日 - みる会図書館


検索対象: 力学
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1. 力学

解 答指 問題 針 S1n , COS , な 2 十々 2 〃 2 十々 2 加速度は主法線 , すなわち , 名軸に直角の方向に 2. 〃 , 日方向の方向余弦は 338 4 42 十々 2 42 十々 2 COS 日 ー sin 日 0 れ方向 0 方向 p 方向 sin COS 9 COS 日 COS 9 S1n sin 日 sin 9 COS sin COS れ方向 方向 法線方向 ( れ方向 ) 方位角方向 ( 方向 ) 子午線方向 ( 9 方向 ) 日方向 極座標の場合と同様に計算する . 6 = 日一 ( c 十 4 sin 日 ) 〆 cos 日 (c 十 asin のø2sin0 (sin2 0 の 9 = 十 sin 日 ( 4.2 ー 5 ) 式を使う . 尸の = 一定 = んとすれば 3. 保存カ . 位置エネルギーは U = 保存力ではない . 伊 = 0 3 000 1 2 2. 2 ろー 3 6 3 AB ℃ ABC

2. 力学

. 2 運動方程式の動径方向と方位角方向の成分 65 わかるように , Sin 日 COS , となる . 日方向の単位べクトルも , COS 日 Sin 日 Sin 9 , まず仕 , ⅵ平面の方向と名方向とに分解 しそれからはじめの成分を % , 方向に分解すれば COS 日 Sin , COS 日 COS 9 , Sin 日 である . 方向の単位べクトルの成分は図からすぐわかるように 0 である . それでこれらの方向余弦を下表に表しておく . COS , S1n , これで任意のべクトルの乙 0, 方向の成分を求める準備ができた . 方向 P 点の直交座標 , め名 ) と極座標 0 方向 9 方向 け , 日 , のとの関係は , sin 日 COS COS COS p S1n 9 sin O sin COS O sin COS / COS 日 COS 0 sin 0 0 Sin OCOS , = sin O sin , であるから , 速度べクトルのあ必成分は 名 工 元 = ′ sin O COS 十 COS O COS 0 ー / sin 日 sin P P Vy = = ′ sin 日 sin 十 COS O sin 9 0 十 sin 0 COS 9 協 = ゑ = テ cos 0 ー sin 0 日 したがって , 上の表を見ながら / の乙 0 , p 方向の成分を書けば , = れ協 = , = sin O の ( 4.2 ー 7 ) 思ってはいけない . 佐 , 協 , 協を微分して , Ax め考を乙研 ; れ研の ; れ となる . 加速度の乙研成分を求めるのには ( 4.2 ー 7 ) を微分すればよいと のを使って表し , 方向余弦の表を使えばスらの 9 が得られる . 結果は , 十 2 一 ′ー 2 / sin2 日 rp2sinOcosO 1 sin O 十 2 sin 十 2 O cos O = Sin O となる . これから , 乙日 , 方向の運動方程式を書き下すことができる . ( 4.2 ー 8 ) - ーー ( 尸 sin20 の ) ( 4.2 ー 8 )

3. 力学

220 9. 剛体のつりあいと運動 9.11 ー 1 図をみながら , , , ぎ成分をつくれば , ( ど , ク , 系とのちがいは だけであるから , C の 3 ん = の ISin 十スの 2COS Lx' = の 1 cos ーの 2 sin となる . の 1 , の 2 , の 3 に ( 9.10 ー 8 ) を代入すれば , の sin 日 , んの = , ん = C(Ø cos 十 ) ( 9.11 ー 3 ) 分を求めるのには ( 9.11 ー 3 ) を一で微分しただけでは求められない . ( 9.8 ー 9 ) 仕 ' , , ぎ ) 系は慣性系に対して回転するのであるから , / のぎ成 を使わなければならない . + ( の x ん 十ののん のん 同様に となる . ーーー ( の sin の十 OC(É cos 日十の一の cos 日日 一方 , Nx' = 0 , Nv = Mgh sin 日 , (M : こまの質量 , ん : 0 から重心 = C ーー ( の cos 日十 ) 十 ( ーの sin の一広ースの sin の = AO 十の cos ーの sin の一 ( ーの sin の C ( の cos 日十 ) までの距離 ) , ル = 0 であるから , こまの運動をきめる基礎の方程式として , の 3 式が得られる . ( 9.11 ー 4 ) は剛体の角速度のの成分が一定であること ス日一の 2 sinOcosO 十 CnösinO = MghsinO ーーー ( の sin 砌十 C 日一の cos 日 = 0 の cos 日十 = 一定 = 〃 ( 9.11 ー 5 ) ( 9.11 ー 6 ) ( 9.11 ー 4 ) 場合を考えよう . ( 9.11 ー 5 ) で = 0 , 日 = OO とおいて , ( 9.11 ー 4 ) ~ ( 9.11 ー 6 ) のもっとも簡単な場合として , 日が一定値日 0 をとる を示している . ( 9.11 ー 5 ) , ( 9.11 ー 6 ) から 0, 9 の時間的変化が求められる .

