335 解答指針 問題 1 = lg ー S, 22 S ー襯 2g これらからの S を求めれば 2 1 2 れ一 22 9 襯 1 十襯 2 襯 1 十襯 2 3. 滑車に相対的な加速度を襯 1 について下向きに , ルに ついて上向きになとする . 慣性系に対する加速度は , 1 について下向きに一日 , 襯 2 について上向きに十 である . 1 , 2 についての 運動方程式は 1 ー田 = 襯 19 ー S ル ( 日 + の これらから 襯 29 0 0 m29 朝 + の 1 十襯 2 2 加 1 襯 2 朝 + 田 襯 1 十 2 4. んの高さから投げるとき初速度の大きさを / , 水平とっくる角をスとする . 地 上に落ちるまでの時間を t とすれば , Vt cos ス = R, ん十 Vt sin スー この 2 式から一を消去して tan スについての 2 次方程式をつくり , その判別式が負 にならないことからの範囲を出す . 協 2 sin 2 ス 0 投射距離 = 時間 T = 1 これらの式から協 また , ス 0 はス。ー tan T2 4 よって求めることができる . 6. 電子の加速度は e . I 進むに必要な時間は一朝は偏向板に入るときの速さ ). 角は tan- 求めるずれは一 2 2 7. 水平方向 , 鉛直方向の運動方程式から 0 で 4 = , = として , 4 = 40e m19 1 2 2 協 cos ス 0 5. 9 T2 1 1 2 2 2 2 ーの = 翌々

7. 非慣性系に相対的な運動 X 十 00 sin 6 十 2 襯の sin スーー十襯の 2 は sin ス十 COS ス ) sin ス sin ス十一一一 COS ス十襯の Y ー 2 の / 十襯 cos 6 ー 0 十 2 襯の cos ス 十襯の 2 ( % sinA 十名 cosA)cosA x 十襯 sin / 十襯 cos 6 は質点に働くカから万有引力を引き去ったも のである . これらを改めて X , Z と書いて 2 = X 十 2 の sin スーー十の 2 sin ス十 cos ス ) sin ス 2 sin ス十一一一 cos ス十襯ツの Y ー 2 の = / ー 9 十 2 の cos スーー十襯の 2 ( % sin ス十 cos ス ) cos ス X, Y, / : 地球からの万有引力以外のカ ( 7.4 ー 11 ) これで一応目的を達したが , の 2 は小さな量であるからの 2 の項 ( こんどは のかかっている項はない ) を省略して 2 = X 十 2 襯の sin ス 2 sin ス十 COS ス Y ー 2 襯の 2 名 / ー mg 十 2 の cos ス X, Y,Z: 地球からの万有引力以外のカ 右辺の x , Y , z 以外の項はコリオリのカである . この式が地表付近での質 点の運動について地球の自転の影響も考えるときの基礎の式である . 応用の 1 っとして , 高い塔から初速度なしに , 物体を落とした場合を考えよう . ( 7.4 ー 12 ) で X = 0 , Y = 0 , / = 0 とおけば , 名 2 % 2 2 2 イイイイ 2 2 ( 7.4 ー 12 )

く力が重力だけであるとすれば であることを示せ . 8. 質点系の運動量と角運動量 広 156 もなってしだいに大きくなりながら落ちてゆく . このときの運動について , 雨滴に働 雨滴の質量 , 下向きの速度 [ 解 ] 時刻ーで質量になっている雨滴が時間にイの質量を増加するものと する . の部分との部分を全体で質点系とみなす . / で速度ー十で + とする . 外力は ( 十イ襯ル . したがって 高次の微小量を省略して 十″イ襯 = 襯 9 それゆえ ( 襯の = 0 となり , 雨滴を質量が変化する質点と考えて , ( 8.2 ー 7 ) をそのまま使うことができ ることを示している . [ 例 3 ] ロケット運動最初の質量を持つ物体が , 静止の位置から , 後 方にいつでも自分に相対的に U という速度で連続的に物体を投げながら前進すると き , その後 , 任意の時刻での速度と進んだ距離を求めよ . [ 解 ] 時刻ーで質量がとし , 襯時間に一イ襯だけの質量を後ろに投げるものと する . 質量 , 速度広 t + : 質量十の部分が速度十 , 質量ーイの部分が速度ー U. したがって , 運動量保存の法則によって , これから U log 襯十 C ー = 0 で = 0 とし , 襯 = 0 とすれば C = U log 0

