ , ~ について解いたものと考えてよ ここに使っている方向余弦は 9 個あるが , / 12 十 12 十川 1 , / 22 十 22 十ル 2 2 2 1 , / 32 十 32 十 3 それらの間には / 1 / 2 十 1 襯 2 十〃 1 / 3 / 1 十 3 襯 1 十 3 川 / 2 / 3 十 2 3 十〃 3 = 0 , トルの成分の変換の性質を示すもので , べクトルの基本定理である . ( 1.2 ー 13 ) ' は座標系を変えたときのべク の 6 個の関係式がある . ( 1.2 ー 13 ) , ( 1.2 ー 14 ) 位置べクトルが時刻がたつにつれて変化し , 時刻 / で r = OP であったの 1 .3 速度べクトル

3 点の位置の表し方 い . 1 うすれば 1.1 ー 2 図 ( a ) のように , P の 位置は O から引い た 1 本の矢で表され る . これを通常 OP と書いたり , 距離 の記号を太い字で書 1.1 ー 2 図位置べクトル いて r と書いたり する . そしてこれを位置べクトルとよぶ . 通常 , 基準体は描かず , 図 ( b ) のように描くが , これは実は不完全な図で , 基準体は 1 つの点 O ではなく , 大きさのある剛体であることに注意せよ . 図 ( c ) のように座標系 ( 同時に基準 体を兼ねる ) をとれば , OP の方向は , % 軸とつくる角で与えられる . は , ⅵとけ , のの関係は , 工 = % COS , 0 準 体 4 S1n ( 1.1 ー 1 ) である . 座標系 Ox,Oy を基準体上にとるとり方はい ろいろとある . 2 つの座標系を (Ox, (Y) , O 工 ( O 気 0 ' ) とするとき , O' が O に一致する 1.1 ー 3 図座標の変換 こともあるし ( 1.1 ー 3 図 ) , また一致しないこともある . また , 0 ぁ OY がそ れぞれ 0 ' , O ' に平行であることもあるし , 一方の座標系が他の座標系に対してある角だけ 回転したものであることもある . [ 例 ] 原点を共通に持っ 2 つの座標系の軸が 1.1 ー 4 図のように 4 の角をつくっている . 任意の点 ( ) の間にはどのような関係 P の座標は , ⅵ , があるか . また 0 = x2 十 2 2 十 1.1 ー 4 図

8.6 質点系のエネルギー Utk = Ukz とおく . となる . U2 = U12 いま i くん U = 2 U. ん 167 ( 8.6 ー 3 ) ここでく々としたのは , たとえば , 第 1 , 第 2 の質点についていう と , U12 という項をとって U21 はとらないという意味である . つまり , 質点 の対 (pair) に対して総和をとるという意味である . ルに働く内力は öU öU 質点系がある配置から他の配置に移るまでに内力が行う仕事は , で与えられる . ー grad U 成分は ーエ ( 当 öU öU dU = UI ー U2 ( 2 ) U が質点の配置によって一義的にきまるならばこのルの値は途中の道筋に 態にある質点系の位置エネルギーとよぶ . ( 1 ) を任意の状態 P とし ( 2 ) を 0 はよらない . そのとき , たとえば ( 2 ) の状態を基準にとってルを ( 1 ) の状 と書き UI = U, U2 = 0 とおけば öU dxz 十 質点系内の 1 つ , たとえば , 番目を選んで , に対する位置エネルギーを考えれば , Uz = 2 Ukt öU öZi これに働くすべての内力の和 ( 8.6 ー 4 ) ( 8.6 ー 5 ) であって仏ん = Uki であるから ( 8.6 ー 3 ) によって くわしくは , したがって , U21 十 U31 十 U41 十・ 十 U32 十 U42 十・ 十 U43 十・ = 2 Utk i くん U13 十 U23

第 6 章問 題 125 1 4 1 CGS 制の公式 ( 6.6 ー 5 ) ″ S lll となる . 第 6 章 問 題 1 . 単振り子 ( 長さ I, おもりの質量をつるしている点が , 質量のないばねに よって水平に左右に動くことができる . ばねの復元力の定数を c として , その小 振動の周期が 2 兀 で与えられることを示せ . この物体はど 2. 滑らかな球面の頂点に物体をのせ , 初速協で物体を滑らすとき , こで球面を離れるか . 3. 質量の質点が滑らかな放物線 = 2 はは水平 , は鉛直下方にとる ) に 束縛されていて , 最高点 ( 頂点 ) から協の速さで運動をはじめる . 任意の位置で の束縛力を求めよ . 鉛直面内にある滑らかなサイクロイド 鉛直上方 = 4 ( 1 ー cosO ) , % : 水平 , x = 4 ( 日十 sin の , この質点の往復運 の上に束縛されて重力の作用を受けながら運動する質点がある . 動の周期は振幅によらない ( 完全な等時性つことを示せ . 問題 4 の逆 , すなわち , 質点を鉛直面内にある滑らかな曲線に束縛して , 重力 作用下で運動させるとき , どのような曲線を使ったら完全な等時性が保たれるで あろうか . 地球表面で水平に初速協で質点を投げるとき , その後の質点の軌道は協のい ろいろな値に対してどう変わるか . tautochrone. tauto は等しい , chrone は時間の意 .

