5.1 力学的エネルギー保存の法則 öU の + 十 となるが , この括弧内はあ必の増し高 , , に対する U(), め名 ) と いう関数の増し高 dU である . öU öU öU dU = 十 十 したがって ( 5.1 ー 7 ) は , U が 1 価関数であることを考えに入れて dU = U(PI)— U(P2) 71 ( 5.1 ー 9 ) ( 5.1 ー 10 ) ( 5.1 ー 6 ) は となり , 1 2 1 一ワ 0 一」 U ( % 1 , 必 , 名 1 ) ーし ( % 2 , 2 , 名 2 ) ー襯協 2 ( 5.1 ー 11 ) 協 2 の式を書き直せば となる . 協 2 十 U ( % 1 , 必 , 名 1 ) = 協 2 十 U 仕 2 , 2 , 名 2 ) となるが , 左辺は PI での運動状態に関係し , 右辺は P2 での運動状態に関係 また , PI , P2 は運動中の任意の 2 点でよいから , 結局 , 運動中 している . 1 ー 2 十 U(), 必名 ) = 一定 = E 2 1 2 1 2 ( 5.1 ー 12 ) でなければならない . また , X, 必 , Z があ必名の 1 価関数で , ( 5.1 ー 7 ) の積分の値が PI から P2 までの径路にはよらず , ただ PI, P2 の位置だけによるときには , X, Y, / は ( 5.1 ー 8 ) によってある 1 つの 1 価関数 U(), 必幻から導かれなければならな いことを証明することができる . ( 5.1 ー 12 ) をみると , カ (), Y, 幻がこのような性質を持っとき , 質点の 運動中一定に保たれるものは , 質点の速度に関係している ( 1 / 2 ) にという 量と , 位置に関係している U(), 必 ) という量の和になっている E であるこ とがわかる . この E を力学的エネルギーとよび , ( 1 / 2 ) 加 / 2 を運動工 ( 5.1 ー 8 ) をみると , ネルギー , U(), 必名 ) を位置エネルギーとよぶ . これを満足する U に定数を加えてもやはり満足することがわかる . つまり ,

8.6 質点系のエネルギー Utk = Ukz とおく . となる . U2 = U12 いま i くん U = 2 U. ん 167 ( 8.6 ー 3 ) ここでく々としたのは , たとえば , 第 1 , 第 2 の質点についていう と , U12 という項をとって U21 はとらないという意味である . つまり , 質点 の対 (pair) に対して総和をとるという意味である . ルに働く内力は öU öU 質点系がある配置から他の配置に移るまでに内力が行う仕事は , で与えられる . ー grad U 成分は ーエ ( 当 öU öU dU = UI ー U2 ( 2 ) U が質点の配置によって一義的にきまるならばこのルの値は途中の道筋に 態にある質点系の位置エネルギーとよぶ . ( 1 ) を任意の状態 P とし ( 2 ) を 0 はよらない . そのとき , たとえば ( 2 ) の状態を基準にとってルを ( 1 ) の状 と書き UI = U, U2 = 0 とおけば öU dxz 十 質点系内の 1 つ , たとえば , 番目を選んで , に対する位置エネルギーを考えれば , Uz = 2 Ukt öU öZi これに働くすべての内力の和 ( 8.6 ー 4 ) ( 8.6 ー 5 ) であって仏ん = Uki であるから ( 8.6 ー 3 ) によって くわしくは , したがって , U21 十 U31 十 U41 十・ 十 U32 十 U42 十・ 十 U43 十・ = 2 Utk i くん U13 十 U23

288 13. ラグランジュの運動方程式 ー grad ー B = rot 4 öAz ööAx によって与えられる . rot スは成分が x であるようなべクトルである . いま , ークス・十ク = ー〆ス x 十十ス ) 十 で与えられる関数 U をとると , イöU öU ( 13.5 ー 2 ) ö(A ・の 元十 öAy öAx 砒ス イ十 十 十 ・ツ砒一 十 öp 00.0 ー 00 = ク朝 x B)x 十ズ = となる . したがって , ラグランジュの運動方程式 ( 13.1 ー 11 ) は öT DT DU öU 市 öi ん = T ー U となるので ( 13.5 ー 4 ) とおけば 市öi ( 13.5 ー 5 ) 同様に となって , 保存力の場合の方程式とまったく同様になる .