3.1 落体の運動 動するときとで , 運動方程式がちがう . 上向きのとき : 下向きのとき : mg 十襯々″ 2 mg ー襯々ド 39 ( 3.1 ー 20 ) ( 3.1 ー 20 ) ' である . したがって , はじめ下向きに投げるときは式 ( 3.1 ー 20 ) ' だけでよい が , 上向きに投げるときには , まず ( 3.1 ー 20 ) を使って , 点に達した後には ( 3.1 ー 20 ) ' を使わなければならない . 上向き , 下向きの場合を 1 つの式で表したいときには ー襯 9 ー襯国 これを積分し最高 ( 3.1 ー 21 ) コンピュータを使うときには国を , たとえば ABS( / ) とすればよい . ー = 0 で = > 0 という初速度で投げたときには , ( 3.1 ー 20 ) を解いて ー tan (VöF t) 9 ー tan Ⅳ - t) 1 十 0 20 2 ( 3.1 ー 22 ) となる . = 0 になる時刻 , すなわち , 最高点に達する時刻なはこの式の分 子が 0 になる一の値で , t an 1 0 という条件で ( 3.1 ー 20 ) ′を解くと となる . これから先は ( 3.1 ー 20Y を使わなければならないが , gtanh Ⅳ・朝一月 となる . →にすれば終りの速度が得られる . * 9 ー = なでー ( 3.1 ー 23 ) ( 3.1 ー 24 ) ( 3.1 ー 25 ) 終りの速度だけを求めるのならば , 運動方程式で加速度 = 0 , つまり , 重力と抵抗力とがつりあっ ているとして求められる . ( 3.1 ー 20 ) ・で / 襯 = 0 とおいて = ーな . 同様に , 抵抗が速さに ー 9 な . 比例するときには ( 3.1 ー 15 ) でイツ襯 = 0 とおいて

8.2 運動量保存の法則 要素が入っている運動の第 3 法則の適用範囲よりも広い領域でも運動量保存の 法則は成り立つ . [ 例 1 ] 一直線上を運動する 2 つの球 A, B がある . 質量はそれぞれ襯 , M であ る . はじめ B が静止していて , これに A が速度″で衝突するものとする . 衝突が完 全に弾性的であるとして , 球 A から球 B に移したエネルギーを求めよ . [ 解 ] 衝突後の A の速度を U, B の速度を / とする . 運動量保存の法則を適用 して , mU 十 MV = 襯 4 完全に弾性的 * であるから , ( 1 ) , ( 2 ) から U, / を解けば 155 ( 1 ) 襯十 M 2 襯 十 M A から B に移ったエネルギーは したがって , 2M 襯 2 1 —MV2 2 4 2 B の質量 M に対して , A の質量襯をいろいろ変えると , 襯が大きいほど , エネル ギーの移る量が大きくなる . しかし , 2M 示を越えることはない . [ 例 2 雨滴が空から落ちるとき , 途中で空気中に浮んでいる小さな水の粒子をと * 完全に弾性的であることは運動エネルギーの損失がないことで表してもよい . そのときに成り立 っ条件は 4 ( 3 ) 1 2 1 1 2 ー襯 U2 十一 M / 2 すなわち 加 U2 十 MV2= 42 となる . ( 1 ) とこの式を 4 ー U ) = MV, 襯朝 2 ー U2 ) = M レ 2 と並べておいて割算をすると 十 U = / となり , ( 2 ) に一致する . この場合 , 反発係数は 衝突後の相対速度の絶対値 衝突前の相対速度の絶対値 この式で e = 1 とおいたものが ( 2 ) である . であるから ,