124 6. 単振り子の運動と惑星の運動 角の面を考える . 力の中心からカ , カ十の間にある面積は 2 ゆで , これ をめがけて入射する粒子の数は 2 ゆ x / である . これらの粒子がの散乱 角で散乱される . ( 6.6 ー 4 ) を使って ( 6.6 ー 3 ) を書けば ー 2 カ cot 2 〃 0 したがって 2 1 〃 0 カ = cot 4 2 となる . @, 十イの間の散乱角の方向の小立体角をのとすれば の = 2 sin これらの式から , 散乱角 @ の小立体角内に , 単位時間に散乱される粒子 数は 2 40 4 2 カ 2 これから cot CO sec 2 ゆ x / = / これを / で割ったものをび (@ 滬のとすれば 2 cosec 2 1 ( 6.6 ー 5 ) SIII 2 となる . び (@) のデイメンションはび = 2 ゆからわかるように面積のディ メンションである . び (@) を散乱の徼分断面積とよぶ . ( 6.6 ー 5 ) はラザ フォードの散乱公式とよばれるもので , 偶然のようであるが , 量子力学でも同 じ結果を与える . はじめ Rutherford が住粒子の散乱について古典力学を使っ て導き出したものである . ( 6.6 ー 5 ) 式で ( 6.6 ー 1 ) によって 40 をもどしてお けば SI 制の公式 ( 6.6 ー 5 ) ' 8 兀 Eo ″ 2 となる . 量子力学 , 原子物理学では CGS 制で書かれることが多い . SI 制から CGS 制に移るのには , クーロンの法則でを一一とおいた形になるので , 4 ( 6.6 ー 5 ) ' は

となる . この根号の中が 0 になるのはイツ襯 = 0 になるところで , それは が極小 , 極大のところであるから , 近日点と遠日点を与える . 6.2 惑星の運動 たものであるが * , これをまとめれば ( a ) 惑星は太陽を焦点の 1 っとする楕円軌道を描く . ( 6.2 ー 19 ) 113 の項の第 2 項に ( 6.2 ー 2 ) を入れて , と市との関係を求めればよい . ( 6.2 ー 1 ) と面積の原理の式 ( 6.2 ー 2 ) にかえって , ( 6.2 ー 1 ) の運動エネルギー つぎに惑星の位置と時刻との関係を求めよう . それにはエネルギー保存の式 これらは運動の法則と万有引力の法則とから全部導き出されたわけである . (c ) 惑星の周期の 2 乗は長半径の 3 乗に比例する . (b) 惑星の太陽のまわりの面積速度は時間にかかわらず一定である . GMm 十 ( 6.2 ー 18 ) これらの点では 6.2 ー 3 図から であるから 十 十 近日点 遠日点 2E 2E = ( 1 ーの % = 4 ( 1 + の レー〃 ( 1 ーの ] [ 冰 1 + の一月 2 4 となる . とおけば , トレミ こで , 通常の方法にしたがって または = 46 COS 4 = 4 ( 1 ー ど cosu ) (Ptolemy) の天動説 , コペルニクスの地動説 , ケプラーの法則 , 特に Kepler が火星 についてその楕円軌道を見出した経緯については , たとえば , 原島鮮 : 「質点の力学 ( 改訂版 ) 」 ( 基礎物理学選書 1 , 裳華房 , 1984 ) 170 べージ以下にくわしい .

. 2 < の 0 < 2 ーの範囲では , ら , 糸はそこでたるむ . 惑星の運動 103 くの 0 < / = 0 になる前に必ず S = 0 になるか / = 0 になるところはないが , S = 0 に では S = 0 になるところはない . したがって糸はたるまない . の範囲では , なるところがあるから , やはり糸はたるむ . の 0 > 結局糸がたるまないのは , の 0 < 範囲のときである . か , またはの 0 > のどちらかの 単振り子の運動が鉛直面内にかぎらず , 質点が球面上に束縛されているだけのとき には , これを球面振り子とよぶ . その場合の運動については , 山内・末岡編 : 大学演 習「力学」 ( 裳華房 , 1980 ) 81 ページを見よ . 6.2 惑星の運動 万有引力については新 . 1 ( 5.1 ー 2 図 ) で述べ , ( 5.1 ー 17 ) によって式で表し こでは太陽の質量を M, 惑星の質量をとし , 、 .- 太陽は原ー ておいた ーとしてそのまわりの惑星の運動をし らべよう . そのためには , 運動方程式から出発 しなくても , 第 5 章で得られている 2 つの積分 から出発すればよい . 万有引力は中心力であるから , . 6 で述べ たように , 惑星の運動は一平面内に限られる . それゆえ , この平面の中で極座標をとり , 乙 としよう . 2 つの積分のうちの第 1 は力学的エネルギー 6.2 ー 1 図太陽と惑星 保存の法則である . これは , 前に ( 5.1 ー 20 ) で与えておいた . 運動エネルギー を乙を使って書けば ( ( 5.4 ー 2 ) 参照 ) 1 2 となる . Mm ( 6.2 ー 1 )