(b ) ラグランジュの括弧式 ( 15.4 ー 7 ) の左辺を öqr r öu レ , ル , 4 = 2 右辺を Du 320 öQr öPr 15. 正準変換 も正準変換に対して不変量であることがわかる . これらの積分の不変量は , 積 ・ / 面 1 1 ・ なども , また最後に 五 - 卿・ 2 記カ . 面 , 面・ ( 2 は , , , の組につき加える ) 分範囲にはよらないから絶対不変量とよぶ . öør 売 売 öør öu öPr öu と書こう . 括弧の右下にカとか P, Q とか書いたのは使っている正準変数 を書いたものである . ところで ( 15.4 ー 7 ) によれば , これらの変数の組が正準 ただ 変数であれば値が等しい . したがって , カとか P , Q とかの但し書きは不要 であるから öQr öPr öu 売 と書くことにする . すなわち , öqr öQr öu 売 ( 15.4 ー 8 ) , は正準変換に対する不変量 ( の 1 つ ) である . これをラグランジュの括弧式とよぶ . 伝ⅵ = ー吐 であることはすぐわかる . ( 15.4 ー 8 ) の定義から c : 定数 ( 15.4 ー 9 ) ( 15.4 ー 4 ) で考えた 2 次元の , 面として , ク s のつくる座標面を考える . ラグランジュの括弧式を扱う場合 , 正準変数を使っているかぎりこれを明示する必要はないが , 時によっては { 4 , レ 4 , { 4 , レ 0 のように書いて扱うと , 今何をしているのかが明らかになって都 合のよいこともある .

い 5.4 正準変換の不変量ボアッソンの括弧式 323 となり , 上の表現の値は変わらない . それで正準変数を示すことを省略して * öu 売 öqr öpr ボアッソンの括弧式とよぶ . öu 売 ( 15.4 ー 14 ) öPr öqr この括弧式はラグランジュの括弧 と書き , ( 15.4 ー 15 ) öut öuo öPr öqr öui Du ん 式よりも使い道が広いもので , 量子力学の括弧式はこの古典力学のボアッソン の括弧式に対応している . * * 定義から である . ボアッソンの括弧式はラグランジュの括弧式と密接な関係にある . しゝ , / , 41 , 41 42 42 / とする . カ 1 , 関数と考えられるから , をつくってみよう . 2 / ・ , のの互いに独立な 2 / 個の関数 42 / ( カ 1 , 42 ( カ 1 , ( カ 1 , ・ , を解けば * * * これらは , 42 , , , ] をつくることができる . öuz i,r,s öu, öPr öQs それで öPs öøs öuz ラグランジュの括弧式の場合の ( 15.4 ー 8 ) のところの脚注で注意したように , ボアッソンの括弧 式の場合にも , , 司 p,q , [ 4 , 司のように変数に何を使っているかを明記しておくと理論の展開 の学習に便利なこともある . ボアッソンの括弧式の書き方には [ 4 , 司 , { 4 , 月などがあるが , こでは量子力学で多く使われ ている書き方に合わせて [ 4 , 司と書く . P. A. M. Dirac: The P れ c 0 / Q 厩 4 襯 Mechanics, Fourth ed. (Oxford, 1958 ) 85 ページ : 日本語訳 , 朝永振一郎 , 他 : 「量子力学」 ( 岩波書店 , 1968 ) 114 ページ . ( 15.4 ー 15 ) をカ 1 , ・ , 4 / について解くことができるための条件については , 高木 貞治 : 「解析概論」 ( 岩波書店 , 1961 ) 299 ページ .

319 い 5.4 正準変換の不変量ボアッソンの括弧式 ・ , ル ; t) とすれば , ( 15.1 ー 13 ) によって , öW öW öqr ' この第 1 の関係式を使えば , であるから , ö2 ル ö2 ル öPr öqs öu öu öu ö2 ル öas ö2 ル ö2 ル öar öqr DPs öqs öu öu öu öu öqröPs öar öar öPs この式の第 1 項の 2 の中にはと s を変換した対があるが , それらは符号 が逆であるから 0 となる . したがって , öPs öQr öu öu öu öu öQr öPs DQr ( 15.4 ー 6 ) の第 2 の関係式を使って , また , ö2 ル öPr öQs 2 Q こ öPr öu öu r,s öqsDPr öu öu öPr DQs öQ r öPr 売 売 をル ( の , ( 15.4 ー 6 ) 十十 十 したがって , öQr öPr öPr öu öu öu öu öQr öPr 売 売 これと ( 15.4 ー 5 ) , ( 15.4 ー 5 ) ' とから は正準変換に対する不変量であることがわかる . まったく同様にして ( 15.4 ー 7 )

328 ( b ) ( c ) ( d ) 15. 正準変換 [ 41 , 司 + [ 42 , 司 + [ 術 , 司 + 2 , 司 [ 術十 42 , 十 2 ] ( 15.4 ー 23 ) ( 15.4 ー 22 ) 4 ん ) で術 , ・ はそれぞれク 1 , ・ öU öV öqr öør ′ Dup öQr öU öup ・・・ , ルの関数であるとき öPr öU öuA ö. 力ア öV öuA öU ′öup ö. 力 öuA んöU え , ′ = 1 öup つまり , ス < p öV öuA öU えく p öu ′ öU ö / öU ö / öuA Dup öup ボアッソンの恒等式 * この左辺を , 司と書くこともある . ハミルトニアン″が一を陽に含まないときには , おいて , したがって öu ′ öU öuA öup スöQr ö / öuA ( 15.4 ー 24 ) ( 15.4 ー 19 ) で F = 〃と ( 15.4 ー 25 ) となる . また , F ( カ 1 , 〃について , ・ , の ) が一を陽に含まないで , ハミルトニアン ヤコビ (Jacobi) の恒等式ともよぶ .