問 題解答指針 1 2 ( カ カ 92 ~ = 1 2 ー 1 ー = 1 2 i 1 ( カれ 2 十力 ) 十 2 21 1 1 2 21 1 2 ( 力の 363 カ”・ ) 2 1 + 2 ~ = 2 2 襯 i ーカ伊れ ' ) 2 2 カ 2 十 U(YI, i=2 2 ″ / ー ″には角が含まれないからこれは循環座標 . カ 92 したがって , カ内 = げ 12 十 2 襯 , 2 ( の 1 十の , ' ) = 襯 . = 一定 2. 3. 42 = Q2 ー QI, の = QI, 42 = Q2 ー QI, 41 = QI, カ 2 = P2 ー ( QI ー Q2 ) 2. ん = T ー U = は 2 十十 2 ) 十 x 十十 ~ ゑ ) ーク 2 ル = 襯ゑ十考 襯十め [ ( カ x ー x ) 2 十 ( 加ーげ十 ( ルーの 2 ] 十 十 U = T 十 U 2 20C 〃 = 元カ x 十 S'PY 十ルーん一 2 襯 1 ″ = 力十カ十カ一ん 襯元十 x , 2 第 1 5 章 ( a ) ( b ) ( c ) 1 2 カ 1 = PI 十 P2 十 P3, カ 1 = PI 十 P2, カ 2 = PI ー P2 2 1 43 = Q3 ー Q2 カ 1 = PI 十 P2, カ 2 = P2 十 P3, カ 3 = P3 の 4 COt Q, P ー öQ これからク 2 の P cos Q. sin Q, カー 襯の 2 4 cosec2 Q 2 これから″ = の P. 襯の したがって , ハミルトンの正準方程式により , dQ dP の , öH DQ Q = の一十 P = const

問題解答 指針 357 するため直角に描いてある ). ( 十扉 ) 十 7 ' の 十 / ・の = ー gp 日 = cos ( の一十の , 9 = B cos ( 研十 ) とおく . ( 1 ) から ( 襯十 ) ( の 2 / ーの十扉 / ' の 2B = 0 ( 2 ) から ( 1 ) ( 2 ) 2. ( 3 ) / の 2 ス十 ( の 2 / ' ー g 沼 = 0 ( 襯 + 襯 ' ) ( の 2 / ーの 7 ' の 2 ( 4 ) ( 3 ) , ( 4 ) から瓦召を消去して の 2 / ′ / ( の 2 ) 三 ( + 扉 ) ( の 2 / ーの ( の 2 / ' ーの一扉〃 ' の 4 = 0 [ ( 襯 + 扉滬 + 均士 ( + 襯 ' ) 2 ( / + 均 2 ー 4 〃气襯 + 扉 ) ] ( 5 ) 9 2 襯〃′ 土のどちらも正の実根を与える . の 12 , の 22 とすれば , 日 = 1 cos ( のは十の ) , = BI cos ( の 1 / 十の ) 召 1 ( ( 3 ) による ) ただし 0 = 2COS ( の 2 / 十の ) , = B2COS ( の豺十の ) 召 2 ただし / ' の 22 ー g ス 2 0 = ス ICOS ( の 1 / 十の ) 十 2COS ( の 2 / 十の ) = BICOS ( のは十の ) 十 B2COS ( の 2 / 十の ) / 号く 0 , < 0 図から であるから , の 12 く > 0 , 2 したがって , 規準振動 ( 6 ) では日との比がいつも一定で正であり ( 7 ) では日との比がいつも一定で負である ( 図 ( b ) ). / の 1 だの 12 ー 9 は ( 1 ) , ( 2 ) の解であり , また ( 7 ) I の 2 も ( 1 ) , ( 2 ) の解である . 一般解は ( 8 ) ( 6 ) , ( 7 ) は規準振動を与えるものである . の 1 < の 2 とする . 0 の 22 > < 0

