解 答指 問題 針 S1n , COS , な 2 十々 2 〃 2 十々 2 加速度は主法線 , すなわち , 名軸に直角の方向に 2. 〃 , 日方向の方向余弦は 338 4 42 十々 2 42 十々 2 COS 日 ー sin 日 0 れ方向 0 方向 p 方向 sin COS 9 COS 日 COS 9 S1n sin 日 sin 9 COS sin COS れ方向 方向 法線方向 ( れ方向 ) 方位角方向 ( 方向 ) 子午線方向 ( 9 方向 ) 日方向 極座標の場合と同様に計算する . 6 = 日一 ( c 十 4 sin 日 ) 〆 cos 日 (c 十 asin のø2sin0 (sin2 0 の 9 = 十 sin 日 ( 4.2 ー 5 ) 式を使う . 尸の = 一定 = んとすれば 3. 保存カ . 位置エネルギーは U = 保存力ではない . 伊 = 0 3 000 1 2 2. 2 ろー 3 6 3 AB ℃ ABC

250 mlsin0w21ö0cos0—襯 gsin 日お日 = 0 11. ダランべールの原理 ように , 糸の傾きを O から 0 十ö0 に変えるときのおのおののカの行う仕事を計算す とができるはずである . そこで仮想変位の原理を使ってみよう . 11.1 ー 2 図 ( c ) の さて , 一度静力学の問題に直してしまえば , 静力学で使われる方法は自由に使うこ となり , 上の第 2 法則をそのまま書いたものと同一のものが得られる . S cos O ー襯 0 = 0 鉛直方向のつりあい条件 水平方向のつりあい条件 mlsin0Ö—Ssin0=0 条件を書けば , に力を加えてつりあわせた場合とまったく同じことになる . したがって , つりあいの つりあいにある力の系をつくっている . ちょうど糸で質点をつるしてこの質点に水平 ればよい . これから となる . 2 したがって , 仮想変位の原理により S の行う仕事 のする仕事 襯 lsin 日の 2 のする仕事 / sin O の 2 ( おの cos 9 0 ー襯 9 sin 日 ( お砌 / cos 日 この例でわかるように , ダランべールの原理でつけ加える慣性抵抗は加え られたカ ( 既知カ ) の仲間に入れられる . このことはつぎに説明する一般の 場合にもいえることである . ダランべールの原理の意味をもっとよく理解するてだてとして , 2 つの例を S 斜面からの束縛カ mA ー 3 図 効 有 —mA 慣性抵抗 加えられたカ ( 下方に mg) 11.1 タ・ラン , ヾ ールの原理 考えよう . この原理は , 質点あるいは 質点系について束縛条件が与えられ て , これにしたがうように運動する場 合について適用すると一般的な力学理 論の発展に関係が深い . したがって , 例となる運動も束縛された運動からと ることにしよう . 第 1 の例は前に 3.1 で扱ったもの

220 9. 剛体のつりあいと運動 9.11 ー 1 図をみながら , , , ぎ成分をつくれば , ( ど , ク , 系とのちがいは だけであるから , C の 3 ん = の ISin 十スの 2COS Lx' = の 1 cos ーの 2 sin となる . の 1 , の 2 , の 3 に ( 9.10 ー 8 ) を代入すれば , の sin 日 , んの = , ん = C(Ø cos 十 ) ( 9.11 ー 3 ) 分を求めるのには ( 9.11 ー 3 ) を一で微分しただけでは求められない . ( 9.8 ー 9 ) 仕 ' , , ぎ ) 系は慣性系に対して回転するのであるから , / のぎ成 を使わなければならない . + ( の x ん 十ののん のん 同様に となる . ーーー ( の sin の十 OC(É cos 日十の一の cos 日日 一方 , Nx' = 0 , Nv = Mgh sin 日 , (M : こまの質量 , ん : 0 から重心 = C ーー ( の cos 日十 ) 十 ( ーの sin の一広ースの sin の = AO 十の cos ーの sin の一 ( ーの sin の C ( の cos 日十 ) までの距離 ) , ル = 0 であるから , こまの運動をきめる基礎の方程式として , の 3 式が得られる . ( 9.11 ー 4 ) は剛体の角速度のの成分が一定であること ス日一の 2 sinOcosO 十 CnösinO = MghsinO ーーー ( の sin 砌十 C 日一の cos 日 = 0 の cos 日十 = 一定 = 〃 ( 9.11 ー 5 ) ( 9.11 ー 6 ) ( 9.11 ー 4 ) 場合を考えよう . ( 9.11 ー 5 ) で = 0 , 日 = OO とおいて , ( 9.11 ー 4 ) ~ ( 9.11 ー 6 ) のもっとも簡単な場合として , 日が一定値日 0 をとる を示している . ( 9.11 ー 5 ) , ( 9.11 ー 6 ) から 0, 9 の時間的変化が求められる .