öøs öuj öqs öqs DPr öqr öu 々 ö. 力アöqr öu 々 + 2 = örs, 第 2 項で 第 1 項の 2 の中で = 0 , 第 3 項で öut öqs öu, öøs Dqr öuz ö, 力アöu ん öPr öu ん 324 öuj ö. 力 15. 正準変換 DPr öut DQr öu ん öqs öu, öPs öPs DQ ァöør öu ん öqs öuj öPs öuj öuz öøs öuj öqs 2 öqr öuz ö. 力アöu 々 öuz öPs öuj öqs öør Duz öqr öu ん öQs で öqr = örs であることを考えて , r=l öør öuk Dqr / öuj öqr + 2 r=l öar öuk , 々 } = あ々 = 0 , 第 4 項 öuk ( 15.4 ー 16 ) したがって 2 / ていない . 2 / 個の変数カ 1 , ・ この式を導くのにはカ 1 , ・ , 42 / ( カ 1 , 16 ) は成り立つ . ( 15.4 ー 16 ) でゾ = 一定ととれば ・ , 4 / が正準変数であることは使っ ・ , のと 2 / 個の独立な関数 ( カ 1 , ・ , 4 / ) があれば ( 15.4 ー け = 一定 , 々 = 1 , ・ ・ , 2 / ) ( 15.4 ー 16 ′ の 2 / 個の式から成る連立方程式となる . ふつうの形に直してみるために とおけば々 = 1 , 2 , ・ ・ , 2 / に対して

236 である . 10. 仮想変位の原理 öU = 0 ( 10.3 ー 1 ) U が極小値をとる場合を考える . 質点系を少しずらして , 初速度 0 で放す とき , 動きだすわけであるが , そのとき / 番目の座標 ( 石 , 必 , ) の微小時間 の変位を , , の , , 夜 . とし , これに加えられた力を (Xt, Y. , 乙 ) , 束縛力を (Sxt,Syt,SzD とすれば , / 番目の質点は加えられたカと束縛力とを合成した 方向に動きだすから , その仕事は正である . すなわち , ( X , + Sxi) イ石十 ( Y. 十 S ぃ ) , + ( 乙 + S 幻 ) , > 0 各質点についての同様な式を加え合わせれば , 前の節で述べたように束縛力のする仕事は 0 であるから , この式は となる . となる . ( X 記石 + の ~ 十乙 z) > 0 この左辺は加えられたカのした仕事で , ーイ U に等しい . ゆえに , dU く 0 このように , U が極小値をとるような位置から質点系を少しずらし て静かに放すと U が減少するように動きだすのであるから , 結局つりあいの 状態に向かう方向に動くことになる . このようなとき質点系は安定なつりあ いの状態にあるとよぶ . U が極大値をとる場合にも同様に考えることができる . 少しずらして静か に放せば , U が減少するように動きだすのであるから , 極大の位置からます ます遠ざかるように動く . このようなとき質点系は不安定なつりあいにある とよぶ . U がまったく変わらないときには , この質点系をずらしてもやはり新しい 位置をもとにして 6 U = 0 の関係が成り立つから , やはりつりあいの状態に ある . このようなつりあいは中立であるとよぶ . 一様な球を床の上においた ときなどがこの場合に属する . öU = 0 ではあるが , 峠の点のように質点系をずらす方向によって U が増

新 . 1 力学的エネルギー保存の法則 Mm % Mm ァ である . したがって , U をきめる方程式は öU Mm öU Mm öU Mm 75 Mm さて , 2 十ツ 2 十 2 の両辺を % で偏微分すれば ör それゆえに 5.1 ー 2 図万有引力 Mm öU öU ö öU ö と書くことができる . したがって Mm 々 : 定数 U の基準には = のところで U = 0 とすることが多い . 上の式 となる . で→とすれば々 = 0. したがって となり , 力学的エネルギー保存の法則は Mm ( 5.1 ー 20 ) ー / 2 ー G この式は第 6 章で惑星や人工衛星の運動をしらべるときに使う . となる . Mm Mm Mm ( 5.1 ー 19 )