4. 力学

15.2 ハミルトン一ヤコビの偏微分方程式 2 Sin2 日 = 2 { E 313 1 2 襯 Sin 2 したがって 2 2 2 2 それゆえ , 2 2 ・一ラーイ十 となる . それゆえ ( 15.2 ー 16 ) によって ( の = E ) , 2 E ーロ幻 } ー 62 / 2 十 = 區 2 0 S ln Sin2 日 2 = 土 で 2 2 Sin2 2 d0 十〆 ( 1 ) 1 ( 2 ) 2 Sin2 2 住 62 / 2 / ( 3 ) 2 Sin2 0 2 となる . 中心力でさえあればいつ 日ととの関係の式 ( 2 ) は / け ) を含んでいないから , もこの式がでてくる . / く 0 の場合を考えれば , 9 cosec2 日 ap cosec2 0 9 ー 90 29 ー伊 COt2 日 の一 292 ( 1 十 C0t2 日 ) cot 日 したがって , sin(p—po)= を掛ければ 2 2 cot 日となる . 左辺を展開し全体に sin 日 2 % S1n ー COS 90 十 8 ー 9 これは原点を通る平面で , その法線の方向比は sinpo : あり , したがって名軸とつくる角乞の cosine は 2 で COS 90 : 2 2

5. 力学

9.11 Aösin00 = 0 , ( 9.11 ー 6 ) から こまの運動 = 一定 = 0 221 ( 9.11 ー 7 ) 02COS ー C 〃 0 十 Mg ん = 0 したがって Cn 士 C2 が一 4 慨 9 ん cos 00 2 cos 00 でなければならない . このような運動を定常歳差運動とよぶ . ( 9.11 ー 4 ) こまの運動では通常〃が非常に大きくて , からは = 一定がでてくる . C2 が》 4 ス Mg ん cos 00 であることが多い . そのときには Mgh Cn または Cn cos 日 0 ( 9.11 ー 8 ) となって , 第 1 の値はこまが軸を一定の角に傾けてその方位角がゆっくり回 る運動 ( これはよくみられる ) を表し , 第 2 の値は非常に速い方位角の変化の ある場合を示す . 実際のこまの運動ではこの方の運動は摩擦のためはやく減 衰してしまう . 重力加速度 0 = 0 のときには Mgh/Cn の運動は存在しなく この左辺は一 Lx' sin O 十ん cos O でん考に等しい . これが一定であるという の sin2 日十 nC cos 日 = 一定 = 4 これを積分すれば ーの sin2 日一 2 sin 日 cos O 十〃 C 日 sin 日 = 0 つぎに , ( 9.11 ー 5 ) に sin 日を掛ける . なり , C な cos 日 0 だけが存在する . ( 9.11 ー 9 ) のは , 重力 Mg のモーメントの名軸のまわりのモーメントが 0 であるからで 上の式とくらべて , 田一〆日 sin 日 cos 日十 CnéOsin0= Mghsin00 ( 9.11 ー 6 ) x Öをつくれば —A#sin20—Aö2sinOcosOO 十 CnÉOsinO—A0ö2sinOcos9=O つきに , ( 9.11 ー 5 ) x の sinO をつくる . ある .