問題解答指針 第 2 近似で 4 = 厩 + 6 sin 厩 + ()2 の程度 ) ー esin2 厩 + ( 62 の程度 ) COS = COS ー これを ( 2 ) に代入し , 結果を ( 3 ) に代入せよ . G mM 1 十た ' Eh2 1 十 2 G2mM GM 2 COS 日 10. : 近日 ( 地 ) 点 , 2 : 遠日 ( 地 ) 点 . E = 軌道の式 1 1 十 でん = RVO sin , E = GM sin , E = 十一襯協 2 , ただし協 mM 1 1 GmM GM 1 軌道の式は 1 rd0 cos 日となる . 343 これから 2 1 2 1 十・ 2 . 最 動径と接線のつくる角をとすれば tan = 4 ー兀 , 楕円の軸は EN (E : 3 地球の中心 , N: 北極 ) に対し一の角をつくる . 楕円軌道は軸に対し対称 . 0 0 4. 運動だけを求めて , 束縛力を求めないときには遠心力を考えればよい . い問題に直してみよ . 答 9 sin 日土 4 cos 日 , 襯朝 cos 日午〃 sin の . 3. 仮想的な力を考え , 斜面に固定した座標系が慣性系であるかのように考えてよ に 02 + 〃 2 の大きさの加速度で運動する . 2. 列車の加速度と逆の側に , 鉛直と tan ー 1 ーの角をつくる直線に沿って , 下向き 9 tan 列車に固定した座標系を慣性系であるかのようにみなす . 答 92 十が 1 . 列車の進む方向 ( 加速度の方向 ) と逆向きに襯〃の大きさの仮想的な力を考え , の COS 日一 9 Sin 日 , 日 : 接線と水平のつくる角 Sin 日 , COS 日一 を入れる . 2

9.1 剛体のつりあい れば , 明らかに R は FI, F2 と平行で逆向きであ る . ( 9.1 ー 8 ) ( 最後の式の代りに ( 9.1 ー 8 ) ′を使っ C のまわりのモーメントをとって = 0 て ) を書く . 179 6 一 FI ー F2 = 0 〃 FI ーわ F2 = 0 ( 1 ) ( 2 ) 9.1 ー 2 図 である . 0 ( 1 ) から = FI + F2. これが支点 C での抗力 ( 2 ) から 4F1 = わ F2. これがつりあうための条件である . [ 例 2 ] 一様なまっすぐな棒をその両端で つけた糸でぶらさげておくとき , 糸の水平と つくる角がの日 ( 日 > のである . 棒の水平と つくる角が tan 0 ー 1 2 —(tanß—tana) Ⅳ / 9.1 ー 3 図 2asin()—の \ であることを証明せよ . カⅢが重心に , 糸の張カ SI , S2 が両端 A , B でそれぞれ糸の方向に働く . SI と S2 との交 点を C とすれば , 重力もそこを通らなければ [ 解 ] まず図を描こう . 棒に働く力は , 重 ならない . なぜならば , もしそうでないと C のまわりのモーメントの和が 0 になら ないからである . B の方が A よりも高いとすれば , CB の傾きの方が CA の傾きより大きいから , A についている糸の傾きをの B についている糸の傾きをとする . 水平方向の平衡条件 鉛直方向の平衡条件 A のまわりのモーメント 棒の長さを 24 とする . ー ( 1 ) x sin 十 ( 2 ) x cos より COS ー S2 COS SI sin 十 S2 sin 日 = ル S2 ・ 2asin ( 日一の一Ⅳな cos 日 = 0 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 剛体に 3 個の力が働いてつりあうときには , それらのカの作用線は 1 点を通らなければならな い . このことは式を立てるのに必ずしも必要ではないが , 図を描くのには助けとなる .