252 11. ダランべールの原理 斜面の方向の成分をとって 襯 0 sin O 十 ( ー ) = 0 となる . 第 2 の例として , D'Alembert がその基礎の原理を説明するために考えた例 をとろう . D'AIembert, Arthur Korn 訳注 : スわ〃 g Uber D 4 襯旒 , 1743 (OstwaId's KIassiker, 1899 ) によったが , なかなかわ かりにくいので , 今日の記号 , 考え方で書き直した . 問題は , 質量のない棒 CD の一 miAt•有効力 端 C を固定してそのまわりに自由 に回るようにし , 棒に C から石 , ・の距離の点に質量 , m ーから棒から襯 i に ・の質点を固定する . 襯 1 , 棒への働く束縛カ 反作用 ・にカ , & , ・を加え 11.1 ー 5 図ダランべールの原理 る ( 棒に直角に加える場合を考え る ). そのときこの棒はどのような角加速度を持つか , というのである . ・に棒に直角に , , 11.1 ー 5 図のように , 襯 1 , 2 , ・の力を加える . ルに着目しよう . ルに加えられるカ がでも , ~ はそれに相当する加速度を得るわけでなく , 棒からの束縛カ & が働いて , と & とを合成した結果亠 の加速度を得るものとする . , ー = 十 & または十 & 十 ( ー襯 z) = 0 考えている系に仮想変位 1 , öS2 , ・ , を行わせる . ・と棒とから成るが , 質点の方の仮想 系は質点 , ル , ・ 仕事は = ( 一亠 ) ・十 S 浴 加えられたカ 有効力 4 ー = 十 & 慣性抵抗 束縛カ 加えられたカ 十 & 十 ( ー 襯ー i) = 0 o 質量のない棒一 襯仂、ら棒へ の反作用 D 11.1 ー 6 図 ダランべールの原理

となる . たとえば , 3 個の質点が万有引力を作用しあっているとき , 第 1 の質 168 ( 8.6 ー 7 ) ( 8.6 ー 8 ) 8. 質点系の運動量と角運動量 U = ー 2 Ut ( 8.6 ー 6 ) 点に作用する力のポテンシャルは UI 1 2 21 23 , 第 2 の質点 については U2 2 襯 1 襯 2 襯 3 第 3 の質点については U3 23 3 2 襯 3 襯 1 であるが , 全体系の位置エネルギーは 23 2 3 襯 1 襯 2 23 で , UI, U2, U3 の和の 1 / 2 に等しい . 1 3 内力が上に述べたような位置エネルギーを持っときには , れば ( 8.6 ー 2 ) の右辺の第 2 項は これを U(i) とす となるから , ( 2 ) ( 1 ) ( 8.6 ー 2 ) は ( 2 ) となる . つまり , 質点系の運動エネルギーと内力に対する位置エネルギーの和の 増し高は , 外力の行う仕事に等しい . 孤立している系や , 外力が働いても仕事をしないときには , T 十 U(i) = 一定 となる . 外力も位置エネルギー U ( ) を持っときには , ( 8.6 ー 7 ) の右辺は U1(a) U2(a) となるので , T 十 U(i) 十 U(a) = 一定 ( 8.6 ー 9 ) となる . ( 8.6 ー 8 ) , ( 8.6 ー 9 ) が質点系に対する力学的エネルギー保存の法則で て , 全体の位置エネルギーは 番目の質点の高さをとすればその位置エネルギーはル . したがっ ( i ) 重力場 ある . 質点系に働くいろいろな力について位置エネルギーを求めておこう .

問題解答指 針 定常運動では O = 一定 . ( 1 ) から cos 0 = 0 , おく . 的な変化を行う . 362 工 2 一定 = のと 2 兀 の C 十 の単振動 周期 ー十 E とおく . き・ = 1 十一一 の E, ( 1 ) ( 2 ) = 2 砒 2 十尸十 ( 1 ) を ( 2 ) に代入 . U = 襯 0 名 = mg 乙を一般座標として式を立てよ . = 一定 = の定常運動ではの 2 4 四 まわりの振動で , = 十 E とおけば E ー 〃 2 十 0 1 十 尸一が 1 十 . その 2 E となる . 皿 2 皿 2 尸 2 ( 尸十 2 十尸の 2 ) = . を一般座標とせよ . 第 14 章 1 十 テ 2 十 2 の U = g 名 = 2 ー i ( れ 2 十 /. 2 の .2 十 2 ) T = ー襯 , ( れ 2 十云 2 ) 十一襯 1 2 2 十 2 ー , 2 ( の 1 十の , ' ) 2 öT öT öäz öT . 2 ( の 1 十の / ) カ 襯 1 石 2 の 1 十 2 襯げ ( の 1 十の / )