6. 力学

333 問題解答指針 第 1 章 方向 Sin 日 COS sin O sin COS 日 O 方向 COS 日 COS 9 COS 日 sin ー sin 0 方向 0 S1n COS これを求めるのには , おのおのの方向に大きさ 1 のべクトルを考えて , そのあ 必名方向の成分を求めればよい . 成分 = 1 x 方向余弦 = 方向余弦 であるからである . O から方向に OA ( OA = 1 ) , 日方向に OB ( OB = 1 ) , 方向 に OC ( OC = 1 ) をとる . OA のェ成分を 求めるのには , まずこれを ( ぁⅵ平面の方 向と名方向に分解する . 成分は sin 日 , cos 日 となる . これらをまた , % 方向に分解すれ ば sin 日 cos cos O x 0 となるので , 結局 OA の % 成分 , すなわち方向とズ軸のつ くる角の cosine は sin 日 cos となる . 他も 同様である . 2. Ax Ay 考 Bx By Bz Cx 0 Cz 3. 原点 O から直線 AB 上の任意の点 P へ引いた位置べクトルを r とすれば , AB = B ースであるから , r = ス十 (B ー 4 ) ス = ( 1 ース ) 4 十ス B. 4. 等速円運動の場合の位置べクトルと速度べクトルの関係と同様である . 第 2 章 1 . 板の加速度を人と逆向きに日とすれば , 人の地面 ( 慣性系と考える ) に対する 方向 方向 3

7. 力学

9.10 外力を受けない対称的な剛体 ず , のキ 0 ツ = = 0 の場合を考える . 剛体の角速度は O 名の向きにのであ るから , そのど , ク , ( 成分は表を見ながら一の sin 0 cos の sin 0 sin 仇 の cos 日である . キ 0 , の = = 0 のときも , 同様にして ( のは OK の方向 にの成分は日 sin 日 cos 0 ; キ 0 , 0 = の = 0 のときにはのは ( の方 向に向かっているから 0 , 0 , となる . 一般にの , 日 , のどれもが 0 でないとき には , これらの角速度を合成したものであって , の 1 = 日 sin ーの sin O COS の 2 = 日 COS 十の sin O sin の COS 日 の 3 217 ( 9.10 ー 8 ) である . さて , 慣性系に対する剛体の運動をきめる問題に立ちかえり , ス = B で他 からカが働かない場合を考えよう . 剛体に働く力の O についてのモーメント は 0 であるから , O のまわりの角運動量んは大きさも方向も一定である . れを名軸にとり , これに直角にあ軸を慣性系に固定してとることにしよう . これに対して剛体がどう動くかをしらべればよい . のど方向の成分は方向 ーん sin 日 cos であることがわかるし , 一方 , これは主軸 余弦の表から の方向の角運動量成分であるからの 1 に等しい . の 1 は ( 9.10 ー 8 ) で与えられ ているから , の 1 = O sin ー の sin O COS ( 9.10 ー 9 ) Sin COS 同様に の 2 日 cos 十の sin O sin = ーー COS O 十の cos 日 ( 9.10 ー 9 ) x sin 十 ( 9.10 ー 10 ) x cos をつくれば 0 = 一定 ( 9.10 ー 12 ) これはオイラーの方 したがって , ( 9.10 ー 11 ) からの 3 一一定 = となるが , 程式からも出てきた結果である . ( 9.10 ー 10 ) Sin 日 Sin ( 9.10 ー 11 ) の 3

8. 力学

問題解 答指針 360 ん , ん . したがって , % 十 cos 日 ーん十 ( 十 4 sin 日一ん ) 2 ーん十朝一 4 sin O ーん ) 2 = 44 十 x ーな cos O 十 ぁッ ; 日が微小であることを使って ( O, ェの 2 次の項まで ) を出し , U = Mgy から U = Mg 40 ー Mi 2 十一 M ー一日 2 ー Mg ラグランジュの運動方程式は % + Mg 16 ん ー Mg 十 Mg M 生 0 = % = ス cos ( の一十の , 日 = B cos ( の一十 ) とおいて , 32 28 がの 4 ん g の 2 十 g 45 15 2 3g 159 ーん一般解は これらに対して一一 召ー 2 ー 4 が 8 ん・ 15 150 ー十十ス " cos ′ COS 8 ん 15g ' COS / 十住 COS 8 ん ー 3 ん 4 ん 6. 時計の振動するテンプを静止させたときの全体の慣性モーメント ( 時計をかけ る点 C のまわりの ) を / , テンプだけの質量を , 慣性モーメントをノとする . C と重心 G を結ぶ直線が鉛直とつくる角を日 , テンプがつりあいの位置からみて時計 に相対的に回った角をとすれば , ( テンプの質量省略 ) - Mg 〃 02 十一 c U = Mg 〃 ( 1 ー cos の十一 cp2 = 召 cos ( の / 十 日 = cos ( の一十住 ) , ラグランジュの運動方程式を立てよ . ) とおいて , 32 ん また T = ー Mi 2 十一 M - 一日 2 ズ 2 十 - ーん日 2 15 32 ん 40 これから 1 ワ 1 ワ