問題解答指針 353 B の鉛直方向の変位は物 0. BC の中点の鉛直方向の変位は , B の変位と等しく 日 . CD の中点の鉛直方向の変位は物日 + ー 9. B の水平方向の変位 aöO, C の水平方向の変位日 . 仮想変位の原理により , 4 ルö0 十 4 ル日十〃ル 6 日十一一マルöP ー 2 ( S 辺öO 十 S2 の = 0 つりあうためには , が小さい範囲であれば , その値に関係なくこの式が成り 立たなければならないから , SI = ー , S2 2 5. 棒の長さを 2 〃とすれば重心 G の高さは 名 = 4 Sin ( 2 住 ーの ー 4 cos ( 2 住ーの = 0 , , 不安定 答日 = 22 ー 2 6. 上の球が回転して , 中心線 OC が 0 だけ回った 場合を考える . 重心を G とし , GCO = とすれ ば RO = 重心の高さを O から測れば 名 = ( + わ cos 日一 ( ーん ) cos + の ( 2 ) ( 1 ) からを O で表して , ( 2 ) に代入 . 名 = ( 十幻 cos 0 ーけー h)cos ー十 1 0 名を O の関数として , 0 = 0 がの max. か min. にあたっているかをしらべれば よい . 安定 不安定 ー十 1 0 を使って = (R + 幻 cos 日けん ) ーー十 1 COS SI : S2 = 5 : 1 〃 sin ( 2 住ー O ) G C ( 1 ) 1 1 第 1 第 1 一ん 1 ア 1 アイ まま◆よ ららら な 十十十 このときは

. 2 運動方程式の動径方向と方位角方向の成分 65 わかるように , Sin 日 COS , となる . 日方向の単位べクトルも , COS 日 Sin 日 Sin 9 , まず仕 , ⅵ平面の方向と名方向とに分解 しそれからはじめの成分を % , 方向に分解すれば COS 日 Sin , COS 日 COS 9 , Sin 日 である . 方向の単位べクトルの成分は図からすぐわかるように 0 である . それでこれらの方向余弦を下表に表しておく . COS , S1n , これで任意のべクトルの乙 0, 方向の成分を求める準備ができた . 方向 P 点の直交座標 , め名 ) と極座標 0 方向 9 方向 け , 日 , のとの関係は , sin 日 COS COS COS p S1n 9 sin O sin COS O sin COS / COS 日 COS 0 sin 0 0 Sin OCOS , = sin O sin , であるから , 速度べクトルのあ必成分は 名 工 元 = ′ sin O COS 十 COS O COS 0 ー / sin 日 sin P P Vy = = ′ sin 日 sin 十 COS O sin 9 0 十 sin 0 COS 9 協 = ゑ = テ cos 0 ー sin 0 日 したがって , 上の表を見ながら / の乙 0 , p 方向の成分を書けば , = れ協 = , = sin O の ( 4.2 ー 7 ) 思ってはいけない . 佐 , 協 , 協を微分して , Ax め考を乙研 ; れ研の ; れ となる . 加速度の乙研成分を求めるのには ( 4.2 ー 7 ) を微分すればよいと のを使って表し , 方向余弦の表を使えばスらの 9 が得られる . 結果は , 十 2 一 ′ー 2 / sin2 日 rp2sinOcosO 1 sin O 十 2 sin 十 2 O cos O = Sin O となる . これから , 乙日 , 方向の運動方程式を書き下すことができる . ( 4.2 ー 8 ) - ーー ( 尸 sin20 の ) ( 4.2 ー 8 )

9.10 外力を受けない対称的な剛体 ず , のキ 0 ツ = = 0 の場合を考える . 剛体の角速度は O 名の向きにのであ るから , そのど , ク , ( 成分は表を見ながら一の sin 0 cos の sin 0 sin 仇 の cos 日である . キ 0 , の = = 0 のときも , 同様にして ( のは OK の方向 にの成分は日 sin 日 cos 0 ; キ 0 , 0 = の = 0 のときにはのは ( の方 向に向かっているから 0 , 0 , となる . 一般にの , 日 , のどれもが 0 でないとき には , これらの角速度を合成したものであって , の 1 = 日 sin ーの sin O COS の 2 = 日 COS 十の sin O sin の COS 日 の 3 217 ( 9.10 ー 8 ) である . さて , 慣性系に対する剛体の運動をきめる問題に立ちかえり , ス = B で他 からカが働かない場合を考えよう . 剛体に働く力の O についてのモーメント は 0 であるから , O のまわりの角運動量んは大きさも方向も一定である . れを名軸にとり , これに直角にあ軸を慣性系に固定してとることにしよう . これに対して剛体がどう動くかをしらべればよい . のど方向の成分は方向 ーん sin 日 cos であることがわかるし , 一方 , これは主軸 余弦の表から の方向の角運動量成分であるからの 1 に等しい . の 1 は ( 9.10 ー 8 ) で与えられ ているから , の 1 = O sin ー の sin O COS ( 9.10 ー 9 ) Sin COS 同様に の 2 日 cos 十の sin O sin = ーー COS O 十の cos 日 ( 9.10 ー 9 ) x sin 十 ( 9.10 ー 10 ) x cos をつくれば 0 = 一定 ( 9.10 ー 12 ) これはオイラーの方 したがって , ( 9.10 ー 11 ) からの 3 一一定 = となるが , 程式からも出てきた結果である . ( 9.10 ー 10 ) Sin 日 Sin ( 9.10 ー 11 ) の 3

い 5.1 正準変換 307 Ⅲ ( カ 1 , ・ ル ( カ 1 , 以上の 4 つの場合をみると , F からは離れて , ルを , Q, カ , P のうちの 2 つのものの任意の関数ととればよいことがわかる . 符号がちょっと面倒である が , ク , P で微分するときは正 , Q , 力で微分するときが負であると記憶すれば よい . ルを正準変換の母関数とよぶ . ルに簡単な関数をとったときの正準変換の例を示そう . öW これは変数を変えないので恒等変換とよばれる . ( ⅱ ) ル = pxr sin 日 cos 十カ′ sin 日 sin 十カ考 cos O 乙 0, p : 極座標 , % , 必名を QI, Q2, Q3 ; 乙 0,p をク 2 , とみなす . öW Sin OCOS 9 , öPy ( 15.1 ー 15 ) öW öW Sin 0Sin p, öW = カエ sin 日 cos 十カ sin O sin 十カ考 cos O pxr COS 日 COS 十øyr COS O sin ーカ ~ sin O カ x sin 日 sin 十 pyr sin 日 COS p COS 日 ( ⅲ ) ル 4 Qr DW öW öQr この例では新しい変数の Q はもとの変数の運動量ルに等しい . また , 新し

. 3 慣性系に対し一定の角速度を持っ座標系 イ 2 く実際の力はこれだけである . したがって , 慣性系 向いている . その大きさを S とする . 水平方向に働 棒から質点 ( 指輪 ) P におよばす力は棒に直角に 方法と , この節の考え方を使う方法とを述べよう . この節の方法を使わないで , 慣性系一点張りで解く らべよという問題である . 前の節でも行ったように に対する運動方程式は 2 2 S sin の一 S cos の / wt ( 1 ) 7.3 ー 2 図 OP = とすれば したがって 2 2 COS のな COS の一一の Sin の一 Sin の一十の COS の一 Sin の 2 COS の一 2 Sin の一 ー 2 の 十 2 の Sin の一 COS の一 Sin の一 の Sin の一 の COS の一 これらを ( 1 ) , ( 2 ) に代入して 2 COS の一一 2 の / の Sin の一 の COS の一 = 0 S sin の一 S cos の / 2 sin の一十 2(D—COS の一 ( 4 ) x cos 研十 ( 5 ) x sin を作れば したがって となる . ( 6 ) の一般解は 2 2 = e 十 Be 研 135 ( 3 ) ( 7 ) ( 6 ) ( 5 ) ( 4 ) であるが , 初期条件としてはじめ % = 〃のところから静かに放したとすれば , ー = 0 で =