9. 力学

問題解答指針 第 2 近似で 4 = 厩 + 6 sin 厩 + ()2 の程度 ) ー esin2 厩 + ( 62 の程度 ) COS = COS ー これを ( 2 ) に代入し , 結果を ( 3 ) に代入せよ . G mM 1 十た ' Eh2 1 十 2 G2mM GM 2 COS 日 10. : 近日 ( 地 ) 点 , 2 : 遠日 ( 地 ) 点 . E = 軌道の式 1 1 十 でん = RVO sin , E = GM sin , E = 十一襯協 2 , ただし協 mM 1 1 GmM GM 1 軌道の式は 1 rd0 cos 日となる . 343 これから 2 1 2 1 十・ 2 . 最 動径と接線のつくる角をとすれば tan = 4 ー兀 , 楕円の軸は EN (E : 3 地球の中心 , N: 北極 ) に対し一の角をつくる . 楕円軌道は軸に対し対称 . 0 0 4. 運動だけを求めて , 束縛力を求めないときには遠心力を考えればよい . い問題に直してみよ . 答 9 sin 日土 4 cos 日 , 襯朝 cos 日午〃 sin の . 3. 仮想的な力を考え , 斜面に固定した座標系が慣性系であるかのように考えてよ に 02 + 〃 2 の大きさの加速度で運動する . 2. 列車の加速度と逆の側に , 鉛直と tan ー 1 ーの角をつくる直線に沿って , 下向き 9 tan 列車に固定した座標系を慣性系であるかのようにみなす . 答 92 十が 1 . 列車の進む方向 ( 加速度の方向 ) と逆向きに襯〃の大きさの仮想的な力を考え , の COS 日一 9 Sin 日 , 日 : 接線と水平のつくる角 Sin 日 , COS 日一 を入れる . 2

10. 力学

13.3 定常運動付近の運動 = 2M 〃 2 日 2 十一 M 〃 2 〆十 2M 〃 2 cos ( ーの それゆえ , 全体の運動エネルギーは T = M42 一日 2 十一〆十 2 の cos ( 一日 ) となる . 位置エネルギーは 0 としてよいから , ラグランジアンはん = T である . し ラグランジュの運動方程式は たがって , 2 d 16 O 十 2 の cos ( ーの =2Ma20ösin(p ーの 3 ーの十 20 cos ( 一日 ) 3 一日 = ( 両方の棒のつくる角 ) とすれば , ( 1 ) , ( 2 ) は いま , 16 = 2 O 十の sin 一日 + 2 紐 + の cos 3 ー朝 + の + % cos ー 20 ⑦ + の sin 3 定常運動では = 一定 , したがって = 0. また , ABC が一つの剛体のようになる から 0 = 一定 = の , ゆえに ( 1 ) ′ , ( 2 ) ' はどちらも 02 sin = 0 となる . これから = 0 またはとなる . 定常運動 = 0 の安定性をしらべるために , が非常に小さいとする . 日 = の一十 E とおけば E も微小量である . 285 1 2 ー M ( 2 + 2 ) + ーー M 〃 2 〆 ( 1 ) —2Ma20Ésin(p ーの ( 2 ) 11 ( 3 ) ( 1 ) ・は き・十 = のヤ っ 0 一 .0 CO ( 4 ) ( 2 ) ' は となる . ( 3 ) x 5 ー ( 4 ) x 11 から 48 したがって , は単振動的に変化する . ゆえに , = 0 で与えられる定常運動は安定 である . = 兀で与えられる定常運動の安定性をみるため 0 とおく . また , 日 = 十とおく . ( 1 ) ' , ( 2 ) ' は ( 5 ) 7 ( 6 )